Fiche de mathématiques
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Exercice de calcul de longueurs dans un triangle rectangle

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exercice

1. On considère un triangle ABC tel que :
AC=4 cm,
(AH) soit la hauteur issue de A
HB=5 cm
\widehat{BCA}=37°.
Exercice de calcul de longueurs dans un triangle rectangle : image 1

La figure n'est pas à l'échelle

Calculer AH puis déterminer  \widehat{ABH} (les arrondis seront donnés au centième près).
2. Montrer pour tout réel x tel que 0\leqslant x <90 on a 1+\left(\tan x\right)^2=\dfrac{1}{\left(\cos x\right)^2}.




1. Dans le triangle ACH rectangle en H on a :
 \sin \widehat{HCA} = \dfrac{AH}{AC}
Donc  \sin 37 = \dfrac{AH}{4}.
Par conséquent AH=4\sin 37 \approx 2,41 cm.

Dans le triangle ABH rectangle en H on a :
\tan \widehat{ABH}=\dfrac{AH}{HB} = \dfrac{2,41}{5}.
Donc \widehat{ABH} \approx 25,71°.
2. Le réel x est tel que 0 \leqslant x <90 on a \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
Donc :
\begin{array}{rl} 1+\left(\tan x\right)^2&=1+\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^2 \\\\ &=1+\dfrac{\left(\sin x\right)^2}{\left(\cos x\right)^2} \\\\ &=\dfrac{\left(\sin x\right)^2+\left(\sin x\right)^2}{\left(\cos x\right)^2} \\\\ &=\dfrac{\left(\sin x\right)^2+\left(\cos x\right)^2}{\left(\cos x\right)^2} \\\\ &=\dfrac{1}{\left(\cos x\right)^2} \end{array}
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