Cette fiche est un résumé des différentes notions vues en géométrie plane durant l'année
de sixième. Ce qui a été vu à l'école primaire sera donc supposé comme connu.
Enjeu :
Le but de cette fiche est de fournir en un seul cours l'ensemble des notions de géométrie
de cette année afin de pouvoir aborder les réviser en une fois et préparer sereinement l'année de
cinquième. Tous ces thèmes seront régulièrement réutilisés les années suivantes.
I Les droites parallèles et perpendiculaires
Définition :
Deux droites sont dites parallèles si :
Elles n'ont aucun point en commun. On dit alors qu'elles sont strictement parallèles.
Elles ont tous leurs points en commun. On dit alors qu'elles sont confondues.
Remarque : Quand deux droites et sont parallèles on note :
Droites strictement parallèles
Droites confondues
Comment tracer une droite parallèle à une droite passant par un point ?
On place un côté de l'angle droit de l'équerre sur de la droite
On place la règle sur l'autre côté de l'angle droit de l'équerre
En maintenant la règle, on fait glisser l'équerre le long de la règle jusqu'au point
On trace la droite
Définition :
Deux droites sont dites perpendiculaires si elles se coupent en formant un
angle droit.
Remarque : Si et sont perpendiculaires, on note . Comment tracer une droite perpendiculaire à une droite passant par un point ?
On place la règle sur la droite
On place un côté droit de l'équerre sur la règle
On fait glisser l'équerre le long de la droite jusqu'au point
On trace la droite
Propriétés :
Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
II Le cercle
Définition :
Un cercle de centre et de rayon est l'ensemble
des points du plan situé à la distance de .
Remarque : Tous les points du cercle vérifie alors .
Définition :
On dit que est un rayon du cercle.
Si deux points et d'un cercle sont tels que le centre
appartient au segment , on dit que est un diamètre du cercle
et que les points et sont diamétralement opposés.
Propriété :
On considère deux points et d'un cercle de centre
et de rayon tels que soit un diamètre de ce cercle.
On a alors :
est le milieu de
Le périmètre du cercle est
L'aire d'un disque est
Exemple : Si un cercle a un rayon de cm alors son diamètre est de
cm, son périmètre est de cm
et son aire est de cm2.
III Les angles
Définition :
Un angle est une partie du plan délimitée par deux demi-droites possèdant
la même origine.
L'angle symbolisé en orange peut être noté ou .
Le point est appelé le sommet de l'angle.
Voici les différents angles qu'on peut rencontrer :
Comment mesurer un angle ?
On positionne le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle
On positionne le rapporteur sur un des côtés de l'angle (on utilisera le "zéro" du
rapporteur qui se trouve du même côté que la demi-droite choisie)
En ayant prolongé si nécessaire le deuxième côté de l'angle, on lit (sur la même
graduation que le "zéro" qu'on a choisi au départ) la mesure de l'angle
On lit sur l'exemple que
Définition :
On appelle bissectrice d'un angle la demi-droite qui sépare
un angle en deux angles de même mesure.
Comment tracer la bissectrice d'un angle ?
On trace un arc de cercle de même rayon à partir du sommet de l'angle sur chacun des
côtés de l'angle :
A partir des points d'intersection de ces arcs de cercle avec les côtés de l'angle
on trace deux autres arcs de cercle sécants (au besoin, on modifie l'écart du rapporteur) :
On trace la demi-droite joignant le sommet et l'intersection des arcs de cerle
obtenu en
IV Les triangles
Triangles particuliers :
Il existe 4 types de triangles particuliers :
Le triangle isocèle : deux côtés du triangle ont la même mesure
Le triangle rectangle : deux côtés du triangle sont perpendiculaires
Le triangle rectangle isocèle : deux côtés du triangle sont perpendiculaires et de
même longueur
Le triangle équilatéral : les trois côtés du triangle ont la même longueur
Propriété :
Dans un triangle isocèle en , on a
Dans un triangle équilatéral, tous les angles mesurent
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe le segment
perpendiculairement en son milieu.
Pour tracer la médiatrice d'un segment, on peut utiliser la définition ou alors utiliser
la propriété suivante :
Propriété :
La médiatrice d'un segment est la droite dont les points sont
situés à la même distance des extrémités du segment.
On trace, à partir des extrémités du segment, des arcs de cercle de même rayon
On trace la droite passant par les points d'intersection des arcs de cercle
Remarque : La propriété nous indique donc que, pour tout point de la
médiatrice du segment on a .
Propriété :
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes
(se coupent en un même point) appelé le centre du cercle circonscrit.
Propriété :
L'aire d'un triangle quelconque est donnée par la formule
.
V Les quadrilatères particuliers
Définition :
Un quadrilatère est un polygone qui possède 4 côtés.
1 Le losange
Définition :
Un losange est un quadrilatère dont tous les côtés sont de même longueur.
Propriétés :
Les côtés opposés d'un losange sont parallèles
Les angles opposés d'un losange ont la même mesure
Les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu
2 Le rectangle
Définition :
Un rectangle est un quadrilatère qui possède 4 angles droits.
Propriété :
Les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles
Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur
Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu
3 Le carré
Définition :
Un carré est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur et qui
possède 4 angles droits.
Propriété :
Le carré possède à la fois les propriétés du losange et du rectangle.
4 Périmètres et aires
Périmètres :
Le périmètre d'un losange de côté vaut
Le périmètre d'un rectangle de longueur et de largeur vaut
Le périmètre d'un carré de côté vaut
Aires :
L'aire d'un losange dont les diagonales mesurent et vaut
L'aire d'un rectangle de longueur et de largeur vaut
L'aire d'un carré de côté vaut
VI Symétrie axiale
Définition :
Deux figures sont dites symétriques par rapport à une droite
si elles se superposent lorsqu'on plie la feuille selon la droite .
Propriété :
L'image par une symétrie d'axe :
d'un segment est un segment de même longueur
d'un cercle est un cercle de même rayon
d'un angle est un angle de même mesure
Remarque : On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs, les angles,
l'alignement et le parallélisme.
Pour pouvoir tracer l'image d'une figure par une symétrie axiale, on peut tracer les droites
perpendiculaires à l'axe passant par chacun des sommets ou centre de cercle et reporter les distances
séparant ces points de l'axe de l'autre côté de l'axe.
On peut également placer deux points sur l'axe et utiliser des intersections d'arcs de cercle.
Ou enfin utiliser, quand c'est possible, le quadrillage fourni.
Publié par EH01
le
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Merci à Eh01 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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