Un corrigé de l'épreuve 2 du Capes Mathématiques 2005
par Bruno Aebischer, auteur du sujet.
Partie I : Puissance d'un point par rapport à un cercle.
1° 
est le pied de la hauteur issue du sommet

du triangle
isocèle

; c'est donc aussi le milieu de
![[T_1T_2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[T_1T_2])
.
2° D'après la question précédente:
3° Considérons un cercle

de centre

, de rayon

.
=\Omega\Omega^2-R^2=-R^2)
.
4° 
doit être sur le cercle ou à l'extérieur pour qu'on puisse
tracer une tangente à ce cercle issue de

; si
)
,
il y a deux tangentes à

issues de

; si

, il n'y en a
qu'une.
Par Pythagore, on a
=\Omega M^2-R^2=\Omega M^2-\Omega T^2=MT^2)
.
Cette formule est évidemment encore valable si

, c'est-à-dire si

.
5° Soit
)
. En utilisant la droite
)
pour calculer ses
puissances par rapport aux deux cercles, on a évidemment
=p_{\Gamma_2}(M)=\bar{MA}\;.\;\bar{MB})
.
Réciproquement, soit

un point du plan tel que
=p_{\Gamma_2}(M))
. On supposera que

(sinon, on a
évidemment
)
).
Considérons la droite
)
: elle recoupe le cercle

en un point

et le cercle

en un point

(

peut être confondu avec

si
)
est tangente au cercle

).
On a
=\bar{MA}\;.\;\bar{MB_1})
et
=\bar{MA}\;.\;\bar{MB_2})
.
Puisque
=p_{\Gamma_2}(M))
, on en déduit

et puisque

,

. On en déduit (puisque tous ces points sont alignés) que

, donc que

est un point de

,
donc

(puisque

est le point où
recoupe

). Donc
=(AB))
et
)
.
6° Si les deux cercles

et

ont des centres
distincts, respectivement

et

, et des rayons respectifs

et

, la relation
\;:\;p_{\Gamma_1}(M)=p_{\Gamma_2}(M))
s'écrit
L'ensemble des points qui vérifient
)
est donc une ligne de
niveau de l'application



avec

.
On sait que lorsque

, c'est une droite orthogonale au vecteur

. Donc si les deux cercles ont des centres distincts, l'ensemble des
points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles est une droite
orthogonale à la droite joignant les deux centres. Si les deux cercles ont même
centre et des rayons différents, cet ensemble est vide, et si les deux cercles
sont confondus, c'est ensemble est bien sûr le plan tout entier.
Lorsque les cercles sont tangents en

, la puissance de ce point par rapport
aux deux cercles est nulle, donc il vérifie
)
et l'ensemble que l'on
cherche est dans ce cas la tangente commune aux deux cercles.
7° Le centre de

est ici le point

de coordonnées
)
et son rayon est

(pour
que le cercle existe, il est nécessaire et suffisant que

). Donc
Partie II : Construction d'une
-droite.
1° Supposons qu'il existe un cercle

passant par

et

et
coupant

en deux points diamétralement opposés

et

, et
calculons la puissance de

par rapport à

. Utilisons tout d'abord le
diamètre
)
de

, qui coupe par définition

et

en

et

. D'après I-4° et I-2° on a
=p_{\mathscr C}(O)=-R^2)
.
Mais en utilisant la droite
)
qui passe par

par hypothèse et qui
rencontre

en

et

, on a aussi
=\bar{OA}\;.\;\bar{OB})
.
Mais puisque

,

sont deux points de
)
, on a

et

, donc
|=OA\;.\;OB<R^2)
ce qui n'est pas
compatible avec
=-R^2)
. On a donc une contradiction, et il ne
peut donc pas y avoir de cercle passant par

et

et rencontrant

en deux points diamétralement opposés.
2° Si

est un cercle passant par

et

et rencontrant

en deux points diamétralement opposés

et

, son centre

doit se trouver à la fois sur la médiatrice de
![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
et sur la
médiatrice de
![[T_1T_2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[T_1T_2])
. Mais par hypothèse

est un point qui appartient à
ces deux médiatrices, et il ne peut être le centre de

puisque

. Donc ces deux médiatrices ont deux points commun,

et

: elles sont donc confondues et donc
)
et
)
sont
parallèles.

et

sont donc complètement déterminés sur le diamètre de

qui est parallèle à
)
.

est donc le cercle circonscrit au triangle

(c'est un vrai
triangle car
)
n'est pas un diamètre et
)
en est un, donc ces
deux droites ne sont pas confondues) et est donc parfaitement déterminé.
On vérifie aisément que le cercle qui passe par

passe aussi par

donc répond à la question.
Pour construire géométriquement ce cercle, on trace la parallèle à
)
qui
passe par

, on appelle

et

les intersections de ce diamètre avec

puis on trace le cercle circonscrit au triangle

(son
centre est à l'intersection des médiatrices de
![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
et de
![[AT_1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AT_1])
, par
exemple).
3° a) Puisque

, on est sûr que

n'est pas le centre d'un
cercle passant par

et

, donc

.
Soit

la médiatrice de
![[T_1T_2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[T_1T_2])
. Elle passe par

puisque le
cercle

de centre

passe par

et

et elle passe par

puisque

est le milieu de
![[T_1T_2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[T_1T_2])
, donc
)
.
Si
)
et
)
étaient parallèles,

serait alors aussi une
droite perpendiculaire à
)
qui passe par

. Comme

, ce serait aussi la médiatrice de
![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
. Mais comme

,

serait sur la médiatrice de
![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
et on aurait

. C'est en contradiction
avec l'hypothèse

, donc
)
et
)
sont sécantes et il
existe un unique point

appartenant à ces deux droites.
b) Puisque
)
, d'après I-5°,
=p_{\Gamma}(S))
.
c) La puissance de

par rapport à

peut se calculer grâce
à la sécante
)
et vaut donc
=\bar{SA}\;.\;\bar{SB}=p_{\Gamma}(S)=p_{{\mathscr C}}(S))
. Puisque

a la même puissance par rapport au cercle

et par rapport au
cercle

, et puisque ces deux cercles sont sécants par hypothèse, c'est
que

est sur la droite
)
, d'après I-5°.
d) En admettant que le cercle

existe, il existe un point

ayant la même puissance par rapport à tout cercle passant par

et

. Pour
construire ce point

, connaissant juste les points

et

, il suffit de
tracer un cercle

passant par

et

et rencontrant

(il suffit de choisir comme centre un point

de la médiatrice de
![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
, suffisamment éloigné du milieu de ce segment, par exemple en
choisissant

). Ce cercle

rencontre

en deux
points

et

. On trace la droite
)
et la droite
)
, et
ces deux droites passent nécessairement par

; elles ne peuvent pas être
confondues (sinon

contient 4 points alignés, c'est absurde), elles
sont donc sécantes en

. Remarquons que

est forcément distinct de

,
puisqu'il appartient à la droite
)
qui n'est pas un diamètre. Ce n'est pas
non plus un point du cercle

, car appartenant à la droite
)
, qui ne coupe le cercle qu'en ces deux points, il faudrait qu'il
soit confondu avec un de ces deux points,

par exemple, mais comme il
appartient aussi à la droite
)
, on aurait trois points distincts

du cercle

qui seraient alignés, c'est absurde.
Connaissant ce point

, on peut ensuite tracer la droite
)
, qui est le
diamètre de

coupant ce cercle en

et

. Enfin,

est le centre du cercle circonscrit au triangle

, intersection de deux
médiatrices.
e) La construction qui précède montre l'unicité du

.
En effet, dans la question d), on a prouvé que le point

est forcément à
l'intersection de la droite
)
avec la droite
)
, donc l'unicité du
point

est prouvée. La droite
)
est donc elle aussi unique, donc à
l'ordre près les points

et

sont parfaitement déterminés (la paire

est unique), et comme

doit passer par

, le
cercle

est unique.
Il reste à établir l'existence.
Justifions d'abord que la construction précédente est toujours possible : le
seul problème est l'existence de

. Si les droites
)
et
)
étaient parallèles, puisque
)
est perpendiculaire à la droite
)
joignant les centres des cercles

et

(c'est
la médiatrice de
![[U_1U_2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[U_1U_2])
), la corde
)
serait perpendiculaire à
)
. Mais la médiatrice de
![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
est perpendiculaire à
)
et
passe par

, donc ce serait la droite
)
et on aurait

, ce qui a été exclu par hypothèse.
Une fois le point

placé (et forcément distinct de

, comme on l'a vu plus
haut), on peut toujours tracer le diamètre
)
, et on trouve les deux points
diamétralement opposés

et

. On a donc parfaitement déterminé un
point

, centre du cercle

circonscrit au triangle

. Il
ne reste plus qu'à démontrer que ce cercle

passe par

.
Or par construction, le point

est tel que
= p_{\Gamma'e}(S)= \bar{SA}\;.\;\bar{SB})
. Mais puisque

et

sont deux points
de

, on a aussi
)
, donc on a
=p_\Gamma(S)=\bar{SA}\;.\;\bar{SB})
. Mais en utilisant la
droite
)
, on a aussi
=\bar{ST_1}\;.\;\bar{ST_2})
, donc on
a
=\bar{ST_1}\;.\;\bar{ST_2})
. A priori la droite
)
(on a vu
plus haut que

donc

) recoupe le cercle

en un point

tel que
=\bar{ST_1}\;.\;\bar{SV})
. Comme

,
de

on peut déduire

donc

et on a bien

.
4°
a) Soit

un cercle distinct de

tel que

; d'après I-2° ou d'après I-7°, on a
=p_{\Gamma}(O))
donc si ces deux cercles se coupent en

et en

,
d'après I-5°,

est sur la droite
)
donc

et

sont
diamétralement opposés. Et il est impossible que ces deux cercles ne se coupent
pas, car dans ce cas le cercle

serait inclus entièrement dans
)
ou dans
)
, et lors du
calcul de
)
en utilisant une sécante
)
de

passant
par

, on aurait
|=OA\;.\;OB)
qui serait soit

(si

est intérieur à

) soit

sinon.
Réciproquement, si

est un cercle qui coupe

en deux points

et

diamétralement opposés, alors

est un point sur la droite qui
joint les deux points d'intersection de ces cercles, il a donc la même
puissance par rapport à ces deux cercles et on a
=p_{\mathscr C}(O)=-1)
.
b) Soient
)
et
)
les coordonnées respectives des points

et

dans le repère

. Un cercle

passe par deux
points diamétralement opposés de

si et seulement si son équation
cartésienne est de la forme

(d'après ce qui
précède et I-7°).
Ce cercle passe par

et

si et seulement si on a le système
(2)

Ce système linéaire de deux équations aux deux inconnues

et

admet une unique solution lorsque son déterminant

est non nul, ce qui correspond
exactement au fait que

et

ne sont pas alignés avec

.
En conclusion, on retrouve que si

et

ne sont pas situés sur un même
diamètre, il existe un unique cercle

passant par

et

et coupant

en deux points diamétralement opposés : c'est le cercle d'équation

avec
)
solutions du système
)
. Son centre est alors le point
)
.
Partie III : Un problème de lieu géométrique.
1° a) En appliquant plusieurs fois Pythagore,
b) On vient de montrer que pour tout point

de

, le
cercle

de centre

passant par

passe aussi par les deux
points diamétralement opposés

et

, donc

est un centre de
cercle passant par

et coupant

en deux points diamétralement
opposés :

. On a donc établi que

.
2° Réciproquement, soit

un cercle (de centre

) passant par

et par deux points diamétralement
opposés

et

de

. La médiatrice de
![[T_1T_2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[T_1T_2])
coupe

en un point

qui est d'après l'étude qu'on vient de faire le
centre d'un cercle qui passe par

,

et

, puisque par construction
le diamètre
)
est perpendiculaire à
)
.

est donc
le centre du cercle circonscrit au triangle

, or

est le
cercle circonscrit à ce triangle ; par unicité,

et

. On a établi l'inclusion réciproque

et donc

.
3° Soient deux points

et

de
)
, non
situés sur un même diamètre de

, on construit pour chacun d'eux la
droite

qu'on vient de définir :
On trace le diamètre perpendiculaire à
)
qui coupe

en

et

. On trace la médiatrice de
![[AT_A]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AT_A])
qui coupe
)
en

(qui est le centre du cercle circonscrit à

), puis la perpendiculaire

à
)
qui passe par

.
On répète l'opération pour le point

, ce qui permet de tracer une droite

perpendiculaire à
)
. Comme
)
et
)
ne sont pas
parallèles,

et

se coupent en un point

qui est
tel que le cercle de centre

et passant par deux points diamétralement
opposés

et

(obtenus en traçant la perpendiculaire à
)
passant par

) passe aussi à la fois par

et par

.
Au lieu de répéter l'opération on peut aussi tout simplement tracer la
médiatrice de
![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
qui forcément coupera

en un point

qui
convient comme centre d'un cercle passant par

,

et deux points
diamétralement opposés de

.
Partie IV : Un "plan" étonnant.
1° Ce résultat est une conséquence directe de la partie II. En effet,
si

et

sont deux points situés sur un même diamètre
)
de

, alors
![]T_1T_2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]T_1T_2[)
est une

-droite qui passe par

et

et
la question II-1° montre qu'il n'y en a pas d'autres. Et si

et

ne sont
pas situés sur le même diamètre, l'intersection de l'unique cercle

qui
passe par

et

et coupe

en deux points diamétralement
opposés avec

est clairement la seule

-droite qui passe par

et

.
2° a) Soient

et

deux

-droites dont les supports se
coupent en deux points diamétralement opposés

et

. Leurs supports
sont des droites ou cercles qui sont soit confondus, soit sécants en les deux
points

et

. Puisque l'intersection de deux cercles ou droites
distincts ne peut pas contenir plus de deux points. Ces supports n'ont donc pas
d'autres points d'intersection que

et

, et a fortiori,

est
vide.
b) On a déjà vu que la puissance de

par rapport à

est

.

est donc un point intérieur à

et toute droite passant par

est donc sécante à

en deux points. En particulier, le diamètre
)
rencontre

en deux points

et

tels que
=\bar{OM}\;.\;\bar{ON}=-1)
. Puisque

et

ne peuvent être
confondus avec

et

, il est impossible que

, donc une de
ces deux longueurs, disons par exemple

, est inférieure à

alors que
l'autre est supérieure à

. L'intersection des supports de

et

consiste donc en une paire de points

dont un seul est dans

. On
a donc

.
c) Soit

l'équation de

et

l'équation de

. La recherche analytique de
l'intersection de

et

amène à résoudre le système
Soit

de coordonnées
)
le centre de

et

de coordonnées
)
le centre de

. Le
fait que
\neq(T'e_1T'e_2))
implique entre autres que

donc on n'a pas simultanément

et

. L'équation
x+(b-b'e)y=0)
caractérise donc une droite qui est un diamètre de

(elle passe par

). La recherche de l'intersection de

et de

se ramène donc
à la recherche de l'intersection du cercle

avec le diamètre de

qu'est la droite

d'équation
x+(b-b'e)y=0)
. Or cette
droite ne passe pas par

et

, (sinon ces points seraient aussi des
points de

: en effet, si
)
sont les coordonnées de

, on a

et on aurait

donc

et

) donc on peut appliquer le résultat de la question précédente,
qui a montré que dans cette situation, l'intersection d'un tel diamètre de

et d'un tel cercle qui passe par deux points diamétralement
opposés de

est formée de deux points

dont un seul est
dans

.
Or

, donc le résultat est établi.
d) Soient

et

deux

-droites non confondues et parallèles.
Si leurs supports respectifs sont deux cercles

et

, et si ces
cercles coupaient

en des couples différents de points
diamétralement opposés de

, alors d'après c), l'intersection de

et

serait non vide : elle consisterait en le point qui est dans

de

.
Si un des deux supports, disons celui de

est une droite

, l'autre
étant un cercle

, et si ces supports coupaient

en des
couples différents de points diamétralement opposés de

, alors le
résultat de la question b) permet d'affirmer que

et

ne seraient pas
d'intersection vide.
Et si les deux supports étaient des diamètres différents,

et

se
rencontreraient évidemment en

.
Donc si on affirme que

, on est certain que les supports de

et

rencontrent

au même couple de points diamétralement
opposés
)
, et donc l'intersection de ces deux supports est cette
paire de points.
e) On a établi que le

-parallélisme est caractérisé par le fait
que les supports rencontrent

en le même couple de points
diamétralement opposés. Avec cette caractérisation, le fait que le

-parallélisme est une relation d'équivalence devient trivial.
3° On a déjà presque complètement établi ce résultat, dans le cas où un
des supports est une droite et l'autre un cercle en 2° b) et dans le cas où les
deux supports sont des cercles comme conséquence immédiate de 2° c). Il ne
reste que le cas banal où les deux supports sont des droites, qui sont donc des
diamètres qui se coupent évidemment en

s'ils ne sont pas confondus,

étant évidemment aussi le point d'intersection unique des

-droites
considérées.
4° Soient

et

les deux points d'intersection, diamétralement
opposés, du support de

avec

. Une

-droite parallèle à

a nécessairement son support qui passe par

et

.
Si
![A\in]T_1T_2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in]T_1T_2[)
, ces trois points sont distincts et alignés, donc il n'existe
aucun cercle qui passe par

,

et

donc
![V=]T_1T_2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V=]T_1T_2[)
est l'unique

-droite qui passe par

et qui est

-parallèle à

.
Si
![A\not\in]T_1T_2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\not\in]T_1T_2[)
, ces trois points n'étant pas alignés ils forment un
triangle, et le cercle

circonscrit à ce triangle est le seul qui passe
par ces trois points.

est le support de la

-droite

, qui passe par

, et qui est

-parallèle à

, et
c'est bien sûr la seule.
Partie V : Grands cercles d'une sphère et droites d'un plan.
1° Soient

et

deux grands cercles non confondus de

.
Il existe donc deux plans distincts

et

qui passent par

et tels
que

pour

.

et

sont deux plans distincts d'intersection non vide (

appartient à ces deux plans) : leur intersection est donc une droite

qui passe par

, c'est-à-dire un diamètre de la sphère

.
L'intersection de

avec

consiste donc en deux points
diamétralement opposés de

,

.
2° L'intersection de

avec

est par définition un
grand cercle distinct de

puisque

est distinct de

. Son intersection avec

est donc l'intersection de ce
grand cercle avec le demi-espace caractérisé par

. C'est un "demi-grand
cercle". L'intersection de

avec

est l'intersection
de deux grands cercles distincts de

, c'est donc une paire de points
diamétralement opposés de

et aussi de

.
3° Le problème est simplement de montrer que l'intersection de

et de la droite
)
est toujours un singleton. Or le point

défini par

est par construction un
point de
)
et puisque l'ordonnée de

vaut

, celle de

est

, donc ce point

est dans

.
Réciproquement, soit

un point de
)
. Il est tel qu'il
existe

tel que

. Puisque

, on a

donc

. Or
si

, l'ordonnée de

serait négative, donc si

, nécessairement

et donc

. On a établi que
=\lbrace M'e\rbrace )
, donc l'application

est bien définie.
Soit

. D'après le calcul que l'on vient de faire, pour
tout point

de

, on a l'équivalence
Soient
)
les coordonnées de

dans

. On a par hypothèse

et

. Le point

a pour coordonnées
=\|\overrightarrow{OM}\|(x,y,z))
d'où

et nécessairement

.
Le point

ne peut donc avoir qu'un antécédent par

qui est donc
bien injective.
On vérifie que le point

tel que

est un point
de

(sa troisième coordonnée vaut

) et que son image par

est bien

puisque

donc le point

tel
que

vérifie en fait

donc
=N)
et

est bien
surjective.
4° On appellera demi grand cercle l'intersection d'un grand cercle de

(distinct de

) avec le demi-espace

; c'est aussi,
bien entendu l'intersection d'un grand cercle de

distinct de

avec

.
Soit

une droite affine de

;

ne passe pas par
l'origine

. Soit

le plan défini par la droite

et
l'origine

. Soit

l'intersection de

avec

. Par
construction,

est un "demi grand cercle". Montrons que l'image de

par

est égale à

. Tout d'abord, si

, on a
\subset\mathscr Q)
, donc
)
qui est à l'intersection de
)
avec

est dans l'intersection de

avec

,
c'est-à-dire que
\in D)
. On a établi que
\subset D)
.
Réciproquement, soit

. Si
)
sont les coordonnées de

dans le repère

, on a vu que
)
est le point tel
que

. Comme

et

sont deux points de

, il est clair que

est dans

. D'autre part, il
appartient à

d'après la définition de

, donc il appartient à

puisque ces deux plans ne sont pas confondus
et contiennent tous les deux cette droite. Donc
\subset\Delta_0)
et on a bien
=D)
.
L'image par

de la droite

:

est
à l'intersection avec

du plan contenant

et

, qui a
clairement comme équation

. Une caractérisation analytique de
)
est donc

.
Partie VI : Une autre correspondance entre sphère et plan.
1° Il suffit de montrer que pour tout point

de

, la
droite
)
est sécante avec le plan

. Or

est le seul point
de

dont la troisième coordonnée vaut

, et donc tous les autres ont
une troisième coordonnée

. La droite
)
n'est donc pas "horizontale", c'est-à-dire parallèle au plan

d'équation

,
donc elle coupe

en un unique point

.

est donc bien
définie.
Pour tout point

de

, la droite
)
coupe la sphère

en

,
donc en un deuxième point

qui ne peut être confondu avec

, puisque la
droite
)
qui joint deux points de cotes différentes (

et

) n'est
pas "horizontale", et que le plan tangent à

en

est "horizontal". Puisque

et

, et que ces trois points sont
alignés, on a
=(SN))
de sorte que clairement
)
(la droite
)
coupe

en

). On a montré que

était surjective.
De plus, un antécédent de

est forcément un point de la droite
)
et aussi un point de

donc le point

intersection de
)
et de

est le seul possible et

est aussi injective.
2° Puisque

sont des points alignés, il existe

tel que

. Traduisant ceci au niveau des coordonnées, on
obtient
 \\ \end{array} \right.)
Or

donc

et

(remarquons que

car

).
D'où
3° Soit un point
\in\mathscr P)
. Son antécédent unique
(puisque

est bijective) est le point
)
de la droite
)
qui appartient à

. Ses coordonnées vérifient donc
On a donc

d'où

et
On vérifie sans peine que ce point

est
bien sur

car
et que
)
a pour coordonnées
)
avec

et de même

,
donc on a bien
=N)
.
4° Un grand cercle de

étant l'intersection de

avec
un plan passant par l'origine

du repère, et un tel plan ayant une équation
du type

, il est clair que le système proposé caractérise un grand
cercle et réciproquement.
5° Soit

un grand cercle de

, caractérisé par le
système
Remarquons tout d'abord que ce grand cercle est inclus dans

si et
seulement si il ne passe pas par

, c'est-à-dire lorsque

.
Si

, déterminons
)
par une caractérisation analytique;
nous utiliserons les notations de 2°. Le point

générique de
)
a pour coordonnées
)
tandis que le point

générique de

a pour coordonnées
)
. Les questions 2° et 3°
nous ont permis de lier
)
et
)
lorsque
)
:
(La deuxième condition n'en est plus une.)
)
est caractérisé par la seule équation

, c'est un cercle

de

dont l'équation
est

. Puisque le terme constant est

,
d'après II-4° a),
)
coupe le cercle

en deux points diamétralement opposés (ou qui est égal au cercle

).
Si

, on raisonne de la même façon:
Dans ce cas
)
est caractérisé par la seule équation

, c'est une droite

de

qui passe par l'origine
et qui coupe aussi le cercle

en deux points diamétralement
opposés.
6° On a vu que
)
était soit un diamètre de

qui coupe ce cercle en deux points diamétralement opposés, soit un
cercle

de

rencontre

en deux points
diamétralement opposés (à moins que

ne soit égal à

, ce
qui se produira si

, dans le cas où le plan qui contient

est

).
7° Soit

et
\in\mathscr P)
. Les coordonnées de

dans

sont de

et celles de

dans

sont
)
.
Pour montrer que

est une bijection de

sur

, il suffit
d'établir l'équivalence des caractérisations de ces deux ensembles, sachant que
=(\frac x{z+1},\frac y{z+1}))
et aussi bien sûr que

avec

.
Or

est caractérisé par

et

par

.
^2\Longleftrightarrow1-z^2<z^2+2z+1\Longleftrightarrow2z(z+1)>0\Longleftrightarrow z>0)
(puisque

).
8° Soit

un demi grand cercle de

. Il existe
un grand cercle

tel que

. Supposons d'abord que

ne passe pas par

. On a
donc
=\psi({\mathscr D'e})=\psi({\mathscr D}\cap\Sigma^+)=\psi({\mathscr D})\cap\psi(\Sigma^+))
(pour une application

injective, il est correct que
=f(A)\cap f(B))
).
Or
=\Pi)
et
)
est un cercle

qui passe
par deux points diamétralement opposés de

d'après 5°;
L'intersection d'un tel cercle avec

est par définition une

-droite.
Si

passe par

, considérons

; on a aussi

de
sorte que par le même raisonnement,
=\Pi\cap\psi({\mathscr D}^*))
. Or
)
est un diamètre de

, dont
l'intersection avec

est aussi une

-droite.
Partie VII : Synthèse et Application.
1° D'après la partie V,

est une bijection de

sur

et d'après la partie VI,

est une bijection entre

et

, donc

est une bijection de

sur

.
Or

transforme les droites de

en des demi grands cercles de

, les quels sont transformés en

-droites de

:

transforme donc les droites de

en des

-droites de

.
Il reste à vérifier que

induit bien une bijection entre l'ensemble des
droites de

et l'ensemble des

-droites. Pour cela, on considère une

-droite

de

et deux points distincts tels que cette

-droite
puisse s'écrire
))
. Puisque

est une bijection, il existe deux
points

et

de

tels que
=A)
et
=B)
. Si une droite

de

a pour image

, elle doit passer par les antécédents

et

de

et

, donc nécessairement
)
; l'image par

de
cette droite de

est une

-droite qui doit passer par
)
et
par
)
: c'est donc bien la

-droite
))
(on a établi dans la
partie IV l'unicité de cette

-droite). D'où
=G)
, et on a bien
établi l'existence et l'unicité d'un antécédent de

par l'application
induite par

sur l'ensemble des droites de

.
Puisque

est une bijection, deux droites sans point commun de

sont nécessairement transformées par

en deux

-droites sans
point commun de

, c'est-à-dire en

-droites

-parallèles. De même
deux droites confondues étant transformées en

-droites confondues,

"conserve le parallélisme". (Remarquons qu'il en est de même par le même
raisonnement pour

).
2° Soit
)
et
)
les coordonnées de

dans

. On a vu dans la question V-3° qu'on avait

, donc
Et bien sûr
=\psi^+(N)=\psi(N))
, donc d'après la partie VI, on a
3° Si

est un point de

de coordonnées
)
(telles que

), soit
)
et soient
)
les coordonnées de

.
Puisque
)
, d'après la question précédente, on a
Remarquons tout d'abord que
=(0,0)\Longleftrightarrow(x'e,y'e)=(0,0))
. Nous supposerons
dans la suite que ces deux couples sont non nuls.
Il est alors pertinent de poser ici

et

, et comme

et

ont les mêmes signes respectivement
que

et

, comme leurs rapports sont égaux, on a

,

,

et

pour le même

(modulo

).
On a donc

d'où

et
nécessairement

et
![r'e\left[r'e(r^2-1)+2r\right]=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r'e\left[r'e(r^2-1)+2r\right]=0)
.
Comme

, on en déduit que

, et en multipliant par

puis par

, on obtient
(Cette formule est encore valable si

et

sont simultanément nuls).
Remarque : pour vérifier ces formules, on peut se lancer dans le calcul des
coordonnées de
)
, en remarquant que

ce qui simplifie bien
les calculs.
4° Soient
)
,
)
,
)
. On considère
le point

tel que

soit un parallélogramme (

est à
l'intersection de la droite

qui passe par

et qui est parallèle
à
)
et de la droite

qui passe par

et qui est parallèle
à
)
). Par conservation du parallélisme, on a nécessairement
)
.
Puisque

est un parallélogramme, ses diagonales
)
et
)
se coupent en leur milieu

, donc ne sont pas parallèles, et par conséquent
les images par

de ces droites qui sont les

-droites
))
et
))
ne peuvent pas être

-parallèles et se coupent en
)
.
Si on choisissait un autre point que

, disons

, non situé sur
))
,
le même raisonnement dans

ferait construire un parallélogramme

dont les diagonales se couperaient encore en

milieu de
![[A'e B'e]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[A'e B'e])
, de sorte que
))
coupe aussi
))
en

: la
construction est bien indépendante de

.
5° On peut utiliser n'importe quel point

. Le plus simple est
d'utiliser le point

, car alors les

-droites
))
et
))
sont
des diamètres de

(plus précisément : leurs supports sont des
diamètres). La

-droite

-parallèle à
))
qui passe par

est un
arc du cercle (inclus dans

) qui passe par

et les deux extrémités

et

du diamètre
)
, le centre

de ce cercle est à
l'intersection de l'axe des abscisses
)
et de la médiatrice de
![[BT_0]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[BT_0])
.
On trace de même la

-droite

-parallèle à
))
qui passe par

:
c'est un arc du cercle dont le centre

est à l'intersection de
)
et de la médiatrice de
![[AT_1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AT_1])
où

est une des extrémités du diamètre
)
.

est à l'intersection de ces deux arcs de cercle (

appartient à

). La

-droite
))
admet aussi comme support le diamètre
)
de

.
Il reste à tracer la

-droite
))
, en utilisant une des deux méthodes
proposées dans les parties II et III. Ici, la méthode la plus simple est la
méthode de la partie III, puisqu'on a déjà les centres

et

des cercles dont on a besoin. Il suffit de tracer la parallèle à
)
qui
passe par

et la parallèle à
)
qui passe par

.
À l'intersection de ces deux droites, on trouvera le centre

du cercle
support de
))
. On trouve ensuite le

-milieu

de

à
l'intersection de
))
et
))
.
6° Puisque

et

, les coordonnées de

sont
}=0)
,
}=\frac1{1-\frac14}=\frac43)
(et bien sûr

).
De même, on a
}=\frac{\frac12}{1-\frac1{16}}=\frac8{15})
,
}=0)
(et

)
On en déduit les coordonnées de

qui est le milieu de
![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
:

et

.
Enfin, puisque
)
, les coordonnées de

sont