Fiche de mathématiques
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CAPES 2005
Deuxième épreuve de mathématiques.
Algèbre et Géométrie

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ce sujet a été proposé par Bruno Aebischer





Notations.



\mathscr P est un plan euclidien.

étant donnés deux points distincts A et B du plan \mathscr P, on note ]AB[ le segment [AB] privé de ses extrémités.

Si \Gamma est un cercle de centre \Omega, de rayon R, on appellera "intérieur du cercle \Gamma" et on notera {\mathscr I}(\Gamma) le disque ouvert, de centre \Omega, de rayon R qui est limité par \Gamma.
On a donc {\mathscr I}(\Gamma)=\lbrace M\in{\mathscr P}\mid\Omega M<R\rbrace
De même, l'extérieur du cercle \Gamma, noté {\mathscr E}(\Gamma) est l'ensemble :
{\mathscr E}(\Gamma)=\lbrace M\in{\mathscr P}\mid\Omega M>R\rbrace





Recommandations importantes.



Les sept parties de ce problème sont très largement dépendantes. Il est recommandé de les traiter dans l'ordre, mais on pourra toujours admettre un résultat pour continuer le problème.

Dans ce problème, on demande plusieurs fois de proposer une construction géométrique d'une figure ou d'un élément d'une figure. Ceci signifie que l'on demande une suite d'instructions permettant de réaliser de façon théorique cette figure ou cet élément à l'aide de la règle et du compas. On réalisera effectivement cette construction dans une figure.
Cependant, on supposera connues, on ne détaillera pas et on pourra utiliser sans explication les constructions géométriques élémentaires classiques suivantes :
  • tracé de la médiatrice ou du milieu d'un bipoint ;
  • tracé du cercle passant par trois points non alignés ;
  • tracé de la parallèle à une droite passant par un point donné ;
  • tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point donné.






Partie I : Puissance d'un point par rapport à un cercle.



Soit \Gamma un cercle de \mathscr P, de centre \Omega, de rayon R>0.

Soit M un point de \mathscr P, et soit \mathscr D une droite passant par M et coupant \Gamma en deux points T_1 et T_2. On pose
p_{[{\mathscr D},\Gamma]}(M)=\bar{MT_1}\;.\;\bar{MT_2}

Montrer que p_{[{\mathscr D},\Gamma]}(M)=\Omega M^2-R^2 donc que p_{[{\mathscr D},\Gamma]}(M) ne dépend pas de la droite sécante \mathscr D.
(On pourra, introduire le point H, projeté orthogonal de \Omega sur \mathscr D).

Dans cette situation, on pose p_{\Gamma}(M)=p_{[{\mathscr D},\Gamma]}(M) (quelle que soit la droite \mathscr D passant par M et coupant \Gamma en deux points) et on appelle cette quantité p_\Gamma(M) la puissance du point M par rapport au cercle \Gamma.

Quel rapport y a-t-il entre le signe de la puissance d'un point M par rapport à un cercle \Gamma et sa position dans le plan ?

Quelle est la puissance du centre d'un cercle par rapport à ce cercle ?

Soit \Gamma un cercle et soit {\mathscr D}_0 une droite passant par M et tangente au cercle \Gamma en un point T.
Que peut-on dire du point M si une telle droite {\mathscr D}_0 existe ? {\mathscr D}_0 est-elle unique ?
Montrer que p_{\Gamma}(M)=MT^2.

Soient \Gamma_1 et \Gamma_2 deux cercles sécants en deux points A et B. Montrer que la droite (AB) est exactement l'ensemble de tous les points M du plan qui vérifient la relation
p_{\Gamma_1}(M)=p_{\Gamma_2}(M)


Déterminer la nature de l'ensemble des points qui ont la même puissance par rapport à deux cercles lorsque ceux-ci ne sont pas forcément sécants. Que peut-on en dire si les deux cercles sont tangents ?

\mathscr{P} est rapporté à un repère orthonormal \mathscr{R}=(O,\vec\imath,\vec\jmath). Soit \Gamma un cercle dont l'équation cartésienne dans le repère \mathscr R est x^2+y^2+ax+by+c=0.
Déterminer la puissance du point O (origine du repère) par rapport à ce cercle.





Partie II : Construction d'une \blue \Pi-droite.



Dans cette partie, \mathscr C est un cercle de centre O et de rayon R, et \Pi le disque ouvert limité par \mathscr C et A et B sont deux points distincts de \Pi.
Le but de cette partie est de montrer qu'en général, pour toute paire \lbrace A,B\rbrace de points du disque ouvert \Pi, il y a existence et unicité, d'un cercle \Gamma passant par A et B, et coupant \mathscr C en deux points diamétralement opposés, tout en proposant une construction géométrique de ce cercle \Gamma.

On suppose que A et B sont situés sur un même diamètre du cercle \mathscr C. Montrer qu'aucun cercle passant par A et B ne rencontre \mathscr C en deux points diamétralement opposés. (On pourra calculer de deux manières la puissance de O par rapport à un cercle \Gamma qui passerait par A et B et qui couperait \mathscr C en deux points diamétralement opposés).

On suppose que A et B ne sont pas situés sur un même diamètre et que OA=OB. Montrer dans ce cas l'existence et l'unicité d'un cercle \Gamma qui passe par A et B et qui rencontre \mathscr C en deux points diamétralement opposés. Proposer une construction géométrique de ce cercle.

On suppose que OA \neq OB et que A et B ne sont pas sur un même diamètre. On suppose qu'il existe un cercle \Gamma, de centre \Omega, qui rencontre \mathscr C en deux points diamétralement opposés T_1 et T_2.

a) Montrer que (AB) rencontre (T_1T_2) en un point unique S.

b) Comparer p_{\mathscr C}(S) et p_\Gamma(S).

c) Soit \Gamma'e un cercle quelconque passant par A et B et rencontrant \mathscr C en deux points U_1 et U_2 distincts. Comparer la puissance de S par rapport aux cercles \mathscr C, \Gamma et \Gamma'e et en déduire que S\in(U_1U_2).

d) Lorsqu'on ne connaît pas le cercle \Gamma, déduire de ce qui précède une construction géométrique du point S, puis du cercle \Gamma.

e) Justifier l'existence et l'unicité de \Gamma.

Autre démonstration de l'existence et l'unicité de \Gamma :
Dans cette question, le plan euclidien \mathscr P est rapporté à un repère orthonormal {\mathscr R}=(O,\vec \imath,\vec\jmath) et \mathscr C est le cercle de centre O, de rayon R=1.

a) Montrer qu'un cercle \Gamma (distinct de \mathscr C) rencontre \mathscr C en deux points diamétralement opposés si et seulement si p_\Gamma(O)=-1.

b) En déduire une méthode analytique pour montrer l'existence et l'unicité de \Gamma en en déterminant une équation cartésienne puis son centre. Comment, dans cette méthode, reconnaît-on que les coordonnées de A et B sont telles qu'on est dans le cas particulier étudié à la question 1°?





Partie III : Un problème de lieu géométrique.



Dans cette partie, \mathscr C est un cercle de centre O, de rayon R, et A est un point distinct de O, situé dans le disque ouvert \Pi limité par \mathscr C. Le but de cette partie est de déterminer le lieu \mathscr L des centres des cercles qui passent par A et qui coupent \mathscr C selon deux points diamétralement opposés, puis d'en déduire une autre construction du cercle \Gamma de la partie II.

Soit [T_0T'e_0] le diamètre de \mathscr C perpendiculaire à (OA). Soit \Gamma_0 le cercle circonscrit au triangle T_0T'e_0A, et \Omega_0 son centre. Soit \Omega un point de la perpendiculaire \Delta à (OA) qui passe par \Omega_0. Soit [T_1T_2] le diamètre de \mathscr C qui est perpendiculaire à (\Omega O).

a) Montrer que \Omega T_i=\Omega A pour i=1,2.

b) En déduire que \Delta\subset\mathscr L.

Montrer l'inclusion réciproque.

Déduire de cette étude une nouvelle construction géométrique du cercle \Gamma qui passe par deux points A et B (non situés sur un même diamètre) du disque \Pi, et qui coupe \mathscr C en deux points diamétralement opposés.





Partie IV : Un "plan" étonnant.



On se place toujours dans un plan euclidien \mathscr{P}. On considère l'ensemble \Pi={\mathscr I}(\mathscr C), qui est le disque ouvert limité par le cercle \mathscr C d'équation x^2+y^2=1 dans le repère orthonormal {\mathscr R}=(O,\vec\imath,\vec\jmath). On appelle \Pi-droite un sous-ensemble de \Pi qui est d'un des deux types suivants :
  • soit c'est l'intersection de \Pi avec un cercle \Gamma (distinct de \mathscr C) qui passe par deux points diamétralement opposés de \mathscr C.
  • soit c'est l'intersection de \Pi avec un diamètre de \mathscr C.
Le cercle [respectivement la droite] qui contient tous les points d'une \Pi-droite est le support de la \Pi-droite.

Justifier que par deux points distincts de \Pi passe une unique \Pi-droite.

L'unique \Pi-droite passant par les deux points distincts A et B de \Pi sera notée ((AB)).

Deux \Pi-droites seront dites \Pi-parallèles lorsqu'elles sont confondues ou que leur intersection est vide.

a) Montrer que si les supports de deux \Pi-droites se coupent en deux points diamétralement opposés de \mathscr C, alors ces \Pi-droites sont \Pi-parallèles.

b) Soit U=]T_0T'e_0[ une \Pi-droite dont le support est un diamètre de \mathscr C et soit V une \Pi-droite dont le support est un cercle \Gamma qui rencontre \mathscr C en deux points diamétralement opposés T_1 et T_2 (non confondus avec T_0 ou T'e_0).
En considérant la puissance de O par rapport à \Gamma, montrer que O est intérieur au cercle \Gamma puis que la \Pi-droite ]T_0T'e_0[ rencontre la \Pi-droite dont le support est \Gamma en un point unique.

c) Montrer que si \Gamma et \Gamma'e sont deux cercles coupant \mathscr C en des couples différents de points diamétralement opposés respectivement (T_1,T_2) pour \Gamma, (T'e_1,T'e_2) pour \Gamma'e, alors \Gamma et \Gamma'e se coupent en deux points d'un diamètre de \mathscr C, dont un seul est dans \Pi (on pourra considérer des équations cartésiennes de ces cercles).

d) Montrer que si deux \Pi-droites non confondues sont \Pi-parallèles, alors leurs supports se coupent en deux points diamétralement opposés de \mathscr C.

e) Montrer que la relation de \Pi-parallélisme est une relation d'équivalence dans l'ensemble des \Pi-droites.

Montrer que si deux \Pi-droites ne sont pas \Pi-parallèles, alors leur intersection est un singleton.

Montrer qu'étant donnés un point A de \Pi et une \Pi-droite U, il existe une unique \Pi-droite V qui est \Pi-parallèle à U et qui passe par A.

L'ensemble \Pi vérifie donc deux axiomes classiques d'incidence dans un plan affine.

Pour compléter l'étude de ce "plan", les parties suivantes vont montrer qu'il peut être mis en bijection avec un plan usuel.





Partie V : Grands cercles d'une sphère et droites d'un plan.



Dans cette partie, \Pi_0 désigne le plan d'équation z=1 dans un espace affine euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormal {\mathscr R}'e=(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k), et \mathscr P désigne le plan d'équation z=0 ; un repère orthonormal du plan \mathscr P est donc {\mathscr R}=(O,\vec\imath,\vec\jmath).

\Sigma désigne la sphère unité, d'équation cartésienne x^2+y^2+z^2=1, et \Sigma^+ désigne le sous-ensemble de \Sigma formé des points M dont la troisième coordonnée z dans le repère \mathscr R'e est strictement positive.

On rappelle qu'un grand cercle d'une sphère est l'intersection d'un plan passant par le centre de la sphère avec cette sphère. \mathscr C désigne le cercle du plan \mathscr P qui a pour centre O et pour rayon 1. \mathscr C est donc aussi un grand cercle de \Sigma.

Montrer que l'intersection de deux grands cercles non confondus de \Sigma consiste toujours en deux points diamétralement opposés pour \Sigma.

Soit \mathscr Q un plan passant par O, distinct de \mathscr P. Quelle est l'intersection de \mathscr Q avec \Sigma ? Et avec \Sigma^+ ? Et avec \mathscr C ?

Montrer qu'on définit correctement une application \varphi entre \Pi_0 et \Sigma^+ en associant à chaque point M de \Pi_0 le point d'intersection M'e de la droite (OM) avec \Sigma^+. Montrer que \varphi est une bijection entre \Pi_0 et \Sigma^+.

Montrer que l'image d'une droite affine de \Pi_0 par \varphi est un "demi-grand-cercle" de \Sigma. Définir avec précision cette notion de "demi-grand-cercle".
Caractériser analytiquement l'image par \varphi d'une droite d'équations cartésiennes dans \mathscr R'e :
\lbrace {ax+by+c=0\cr z=1}\quad \mbox{(avec (a,b)\neq(0,0)).}






Partie VI : Une autre correspondance entre sphère et plan.



Les notations sont les mêmes que dans la partie V. \Sigma^* désigne la sphère \Sigma privée de son "pôle sud", c'est-à-dire du point S de coordonnées (0,0,-1).

Montrer qu'on définit correctement une application \psi entre \Sigma^* et \mathscr P en associant à chaque point M de \Sigma^* le point d'intersection M'e de la droite (SM) avec \mathscr P. \psi est-elle bijective ?

Soit M un point de \Sigma^* de coordonnées (x,y,z) (dans \mathscr R'e). Déterminer en fonction de (x,y,z) les coordonnées (x'e,y'e,z'e) de M'e=\psi(M).

Soit N un point de \mathscr P de coordonnées (x,y) dans \mathscr R. Déterminer en fonction de (x,y) les coordonnées (X,Y,Z) de l'antécédent éventuel M de N par \psi.

Montrer qu'un grand cercle de \Sigma peut être caractérisé par un système d'équations du type
\lbrace {ax+by+cz=0\cr x^2+y^2+z^2=1}\quad \mbox{(avec (a,b,c)\neq(0,0,0)).}


Montrer que l'image par \psi d'un grand cercle de \Sigma ne passant pas par S est un cercle de \mathscr P. Quelle est l'image par \psi de l'intersection avec \Sigma^* d'un grand cercle de \Sigma passant par S ?

Soit \mathscr D un grand cercle de \Sigma et soit \mathscr{D}^*=\mathscr D\cap\Sigma^*. Que peut-on dire de l'intersection de \psi(\mathscr{D}^*) avec \mathscr C ?

On appelle \psi^+ la restriction de \psi à \Sigma^+. Montrer que \psi^+ réalise une bijection de \Sigma^+ vers le disque ouvert \Pi limité par \mathscr C.

Montrer que l'image d'un "demi-grand-cercle" (voir V.3°) par \psi^+ est une \Pi-droite (voir partie IV).





Partie VII : Synthèse et Application.



Les notations sont celles des parties précédentes.

Démontrer l'existence d'une bijection h du plan affine \Pi_0 vers l'ensemble \Pi induisant une bijection entre l'ensemble des droites de \Pi_0 et l'ensemble des \Pi-droites et conservant le parallélisme (en ce sens que deux droites parallèles de \Pi_0 sont transformées en deux \Pi-droites \Pi-parallèles).

Donner des formules analytiques de h, c'est-à-dire un système exprimant les coordonnées (x'e,y'e) dans le repère \mathscr R de l'image h(M) d'un point M en fonction de ses coordonnées (x,y,1) dans \mathscr R'e.

Inverser le système précédent pour obtenir en fonction des coordonnées d'un point M celles de h^{-1}(M).

Voici une Définition du \Pi-milieu de deux points de \Pi.

Soient A et B deux points de \Pi. Soit C un point quelconque de \Pi, non situé sur ((AB)). On considère le point D, intersection de la \Pi-droite qui passe par B et qui est \Pi-parallèle à ((AC)) et de la \Pi-droite qui passe par A et qui est \Pi-parallèle à ((BC)). On appelle \Pi-milieu de la paire \lbrace A,B\rbrace le point I intersection des \Pi-droites ((AB)) et ((CD)).

En utilisant la bijection h, démontrer que cette définition est correcte : on vérifiera que les \Pi-droites ((AB)) et ((CD)) ne sont pas \Pi-parallèles, et que cette définition ne dépend pas du point C arbitrairement choisi.

Soit A le point de \Pi de coordonnées (0,\frac12) et B le point de coordonnées (\frac14,0). Donner une construction géométrique détaillée du \Pi-milieu I de \lbrace A,B\rbrace (On fera une figure en prenant 8cm comme unité).

Donner les coordonnées des points A'e=h^{-1}(A), B'e=h^{-1}(B) et I'e=h^{-1}(I). En déduire les coordonnées de I dans le repère \mathscr R.


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