Fiche de mathématiques

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DNB Métropole 2024

20 points

exercice 1

20 points

exercice 2

22 points

exercice 3

18 points

exercice 4

20 points

exercice 5

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exercice 1

1. La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro. On est donc dans une situation d'équiprobabilité.

Il y a 37 cases au total, numérotées de 0 à 36.Une seule case porte le numéro 7.

La probabilité que la bille s'arrête sur la case 7 est donc $\dfrac{1}{37}$ .

2. On compte les cases noires et paires. Il y en a 10 au total ( 4, 2, 6, 8, 10, 24, 20, 22, 28 et 26). La probabilité que la bille s'arrête sur une case noire et paire est de $\dfrac{10}{37}$ .

$\white{w}$ a. Les cases portant un numéro inférieur ou égal à 6 sont les 7 cases portant les numéros 0 à 6.
La probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6 est donc $\dfrac{7}{37}$ .

$\white{w}$ b. L'événement "la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7" est l'événement contraire. Sa probabilité est donc $1-\dfrac{7}{37}=\dfrac{30}{37}$ .

$\white{w}$ c. $\dfrac3 4=\dfrac{30}{40}$ . Or $37< 40$ donc $\dfrac{30}{37} > \dfrac{30}{40}$

La probabilité trouvée est donc bien supérieure à $\dfrac 34$ .

exercice 2

1. a. On choisit 5. Son carré vaut 25 ; le double vaut 50 ; on ajoute $2\times 5$ soit 10, on obtient 60 et on retranche 4 ; on trouve bien 56.

$\white w$ b. Si on choisit -9 comme nombre de départ pour le programme B : -9+2=-7 ; -9-1=-10 ; (-7)(-10)=70.
On obtient le nombre 70.

2. a. Le résultat obtenu par le programme B est : $E_2=(x+2)(x-1)$ .

$\white w$ b. Le résultat obtenu par le programme A est : $x\to x^2\to 2x^2\to 2x^2+2x\to 2x^2+2x-4$ soit $E=2x²+2x-4$ .

Or $E_2 \;:\; (x+2)(x-1)=x²-x+2x-2=x^2+x-2$ ,

Par le programme A : $E=2(x²+x-2)$ qui est bien le double de l'expression E₂.

exercice 3

1. Le diamètre est égal au double du rayon, soit AB=9 cm.

2. ABD est un triangle inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABD est rectangle en D. [AB] est un diamètre du cercle C, et D est un point de ce cercle, donc le triangle ABD est rectangle en D.

3. Les points A, F, D sont alignés dans cet ordre, les points A, E, B sont alignés dans cet ordre, et les droites (AB) et (EF) sont parallèles, donc, d'après le théorème de Thalès, on a l'égalité : $\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{AF}{AD}$ . On remplace.

$\dfrac{AF}{7,2}=\dfrac{2,7}{9}$ qui vaut 0,3 donc $AF=0,3\times 7,2=2,16$ cm.

4. a. L'aire du triangle rectangle ABD est : $\mathcal A= \dfrac 12 BD\times AD=\dfrac 12 5,4\times 7,2=19,44$ cm².

$\white w$ b. L'aire du disque de rayon [OA] est : $\mathcal A'=\pi\,4,5²\approx 63,617$ , soit 63,62 cm², arrondie au centième.

5. Le rapport de l'aire du triangle ABD et de celle du disque est : $\dfrac{\mathcal A}{\mathcal A'}= \dfrac{19,44}{63,62}=0,306$ , soit 0,31, arrondi au centième.

L'aire du triangle ABD représente donc environ 31 % de l'aire du disque.

exercice 4

1. Réponse A : $3(-4)-2=-12-2=-14$ .

2. Réponse A : $(-5)^3=-125$ .

3. Réponse B : C'est le point E (on décale de 2 carreaux vers le bas et de 2 carreaux vers la gauche).

4. Réponse C : 0 est l'antécédent de 3, car 3 est l'image de 0 par la fonction $f$ .

5. Réponse B : 0n range par ordre croissant les tailles des élèves : 1,46 - 1,6 - 1,65 - 1,67 - 1,7 - 1,72 - 1,75 ; on prend alors la valeur médiane car il y a un nombre impair de valeurs.

6. Réponse A : $\cos(\alpha)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac 45=0,8$ .

exercice 5

Partie A :

1. 15 ne divise pas 132. On ne peut donc pas faire 15 sachets.

2. a. $330=2\times 5\times 3\times 11$ et $132=2\times 66=2\times 2\times 3\times 11=2^2\times 3\times 11$

$\white w$ b. Le nombre maximal de sachets qu'on peut faire est un diviseur de 330 et de 132, et cela doit être le plus grand diviseur possible, c'est-à-dire le PGCD des deux nombres. Le nombre maximal de sachets est donc : $2\times 3\times 11=66$ .

$\white w$ c. On a 330 autocollants et on fait 66 sachets. Chaque sachet contiendra 5 autocollants.
On a 132 drapeaux, et chaque sachet contiendra donc 2 drapeaux.

Partie B :

Le volume de la piscine est $\mathcal V=25\times 15\times 2=750$ m³.

Le volume d'eau contenu est de $\dfrac{9}{10}\times 750=675$ m³.

Un mètre cube d'eau coûte $4,14 \;\euro$ , le prix total est $675\times 4,14=2 794,50\;\euro$ .

Publié par malou le 28-09-2024

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