Tu auras besoin avant de travailler sur cette fiche de bien maîtriser le calcul littéral et en particulier la distributivité ainsi que la notion de factorisation. Dans tes calculs tu seras parfois amené à gérer les signes de tes expressions. Il faut donc que tu saches appliquer les règles des signes.
Enjeu
Le but de ce chapitre est de te permettre de développer plus rapidement certaines expressions ou, au contraire, de pouvoir factoriser des expressions qui n'étaient, pour l'instant, pas factorisables. Tu retrouveras ensuite ces techniques de calcul tout le long du lycée. Il est donc important que tu saches identifier les identités remarquables quand tu les rencontres et qu'ensuite tu sois capable de les manipuler rapidement et correctement.
I. Développement (révisions)
Définition :
Développer un produit, c'est le transformer en une somme ou une différence.
Propriétés :
Pour tous nombres a, b, c, d et k, on a :
produit
somme ou différence
k(a + b)
=
ka + kb
k(a - b)
=
ka - kb
(a + b)(c + d)
=
ac + ad + bc + bd
Exemple : Développer l'expression A = .
A = + A = +
II. Identités remarquables
1. Carré d'une somme
Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b²
Démontrons ce résultat : par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :
ABCD est un carré de côté a + b, AEFG est un carré de côté a, FHCI est un carré de côté b, EBHF et GFID sont deux rectangles de largeur a et de longueur b.
Exprimons de deux manières différentes l'aire du carré ABCD :
ABCD est un carré de côté a + b, donc = (a + b)²
ou :
= a² + a × b + b² + a × b
= a² + 2ab + b²
D'où : (a + b)² = a² + 2ab + b²
Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)² = a² - 2ab + b²
Démontrons ce résultat : par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a × a - a × b - b × a + b × b = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²
en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :
EHCG est un carré de côté a, EIAF est un carré de côté b, ABCD est un carré de côté (a - b) et IHBA et ADGF sont deux rectangles de largeur b et de longueur (a - b).
Exprimons de deux manières différentes l'aire du carré ABCD :
ABCD est un carré de côté a - b, donc = (a - b)²
ou :
= a² - b² - b × (a - b) - b × (a - b)
= a² - b² - ba + b² - ba + b²
= a² - 2ab + b²
D'où : (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. Produit d'une différence par une somme de deux mêmes valeurs
Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)(a + b) = a² - b²
Démontrons ce résultat : par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a - b)(a + b) = a × a + a × b - b × a - b × b = a² - b²
en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :
ABCD est un rectangle de longueur (a + b) et de largeur a, AEGF est un rectangle de largeur b et de longueur a, GHCI est un rectangle de longueur (a - b) et de largeur b et FGID est un carré de côté b.
Exprimons de deux manières différentes l'aire du rectangle EBCI :
EBCI est un un rectangle de longueur (a + b) et de largeur (a - b), donc = (a - b)(a + b)
ou :
= a(a + b) - ba - b²
= a² + ab - ab - b²
= a² - b²
D'où : (a - b)(a + b) = a² - b²
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 + (3x - 1)(4x + 5))
.
)
+ (4x + 5))
+ 
du carré ABCD :
^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\\ (5x + 3)^2 = (5x)^2 + 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = 25x^2 + 30x + 9\\ (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1)
^2 = x^2 - 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49\\ (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9\\ (5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9)
(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9\\ (5x - 3)(5x + 3) = (5x)^2 - 3^2 = 25x^2 - 9\\ (2x + 5)(2x - 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25)
(x + 2) + (x - 1)(x + 3) \hspace{40pt} (x - 1))
est le facteur commun
![\text{B} = \boxed{(x - 1)}(x + 2) + \boxed{(x - 1)}(x + 3)\\ \text{B} = (x - 1)[(x + 2) + (x + 3)]\\ \text{B} = (x - 1)(x + 2 + x + 3)\\ \text{B} = (x - 1)(2x + 5)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{B} = \boxed{(x - 1)}(x + 2) + \boxed{(x - 1)}(x + 3)\\ \text{B} = (x - 1)[(x + 2) + (x + 3)]\\ \text{B} = (x - 1)(x + 2 + x + 3)\\ \text{B} = (x - 1)(2x + 5))
(2x - 1) - (5x + 3)^2 \hspace{40pt} (5x + 3))
est le facteur commun
![\text{C} = \boxed{(5x + 3)}(2x - 1) - \boxed{(5x + 3)}(5x + 3)\\ \text{C} = (5x + 3)[(2x - 1) - (5x + 3)]\\ \text{C} = (5x + 3)(2x - 1 - 5x - 3)\\ \text{C} = (5x + 3)(-3x - 4)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{C} = \boxed{(5x + 3)}(2x - 1) - \boxed{(5x + 3)}(5x + 3)\\ \text{C} = (5x + 3)[(2x - 1) - (5x + 3)]\\ \text{C} = (5x + 3)(2x - 1 - 5x - 3)\\ \text{C} = (5x + 3)(-3x - 4))
(3x - 5) - (3x - 5) \hspace{40pt} (3x - 5))
est le facteur commun
![\text{D} = (7x + 6)\boxed{(3x - 5)} - \boxed{(3x - 5)} \times 1\\ \text{D} = (3x - 5)[(7x + 6) - 1]\\ \text{D} = (3x - 5)(7x + 6 - 1)\\ \text{D} = (3x - 5)(7x + 5)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{D} = (7x + 6)\boxed{(3x - 5)} - \boxed{(3x - 5)} \times 1\\ \text{D} = (3x - 5)[(7x + 6) - 1]\\ \text{D} = (3x - 5)(7x + 6 - 1)\\ \text{D} = (3x - 5)(7x + 5))
de la forme a² + 2 × a × b + b², avec a = 
et b = 5, donc :
^2)
^2 - 2 \times 2x \times 7 + 7^2)
et b = 7, donc :
^2)
de la forme a² - b², avec a = (x + 6))
^2 - (7x - 1)^2)
de la forme a² - b² avec a = 
et b = 
![\text{H} = [(4x + 3) - (7x - 1)][(4x + 3) + (7x - 1)]\\ \text{H} = (4x + 3 - 7x + 1)(4x + 3 + 7x - 1)\\ \text{H} = (-3x + 4)(11x + 2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{H} = [(4x + 3) - (7x - 1)][(4x + 3) + (7x - 1)]\\ \text{H} = (4x + 3 - 7x + 1)(4x + 3 + 7x - 1)\\ \text{H} = (-3x + 4)(11x + 2))
Publié par Tom_Pascal
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