Fiche de mathématiques
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DNB Métropole 2024

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exercice 1

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exercice 2

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exercice 3

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exercice 4

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20 points

exercice 5

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DNB Métropole 2024 : image 1





exercice 1

1.  La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro. On est donc dans une situation d'équiprobabilité.

Il y a 37 cases au total, numérotées de 0 à 36.Une seule case porte le numéro 7.

La probabilité que la bille s'arrête sur la case 7 est donc  \dfrac{1}{37}.

2. On compte les cases noires et paires. Il y en a 10 au total ( 4, 2, 6, 8, 10, 24, 20, 22, 28 et 26). La probabilité que la bille s'arrête sur une case noire et paire est de \dfrac{10}{37}.

\white{w} a.   Les cases portant un numéro inférieur ou égal à 6 sont les 7 cases portant les numéros 0 à 6.
La probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6 est donc \dfrac{7}{37}.

\white{w} b.   L'événement "la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7" est l'événement contraire. Sa probabilité est donc 1-\dfrac{7}{37}=\dfrac{30}{37}.

\white{w} c.   \dfrac3 4=\dfrac{30}{40}. Or  37< 40  donc  \dfrac{30}{37} > \dfrac{30}{40}

La probabilité trouvée est donc bien supérieure à   \dfrac 34.



exercice 2

1. a. On choisit 5. Son carré vaut 25 ; le double vaut 50 ; on ajoute   2\times 5   soit 10, on obtient 60 et on retranche 4 ; on trouve bien 56.

\white w b.   Si on choisit -9 comme nombre de départ pour le programme B : -9+2=-7 ; -9-1=-10 ; (-7)(-10)=70.
On obtient le nombre 70.

2. a.   Le résultat obtenu par le programme B est :   E_2=(x+2)(x-1).

\white w b.  Le résultat obtenu par le programme A est :  x\to x^2\to 2x^2\to 2x^2+2x\to 2x^2+2x-4  soit  E=2x²+2x-4.

Or  E_2 \;:\; (x+2)(x-1)=x²-x+2x-2=x^2+x-2,

Par le programme A :  E=2(x²+x-2)  qui est bien le double de l'expression E2.



exercice 3

1.   Le diamètre est égal au double du rayon, soit AB=9 cm.

2.   ABD est un triangle inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABD est rectangle en D. [AB] est un diamètre du cercle C, et D est un point de ce cercle, donc le triangle ABD est rectangle en D.

3. Les points A, F, D sont alignés dans cet ordre, les points A, E, B sont alignés dans cet ordre, et les droites (AB) et (EF) sont parallèles, donc, d'après le théorème de Thalès, on a l'égalité :   \dfrac{EF}{BD}=\dfrac{AF}{AD}.   On remplace.

\dfrac{AF}{7,2}=\dfrac{2,7}{9}   qui vaut 0,3 donc  AF=0,3\times 7,2=2,16 cm.

4. a.   L'aire du triangle rectangle ABD est :  \mathcal A= \dfrac 12 BD\times AD=\dfrac 12 5,4\times 7,2=19,44 cm2.

\white w b.   L'aire du disque de rayon [OA] est :  \mathcal A'=\pi\,4,5²\approx 63,617, soit 63,62 cm², arrondie au centième.

5.   Le rapport de l'aire du triangle ABD et de celle du disque est :   \dfrac{\mathcal A}{\mathcal A'}= \dfrac{19,44}{63,62}=0,306, soit 0,31, arrondi au centième.

L'aire du triangle ABD représente donc environ 31 % de l'aire du disque.



exercice 4

1. Réponse A :   3(-4)-2=-12-2=-14.

2. Réponse A :   (-5)^3=-125.

3. Réponse B :   C'est le point E (on décale de 2 carreaux vers le bas et de 2 carreaux vers la gauche).

4. Réponse C :   0 est l'antécédent de 3, car 3 est l'image de 0 par la fonction f.

5. Réponse B :   0n range par ordre croissant les tailles des élèves : 1,46 - 1,6 - 1,65 - 1,67 - 1,7 - 1,72 - 1,75 ; on prend alors la valeur médiane car il y a un nombre impair de valeurs.

6. Réponse A :   \cos(\alpha)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac 45=0,8.



exercice 5

Partie A :

1.   15 ne divise pas 132. On ne peut donc pas faire 15 sachets.

2. a.   330=2\times 5\times 3\times 11 et 132=2\times 66=2\times 2\times 3\times 11=2^2\times 3\times 11

\white w b.   Le nombre maximal de sachets qu'on peut faire est un diviseur de 330 et de 132, et cela doit être le plus grand diviseur possible, c'est-à-dire le PGCD des deux nombres. Le nombre maximal de sachets est donc : 2\times 3\times 11=66.

\white w c.   On a 330 autocollants et on fait 66 sachets. Chaque sachet contiendra 5 autocollants.
On a 132 drapeaux, et chaque sachet contiendra donc 2 drapeaux.

Partie B :

Le volume de la piscine est   \mathcal V=25\times 15\times 2=750 m³.

Le volume d'eau contenu est de   \dfrac{9}{10}\times 750=675 m³.

Un mètre cube d'eau coûte   4,14 \;\euro,  le prix total est   675\times 4,14=2 794,50\;\euro .
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