Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Amérique de Nord - Session 2007

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L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures
12 points

Activités numériques

exercice 1

Toutes les étapes de calcul devront figurer sur la copie.
On donne \text{A} = \dfrac27 - \dfrac{15}{7} \div \dfrac{5}{4} \: ; \: \text{B} = \dfrac{4 \times 10^5 \times 15 \times 10^{-3}}{80 \times 10^{-1}} \: ; \: \text{C} = \sqrt{75} + 4\sqrt{27} - 5\sqrt{48} \: ; \: \text{D} = (2 + 4\sqrt{5})(2 - 4\sqrt{5})

1. Donner A sous la forme d'une fraction irréductible.

2. Donner les écritures décimale et scientifique de B.

3. Écrire C sous la forme \text{a}\sqrt{3}, où a est un entier relatif.

4. Montrer que D est un nombre entier relatif.




exercice 2

On considère l'expression \text{E} = (3x + 2)^2 - (3x + 2)(x + 7).

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E lorsque x = \dfrac12.

4. Résoudre l'équation (3x+2)(2x-5)=0.




exercice 3

1. Un confiseur reçoit une commande de caramels d'un montant de 120,40 euros. Pour fidéliser son client, il décide d'accorder une remise de 20 %.
Cacluler le montant de la facture après remise.

2. Quelques jours plus tard, le confiseur répartit 301 caramels et 172 chocolats dans des sachets identiques.
    a) Calculer le nombre maximal de sachets réalisables.
    b) Calculer le nombre de caramels et le nombre de chocolats contenus dans un sachet.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. Il n'est pas demandé de la reproduire.

Diplôme national du brevet Amérique du Nord - 2007 : image 1


\mathcal{C} est un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 6 cm.
M est un point du cercle tel que BM = 4,8 cm.

1. Démontrer que le triangle ABM est rectangle en M.

2. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{ABM}}, arrondie au degré.

3. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\text{AOM}}, arrondie au degré.




exercice 2

SABCD est une pyramide à base rectangulaire ABCD, de hauteur [SA]. On donne SA = 15 cm, AB = 8 cm et BC = 11 cm.

Diplôme national du brevet Amérique du Nord - 2007 : image 2


1. Calculer le volume \scr{V}_1 de la pyramide SABCD.

2. Démontrer que SB = 17 cm.

3. On note E le point de [SA] tel que SE = 12 cm et F le point de [SB] tel que SF = 13,6 cm.
Montrer que (EF) et (AB) sont parallèles.

4. On coupe cette pyramide par le plan passant par E et parallèle à la base de la pyramide. La pyramide SEFGH, ainsi obtenue, est une réduction de la pyramide SABCD.
    a) Quel est le coefficient de cette réduction ?
    b) En déduire le volume \scr{V}_2 de la pyramide SEFGH en fonction de \scr{V}_1.




exercice 3

Soit (O ; I , J) un repère orthonormé tel que OI = OJ = 1 cm.

1. Sur votre copie, construire ce repère et placer les points suivants :
A(0 ; 3) B(3 ; 0) E(-4 ; 3) F(-1 ; 2) G(-4 ; -1)

2. Tracer la droite (AB), puis le triangle EFG, noté par la suite T.

3. Constuire T1 l'image de T par la symétrie axiale (AB).

4. Constuire T2 l'image de T par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AB}}.

5. Construire T3 l'image de T par la rotation de centre E et d'angle 100°, le sens étant le sens inverse des aiguilles d'une montre.


12 points

Problème

les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Deux établissements scolaires ont financé des déplacements en car pour se rendre dans un musée, où une grande exposition de peinture se tient durant plusieurs mois.

1. L'établissement du premier groupe est situé à 250 km du musée.
Le car a quitté le collège à 7 h 25 et roule à la vitesse moyenne de 100 km/h.
Calculer l'heure d'arrivée au musée de ce premier groupe.

2. Le second groupe a quitté son établissement à 8 h 00 pour arriver à 9 h 30.
Il a parcouru 120 km pour se rendre au musée.
Calculer la vitesse moyenne, en km/h, du car transportant ce second groupe.

Partie B

Armelle souhaite travailler quelques heures par mois dans ce musée afin de gagner un peu d'argent. A la suite d'un entretien, deux possibilités d'indemnisation lui sont proposées :
Somme d'argent S1 : 8 euros par heure.
Somme d'argent S2 : versement de 90 euros en début de mois, puis 5 euros par heure.
Ne sachant pas quelle forme d'indemnisation privilégier, elle décide d'étudier ces deux propositions.

1. Compléter le tableau suivant :

  Nombre d'heures effectuées par mois
  20 heures 25 heures
Somme d'argent perçue par mois (en €) s1
s2


2. Soit x le nombre d'heures effectuées par Armelle pendant un mois dans ce musée.
Exprimer en fonction de x les sommes d'argent s_1(x) \text{ et } s_2(x), versées à Armelle selon les deux formes d'indemnisation proposées.

3. Résoudre l'équation 8x = 5x + 90. A quoi correspond la solution de cette équation ?

4. Sur le repère fourni ci-dessous, représenter graphiquement les deux fonctions suivantes :
s_1 \: : \: x fleche2 8x et s_2 \: : \: x fleche2 5x+90

Diplôme national du brevet Amérique du Nord - 2007 : image 3


5. a) Utiliser une couleur pour marquer les traits qui permettent de déterminer graphiquement le résultat de la question 3.
    b) Utiliser une autre couleur pour marquer les traits qui permettnet de déterminer graphiquement l'indemnisation la plus avantageuse pour Armelle di elle souhaite effectuer 35 heures par mois. Indiquer la comme d'argent perçue.

6. En s'aidant du graphique, indiquer à Armelle l'indemnisation la plus avantageuse en fonction du nombre d'heures effectuées par mois dans ce musée.



Activités numériques

exercice 1

1 Donnons A sous forme d'une fraction irréductible :
\text{A} = \dfrac27 - \dfrac{15}{7} \div \dfrac{5}{4}\\ \text{A} = \dfrac27 - \dfrac{15}{7} \times \dfrac{4}{5}\\ \text{A} = \dfrac27 - \dfrac{15 \times 4}{7 \times 5}\\ \text{A} = \dfrac27 - \dfrac{5 \times 3 \times 4}{7 \times 5}\\ \text{A} = \dfrac27 - \dfrac{12}{7}\\ \text{A} = -\dfrac{10}{7}

2. Donnons les écritures décimale et scientifique de B :
\text{B} = \dfrac{4 \times 10^5 \times 15 \times 10^{-3}}{80 \times 10^{-1}} \\ \text{B} = \dfrac{4 \times 15 \times 10^{5-3}}{4 \times 20 \times 10^{-1}} \\ \text{B} = \dfrac{5 \times 3 \times 10^{2 - (-1)}}{5 \times 4} \\ \text{B} = \dfrac{3 \times 10^3}{4} \\ \text{B} = 0,75 \times 10^3\\ \text{B} = 750
750 est l'écriture décimale de B,
7,5 × 10² est l'écriture scientifique de B.

3. Ecrivons C sous la forme \text{a}\sqrt{3} :
\text{C} = \sqrt{75} + 4\sqrt{27} - 5\sqrt{48} \\ \text{C} = \sqrt{25 \times 3} + 4 \sqrt{9 \times 3} - 5 \sqrt{16 \times 3} \\ \text{C} = 5\sqrt{3} + 4 \times 3\sqrt{3} - 5\times 4\sqrt{3} \\ \text{C} = 5\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 20\sqrt{3} \\ \text{C} = -3\sqrt{3}

4. Montrons que D est un nombre entier relatif :
\text{D} = (2 + 4\sqrt{5})(2 - 4\sqrt{5})\\ \text{D} = 2^2 - \left(4\sqrt{5}\right)^2 \\ \text{D} = 4 - 16 \times 5 \\ \text{D} = 4 - 80 \\ \text{D} = -76
D est un nombre entier relatif.




exercice 2

1. Développons et réduisons E :
\text{E} = (3x + 2)^2 - (3x + 2)(x + 7)\\ \text{E} = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 - (3x \times x + 3x \times 7 + 2 \times x + 2 \times 7)\\ \text{E} = 9x^2 + 12x + 4 - (3x^2 + 23x + 14)\\ \text{E} = 9x^2 + 12x + 4 - 3x^2 - 23x - 14\\ \text{E} = 6x^2 - 11x - 10

2. Factorisons E :
\text{E} = (3x + 2)^2 - (3x + 2)(x + 7)\\ \text{E} = (3x + 2)[(3x + 2) - (x + 7)]\\ \text{E} = (3x + 2)(3x + 2 - x - 7)\\ \text{E} = (3x + 2)(2x - 5)

3. Calculons E lorsque x = \dfrac12 :
A l'aide de la forme développée, on obtient :
\text{E} = 6 \times \left(\dfrac12\right)^2 - 11 \times \dfrac12  - 10\\ \text{E} = 6 \times \dfrac14 - \dfrac{11}{2} - 10\\ \text{E} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{11}{2} - \dfrac{20}{2}\\ \text{E} = -\dfrac{28}{2}\\ \text{E} = -14

4. Résolvons l'équation (3x+2)(2x-5)=0 :
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul, et réciproquement :
\begin{array}{c&c&c} 3x + 2 = 0 & \hspace{15pt} \text{ ou } \hspace{15pt} & 2x - 5 = 0\\ 3x = -2 & \hspace{15pt} \text{ ou } \hspace{15pt}  & 2x = 5\\ x = -\dfrac{2}{3} & \hspace{15pt} \text{ ou } \hspace{15pt}  &x = \dfrac52\\ \end{array}
Les solutions de l'équation sont -\dfrac{2}{3} \text{ et } \dfrac52




exercice 3

1. Calculons le montant de la facture après remise :
Le confiseur effectue une remise de 20 % sur une commande d'un montant de 120,40 euros.
Le montant de la remise est donc de \dfrac{20}{100} \times 120,40 euros, soit 24,08 euros.
Après la remise, la facture s'élève à 120,40 - 24,08 euros, soit 96,32 euros.

2. a) Calculons le nombre maximal de sachets réalisables :
Le nombre de sachets divise le nombre de caramels et celui de chocolats. C'est donc un diviseur de 301 et 172.
Le nombre maximal de sachets réalisables est donc le plus grand diviseur commun à 301 et 172.
Déterminons ce PGCD à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
301 = 172 × 1 + 129
172 = 129 × 1 + 43
129 = 43 × 3 + 0
Le dernier reste non nul est 43, donc PGCD(301 ; 172) = 43.
D'où : le confiseur peut réaliser au maximum 43 sachets.

2. b) Calculons le nombre de caramels et le nombre de chocolats contenus dans un sachet :
On a : \dfrac{301}{43} = 7 \text{ et } \dfrac{172}{43} = 4
Donc : un sachet contient 7 caramels et 4 chocolats.


Activités géométriques

exercice 1

1. Démontrons que le triangle ABM est rectangle en M :
M est un point du cercle de diamètre [AB], donc ABM est un triangle rectangle en M.

2. Calculons la mesure de l'angle \widehat{\text{ABM}} :
Dans le triangle ABM rectangle en M, on a :
\cos \widehat{\text{ABM}} = \dfrac{\text{BM}}{\text{AB}} = \dfrac{4,8}{6} = 0,8
Donc : \widehat{\text{ABM}} = \cos^{-1} (0,8)
D'où :  \widehat{\text{ABM}} \approx 37^{\circ} arrondi au degré.

3. Déduisons-en la mesure de l'angle \widehat{\text{AOM}} :
L'angle au centre \widehat{\text{AOM}} et l'angle inscrit \widehat{\text{ABM}} interceptent le même arc
Diplôme national du brevet Amérique du Nord - 2007 : image 4
, donc :
\widehat{\text{AOM}} = 2 \times \widehat{\text{ABM}} \approx 2 \times 37
D'où : l'angle \widehat{\text{AOM}} mesure environ 74° (arrondi au degré près).




exercice 2

1. Calculons le volume \scr{V}_1 de la pyramide SABCD à base rectangulaire :
\scr{V}_1 = \dfrac13 \times \text{(Aire de la base)} \times \text{hauteur}\\ \scr{V}_1 = \dfrac13 \times (\text{AB} \times \text{BC}) \times \text{AS}\\ \scr{V}_1 = \dfrac13 \times (8 \times 11) \times 15\\ \scr{V}_1 = 440
Le volume de la pyramide SABCD est 440 cm³.

2. Démontrons que SB = 17 cm :
[SA] est la hauteur de la pyramide SABCD, donc [SA] est perpendiculaire à [AB]. Le triangle SAB est donc rectangle en A.
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle SAB rectangle en A :
SB² = SA² + AB²
SB² = 15² + 8²
SB² = 225 + 64
SB² = 289
SB = \sqrt{289}
SB = 17
Le segment [SB] mesure 17 cm.

3. Montrons que les droites (EF) et (AB) sont parallèles :
Les points S, E, A sur la droite (EA) sont dans le même ordre que les points S, F, B sur la droite (FB).
On a : \dfrac{\text{SE}}{\text{SA}} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} \hspace{15pt} \text{ et }  \hspace{15pt} \dfrac{\text{SF}}{\text{SB}} = \dfrac{13,6}{17} = \dfrac{170}{136} = \dfrac{4}{5}
Donc \dfrac{\text{SE}}{\text{SA}} = \dfrac{\text{SF}}{\text{SB}}.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

4. a) Coefficient k de cette réduction :
\ext{k = \dfrac{SE}{SA}} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}
Le coefficient de réduction est \dfrac{4}{5}

4. b) Déduisons-en le volume \scr{V}_2 de la pyramide SEFGH en fonction de \scr{V}_1 :
On a alors : \scr{V}_2 = \text{k}^3 \times \scr{V}_1
Donc :
\scr{V}_2 = \left(\dfrac45\right)^3 \times \scr{V}_1\\ \scr{V}_2 = \dfrac{64}{125} \scr{V}_1




exercice 3

1. cf graphique ci-dessous
2. cf graphique ci-dessous
3. en rouge sur le graphique ci-dessous
4. en bleu sur le graphique ci-dessous
5. en vert sur le graphique ci-dessous

Diplôme national du brevet Amérique du Nord - 2007 : image 5



Problème

Partie A

1. Calculons l'heure d'arrivée au musée de ce premier groupe :
Déterminons la durée du parcours :
Le car parcourt 100 km en 1 heure, il parcourt donc 250 km en \dfrac{250}{100} heures, soit 2,5 heures, c'est-à-dire 2 h 30 min.

Le car a quitté le collège à 7 h 25. Il arrive au musée 2 h 30 plus trad, soit à 9 h 55.

2. Calculons la vitesse moyenne, en km/h, du car transportant ce second groupe :
Le second car parcourt 120 km en 9 h 30 - 8 h 00, c'est-à-dire en 1 h 30 min (ou 1,5 heure).
En 1 heure, il parcourt alors \dfrac{120}{1,5} km, soit 80 km.
La vitesse moyenne du car transportant le second groupe est de 80 km/h.

Partie B

1. Complétons le tableau suivant :
Si Armelle choisit d'obtenir 8 euros par heure,
- pour 20 heures de travail, elle aura 20 × 8, soit 160 euros ;
- pour 25 heures de travail, elle aura 25 × 8, soit 200 euros.

Si Armelle choisit d'obtenir un versement de 90 euros en début de mois puis 5 euros par heure,
- pour 20 heures de travail, elle aura 90 + 20 × 5, soit 190 euros ;
- pour 25 heures de travail, elle aura 90 + 25 × 5, soit 215 euros.

  Nombre d'heures effectuées par mois
  20 heures 25 heures
Somme d'argent perçue par mois (en €) s1 160 200
s2 190 215


2. Exprimons en fonction de x les sommes d'argent s_1(x) \text{ et } s_2(x), versées à Armelle selon les deux formes d'indemnisation proposées :
Si Armelle reçoit 8 euros par heure, pour x heures de travail elle recevra 8x euros.
Donc s_1(x) = 8x
Si Armelle reçoit un versement de 90 euros en début de mois, puis 5 euros par heure, pour x heures de travail elle recevra 5x + 90 euros.
Donc s_2(x) = 5x + 90

3. Résolvons l'équation 8x = 5x + 90 :
8x = 5x + 90\\ 8x - 5x = 90\\ 3x = 90\\ x = \dfrac{90}{3}\\ x = 30
La solution de l'équation est 30, ce sui signifie que pour 30 heures de travail, les rémunérations s1 et s2 sont équivalentes.

4. Représentons graphiquement les deux fonctions s1 et s2 :
s1 est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite (d1) passant par l'origine du repère.
De plus, s1(20) = 8 × 20 = 160 donc le point de coordonnées(20 ; 160) appartient à la droite (d1).

s2 est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite (d2).
De plus, s2(4) = 5 × 4 + 90 = 110 et s2(40) = 5 × 40 + 90 = 290.
Donc les points de coordonnées (4 ; 110) et (40 ; 290) appartiennent à la droite (d2).

Diplôme national du brevet Amérique du Nord - 2007 : image 6


5. a) Graphiquement (pointillés rouges sur le schéma), on retrouve le résultat de la question 3. Les rémunérations ssub>1 et s2 sont équivalentes pour 30 heures de travail. Armelle touche alors 240 euros.

5. b) Si Armelle souhaite travailler 35 heures par mois, l'indemnisation la plus avantageuse sera s1 (8 euros de l'heure). Elle percevra alors 280 euros.
cf pointillés bleus

6. Si Armelle travaille moins de 30 heures, l'indemnisation la plus avantageuse est s2.
Si Armelle travaille exactement 30 heures, les indemnisations s1 et s2 sont équivalentes.
Si Armelle travaille plus de 30 heures, l'indemnisation s1 est la plus avantageuse.
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