Fiche de mathématiques
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Trigonométrie dans le triangle rectangle

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Fiche relue en 2016.
Cosinus, sinus et tangente

Pré requis
Ce chapitre complète le chapitre vu en quatrième sur le cosinus d'un angle. Il est donc important d'avoir bien compris le processus permettant de calculer un angle ou une longueur à partir du cosinus d'un angle dans un triangle. Tu verras, avec cette fiche, la définition du sinus et de la tangente d'un angle qui fonctionne sur le même principe que le cosinus. Tu seras amené, parfois, à résoudre des équations liées à la proportionnalité. Il faut donc maîtriser les techniques de calculs qui y sont liées.

Enjeu
Ce chapitre te permet de définir différentes notions de trigonométrie dans un triangle rectangle. Elles vont te permettre de déterminer des angles ou des longueurs que tu ne pouvais, pour l'instant pas calculer. Ce chapitre sera complété en seconde pour parler, cette fois, de trigonométrie dans un cercle. Connaître les valeurs des sinus, cosinus et tangente des angles de 30°, 45°, 60° est très appréciable par la suite.

I. Sinus d'un angle aigu

Trigonométrie dans les triangles rectangles : cosinus, sinus et tangente - troisième : image 1
Définition :
Dans un triangle ABC, rectangle en A, on appelle sinus de l'angle \widehat{B} le nombre \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}.


\sin \widehat{B} = \dfrac{\text{longueur du côté opposé à }\widehat{B}}{\text{longueur de l'hypoténuse}}

\sin \widehat{C} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}

II. Tangente d'un angle aigu


\cos \widehat{B} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}

\sin \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}

Définition :
Dans un triangle ABC, rectangle en A, la tangente de l'angle \widehat{B} que l'on note \tan \widehat{B} le nombre \dfrac{\text{AC}}{\text{BA}}.


\tan \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé à }\widehat{B}}{\text{côté adjacent}}

III. Relation entre cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu


Dans le triangle ABC, rectangle en A, exprimer les cosinus, sinus et tangente de l'angle \widehat{B}.
Prouver que: \tan \widehat{B}=\dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}}

Pour tout angle aigu de mesure x :
\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}         (cos x)^2 + (sin x)^2 = 1

Remarque : Par abus, il est d'usage d'écrire (cos x)^2 \text{ et } (sin x)^2 sous la forme cos^2 x \text{ et } sin ^2 x, ce qui donnera pour la dernière relation : pour tout angle aigu de mesure x , cos^2 x+sin ^2 x = 1

IV. Sinus, cosinus, tangente d'angles remarquables

Angle de 45°:
cos 45° = sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
tan 45° = 1

Angles de 60° et de 30°:
sin 30° = cos 60° = \dfrac{1}{2}
cos 30° = sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
tan 60° = \sqrt{3}
tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}
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