Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Centres Étrangers - Session 2007

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L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures
12 points

Activités numériques

exercice 1

1. a) Ecrire chacun des trois nombres \sqrt{12}, \: \sqrt{27} \text{ et } \sqrt{75} sous la forme \text{a}\sqrt{3}, avec a entier.
    b) On donne \text{A} = 4\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 5\sqrt{75} ; donner une écriture simplifiée de A.

2. On pose :
B = 5² + 2 ² × 9 \text{C} = \dfrac{3^2}{4 + 2^2} D = 5 × 103 - 2 × 10²

Donner l'écriture décimale de ces trois nombres.




exercice 2

1. Déterminer le PGCD des nombres 408 et 578.

2. Ecrire \dfrac{408}{578} sous forme d'une fraction irréductible.




exercice 3

On donne \text{E} = 9 - (2x - 1)^2.

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour x = \dfrac13

4. Résoudre (2 + 2x)(4 - 2x) = 0.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

Soit (O; I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm).

1. Sur la copie, dans le repère (O; I, J), placer les points A(-3 ; 1); B(-2 ; 3); C(2 ; 1).

2. Calculer la distance BC.

3. On admet que AB = \sqrt{5} et AC = 5.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

4. Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].

5. Construire le point N, image de M par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BC}}.

6. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{BC}}.

7. Calculer les coordonnées du point N.

8. Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu.




exercice 2

On donne la figure ci-dessous dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire cette figure.

Diplôme national du brevet Centres Etrangers - 2007 : image 1


L'unité de longueur est le centimètre. Le triangle MNP est rectangle en P avec MP = 6 et NP = 2\sqrt{3}. Le triangle MRS est rectangle en S avec MR = 5. Les points M, R et N sont alignés, les points M, S et P sont alignés.

1. Déterminer une valeur de l'angle \widehat{\text{PMN}}.

2. En déduire la longueur RS.

3. Justifier que les droites (NP) et (RS) sont parallèles.

4. Calculer la distance MS ; l'arrondir au mm.


12 points

Problème

Première partie :

1. On considère le tableau de proportionnalité ci-dessous :
Diplôme national du brevet Centres Etrangers - 2007 : image 2

    a) Calculer b.
    b) On appelle a le coefficient de proportionnalité. Calculer a.

2. On considère la fonction linéaire f définie par : f \: : \: x fleche2 3,5x.
Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite d représentant la fonction f.
On prendra un repère orthonormé ; l'origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : 1 cm représentera 10 unités.

Deuxième partie :

1. Dans le repère précédent, placer les points A(20 ; 70) et B(60 ; 90).

2. Déterminer la fonction affine g dont la représentation graphique est la droite (AB).

3. a) Résoudre le système \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  3,5x \\ y  &  0,5x + 60 \\ \end{array} \right.
    b) Que représente le couple (x \: ; \: y), solution de ce système, pour les droites d et (AB) ?

Troisième partie :

On dispose d'un ressort de 60 mm.
Quand on lui suspend une masse de 20 g, il s'allonge de 10 mm.

1. On admet que l'allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée.
Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de 80 g est 100 mm.

2. Soit x la masse suspendue en grammes.
Exprimer l'allongement du ressort en fonction de x.

3. Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de x.

4. Sachant que la masse volumique de l'or est 19,5 g/cm3, calculer la masse d'un cube en or de 2 cm d'arête.

5. On suspend ce cube à ce ressort. Déterminer la longueur totale du ressort.
Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires.



Activités numériques

exercice 1

1. a) Écrivons chacun des trois nombres \sqrt{12}, \: \sqrt{27} \text{ et } \sqrt{75} sous la forme \text{a}\sqrt{3} :
\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\\ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\\ \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}

1. b) Donnons une écriture simplifiée de A :
En utilisant les résultats de la question précédente :
\text{A} = 4\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 5\sqrt{75}\\ \text{A} = 4 \times 2\sqrt{3} + 3 \times 3\sqrt{3} - 5 \times 5\sqrt{3}\\ \text{A} = 8\sqrt{3} + 9\sqrt{3} - 25\sqrt{3}\\ \text{A} = -8\sqrt{3}

2. Donnons l'écriture décimale des trois nombres A, B et C :
B = 5² + 2 ² × 9 \text{C} = \dfrac{3^2}{4 + 2^2} D = 5 × 103 - 2 × 10²
B = 25 + 4 × 9 \text{C} = \dfrac{9}{4 + 4} D = 5 000 - 200
B = 25 + 36 \text{C} = \dfrac{9}{8} D = 4 800
B = 61 C = 1,125





exercice 2

1. Déterminons le PGCD des nombres 408 et 578 :
On utilise l’algorithme d'Euclide :
578 = 408 × 1 + 170
408 = 170 × 2 + 68
170 = 68 × 2 + 34
68 = 34 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 34, donc le PGCD de 408 et 578 est 34.

2. Écrivons \dfrac{408}{578} sous forme d'une fraction irréductible :
On sait que le PGCD de 408 et 578 est 34, donc : 408 = 34 × 12 et 578 = 34 × 17
\dfrac{408}{578} = \dfrac{34 \times 12}{34 \times 17} = \dfrac{12}{17}




exercice 3

1. Développons et réduisons E :
\text{E} = 9 - (2x - 1)^2\\ \text{E} = 9 - ((2x)^2 - 2 \times 2x \times 1 + 1^2)\\ \text{E} = 9 - (4x^2 - 4x + 1)\\ \text{E} = 9 - 4x^2 + 4x - 1\\ \text{E} = -4x^2 + 4x + 8

2. Factorisons E :
On reconnaît une identité remarquable de la forme a² - b²
\text{E} = 9 - (2x - 1)^2\\ \text{E} = 3^2 - (2x - 1)^2\\ \text{E} = [3 - (2x - 1)][3 + (2x - 1)]\\ \text{E} = (3 - 2x + 1)(3 + 2x - 1)\\ \text{E} = (4 - 2x)(2 + 2x)

3. Calculons E pour x = \dfrac13 :
En utilisant la forme développée de E, on obtient :
\text{E} = -4 \times \left(\dfrac13\right)^2 + 4 \times \dfrac13 + 8\\ \text{E} = -4 \times \dfrac19 + \dfrac43 + 8\\ \text{E} = -\dfrac49 + \dfrac43 + 8\\ \text{E} = -\dfrac49 + \dfrac{12}{9} + \dfrac{72}{9}\\ \text{E} = \dfrac{80}{9}

4. Résolvons (2 + 2x)(4 - 2x) = 0 :
Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul; et réciproquement.
\begin{array}{lcl} 2 + 2x = 0& \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} & 4 - 2x = 0\\ 2x = -2& \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} &-2x = -4\\ x = -\dfrac{2}{2}& \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} &x = \dfrac{-4}{-2}\\ x = -1& \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} &x = 2\\ \end{array}
Les solutions de l'équation sont -1 et 2.


Activités géométriques

exercice 1

1.
Diplôme national du brevet Centres Etrangers - 2007 : image 3


2. Calculons la distance BC :
\text{BC}^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2
BC² = (2 - (-2))² + (1 - 3)²
BC² = 4² + (-2)²
BC² = 16 + 4
BC² = 20
D'où : \text{BC} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}
Donc la distance BC est égale à 2\sqrt{5} cm.

3. Démontrons que le triangle ABC est rectangle :
On a : AC² = 5² = 25 et \text{BC}^2 + \text{AB}^2 = \left(2\sqrt{5}\right)^2 + \left(\sqrt{5}\right)^2 = 20 + 5 = 25
Donc : AC² = BC² + AB²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle ABC est rectangle en B.

4. Calculons les coordonnées du milieu M de [AB] :
x_{\text{M}} = \dfrac{x_{\text{A}} + x_{\text{B}}}{2} = \dfrac{-3 + (-2)}{2} = -\dfrac52
et y_{\text{M}} = \dfrac{y_{\text{A}} + y_{\text{B}}}{2} = \dfrac{1 + 3}{2} = 2
Donc \text{M}\left(-\dfrac52 \: ; \: 2\right)

5. Construisons le point N, image de M par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BC}}.
cf graphique

6. Calculons les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{BC}} :
\overrightarrow{\text{BC}}(x_{\text{C}} - x_{\text{B}} \: ; \: y_{\text{C}} - y_{\text{B}})\\ \overrightarrow{\text{BC}}(2 - (-2) \: ; \: 1 - 3)\\ \overrightarrow{\text{BC}}(4 \: ; \: -2)

7. Calculons les coordonnées du point N :
Le point N est l'image du point M par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BC}}, donc \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{MN}}.
Or, si deux vecteurs sont égaux, alors ils ont les mêmes coordonnées.
Donc les vecteurs \overrightarrow{\text{BC}} \text{ et } \overrightarrow{\text{MN}} ont les mêmes coordonnées.
\overrightarrow{\text{BC}} a pour coordonnées (4 ; -2) et \overrightarrow{\text{MN}} a pour coordonnées \left(x_{\text{N}} + \dfrac52 \: ; \: y_{\text{N}} - 2\right). Donc :
\begin{array}{lcl} x_{\text{N}} + \dfrac52 = 4 & \hspace{25pt} \text{ et } \hspace{25pt} & y_{\text{N}} - 2 = -2\\ x_{\text{N}} = 4 - \dfrac52 & & y_{\text{N}} = -2 + 2\\ x_{\text{N}} = \dfrac32 & & y_{\text{N}} = 0\\ \end{array}
Donc \text{N}\left(\dfrac32 \: ; \: 0\right)

8. Démontrons que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu :
On sait que \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{MN}}, donc MBCN est un parallélogramme.
On en déduit que \overrightarrow{\text{MB}} = \overrightarrow{\text{NC}}
On sait que M est le milieu de [AB], donc \overrightarrow{\text{MB}} = \overrightarrow{\text{AM}}.
De \overrightarrow{\text{MB}} = \overrightarrow{\text{NC}} et \overrightarrow{\text{MB}} = \overrightarrow{\text{AM}}, on en déduit que \overrightarrow{\text{NC}} = \overrightarrow{\text{AM}}. Donc le quadrilatère AMCN est un parallélogramme. Ses diagonales [MN] et [AC] se coupent en leur milieu.
Donc la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu.




exercice 2

1. Déterminons une valeur de l'angle \widehat{\text{PMN}} :
Dans le triangle MNP rectangle en P, on a :
\tan \widehat{\text{PMN}} = \dfrac{\text{NP}}{\text{MP}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}
Donc : \widehat{\text{PMN}} = \tan^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) = 30
Donc l'angle \widehat{\text{PMN}} mesure 30°.

2. Déduisons-en la longueur RS :
Dans le triangle MRS rectangle en S, on a :
\sin \widehat{\text{PMN}} = \dfrac{\text{RS}}{\text{MR}}
Donc \sin 30^{\circ} = \dfrac{\text{RS}}{5}
\text{RS} = 5 \times \sin 30^{\circ} = 5 \times \dfrac12 = 2,5
Donc le segment [RS] mesure 2,5 cm.

3. Justifions que les droites (NP) et (RS) sont parallèles :
On sait que le triangle MPN est rectangle en P, donc les droites (MP) et (PN) sont perpendiculaires.
On sait que le triangle MSR est rectangle en S, donc les droites (MP) et (RS) sont perpendicualaires.
Donc, les droites (PN) et (RS) sont perpendiculaires à la droite (MP). On en conclut que les droites (PN) et (RS) sont parallèles.

4. Calculons la distance MS :
Les droites (RN) et (SP) sont sécantes en M et les droites (RS) et (NP) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{MR}}{\text{MN}} = \dfrac{\text{MS}}{\text{MP}} = \dfrac{\text{RS}}{\text{NP}} \text{ donc } \dfrac{5}{\text{MN}} = \dfrac{\text{MS}}{6} = \dfrac{2,5}{2\sqrt{3}}
De \dfrac{MS}{6} = \dfrac{2,5}{2\sqrt{3}}, on en déduit que :
MS = \dfrac{2,5 \times 6}{2\sqrt{3}} \approx 4,3
Le segment [MS] mesure environ 4,3 cm.


Problème

Première partie :

1. a) Calculons b :
Le tableau est un tableau de proportionnalité. On a donc :
\text{b} = \dfrac{70 \times 30}{20}
Donc : b = 105.

1. b) Calculons a :
\text{a} = \dfrac{70}{20}
Donc : a = 3,5.

2. Traçons la droite d représentant la fonction f :
f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite (d) passant par l'origine du repère.
De plus, f(50) = 3,5 \times 50 = 175, donc le point de coordonnées (50 ; 175) appartient à la droite (d).

Diplôme national du brevet Centres Etrangers - 2007 : image 4


Deuxième partie :

1. cf graphique

2. Déterminons la fonction affine g dont la représentation graphique est la droite (AB) :
g est une fontion affine, donc g(x) = \text{a}x + \text{b}
Déterminons le coefficient a : les points A et B appartiennent à la représentation graphique de la fonction g, donc :
\text{a} = \dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \dfrac{70 - 90}{20 - 60} = \dfrac{-20}{-40} = \dfrac{1}{2}
Donc : g(x) = \dfrac12 x+ \text{b}

Déterminons le coefficient b :
Le point A appartient à la représentation graphique de la fonction g, donc :
y_A = \dfrac12 x_A + \text{b} \\ 70 = \dfrac12 \times 20 + \text{b}
70 = 10 + b
b = 70 - 10
b = 60
D'où : g(x) = \dfrac12 x + 60
On en déduit que la droite (AB) a pour équation y = 0,5x + 60

3. a) Résolvons le système :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  3,5x \: (1)  \\ y  &  0,5x + 60 \: (2) \\ \end{array} \right.
En remplaçant y par 3,5x dans l'équation (2), on obtient :
3,5x = 0,5x + 60\\ 3,5x - 0,5x = 60\\ 3x = 60\\ x = \dfrac{60}{3}\\ x = 20
On en déduit alors que : y = 3,5 \times x = 3,5 \times 20 = 70
Donc : le couple solution du système est (20 ; 70).

3. b) y = 3,5x est l'équation de la droite (d). y = 0,5x + 60 est l'équation de la droite (AB).
Le couple (20 ; 70) solution du système y = 3,5 \times x = 3,5 \times 20 = 70 représente donc les coordonnées du point d'intersection des droites (d) et (AB).

Troisième partie :

1. Démontrons que la longueur totale du ressort pour une masse de 80 g est 100 mm :
On sait que si on suspend une masse de 20 g au ressort, il s'allonge de 10 mm.
L'allongement du ressort étant toujours proportionnel à la masse accrochée, si on suspend une masse de 80 g, il s'allongera de : \dfrac{80 \times 10}{20}, soit 40 mm.
La longueur totale du ressort est donc 60 + 40 mm, c'est-à-dire 100 mm.
Donc : si on suspend une masse de 80 g, la longueur totale du ressort sera de 100 mm.

2. Exprimons l'allongement du ressort en fonction de x :
On sait que si on suspend une masse de 20 g au ressort, il s'allonge de 10 mm.
Donc si on suspend une masse de x g, l'allongement sera de \dfrac{10 \times x}{20}, c'est-à-dire 0,5x mm.

3. La longueur totale du ressort sera alors de 0,5x + 60 mm.

4. Calculons la masse d'un cube en or de 2 cm d'arête :
Un cube de 2 cm d'arête a pour volume 2 × 2 × 2 cm3, soit 8 cm3.
La masse volumique de l'or étant de 19,5 g/cm3, c'est-à-dire que 1 cm3 d'or pèse 19,5 grammes.
8 cm3 d'or pèseront alors : 8 × 19,5 g, soit 156 g.
Donc : un cube en or de 2 cm d'arête a pour masse 156 g.

5. Déterminons la longueur totale du ressort :
On sait que lorsque l'on suspend une masse de x g au ressort, il a pour longueur totale 0,5x + 60 mm [cf question 3.].
Si on suspend au ressort le cube de 156 g, la longueur totale du ressort sera alors de 0,5 \times 156 + 60 mm, soit 138 mm.

    Retrouvons cette longueur sur le graphique :
On a vu que si on suspend un masse de x g, la longueur totale du ressort est alors de 0,5x + 60 mm.
Graphiquement, cet allongement est représenté par la droite (AB).
On trace alors la droite d'équation x = 156, c'est-à-dire la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées (156 ; 0). Elle coupe la droite (AB) en un point d'ordonnée 138 [cf pointillés rouges sur le graphique].
On a alors retrouvé graphiquement le résultat : si on suspend au ressort le cube de 156 g, la longueur totale du ressort est de 138 mm.
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