Fiche de mathématiques
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Les bases de géométrie dans le plan

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Fiche relue en 2016
Prérequis :
Cette fiche est un résumé des différentes notions vues en géométrie plane durant l'année de sixième. Ce qui a été vu à l'école primaire sera donc supposé comme connu.

Enjeu :
Le but de cette fiche est de fournir en un seul cours l'ensemble des notions de géométrie de cette année afin de pouvoir aborder les réviser en une fois et préparer sereinement l'année de cinquième. Tous ces thèmes seront régulièrement réutilisés les années suivantes.

I Les droites parallèles et perpendiculaires

Définition :
Deux droites sont dites parallèles si :
Elles n'ont aucun point en commun. On dit alors qu'elles sont strictement parallèles.
Elles ont tous leurs points en commun. On dit alors qu'elles sont confondues.

Remarque : Quand deux droites (d) et (d') sont parallèles on note :  (d) // (d')

Droites strictement parallèles
Bases de géométrie en classe de 6e : image 7

Droites confondues
Bases de géométrie en classe de 6e : image 17

Comment tracer une droite  (d') parallèle à une droite  (d) passant par un point  A ?
On place un côté de l'angle droit de l'équerre sur de la droite (d)
On place la règle sur l'autre côté de l'angle droit de l'équerre
En maintenant la règle, on fait glisser l'équerre le long de la règle jusqu'au point  A
On trace la droite  (d')
Bases de géométrie en classe de 6e : image 24
Définition :
Deux droites sont dites perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit.

Remarque : Si (d) et (d') sont perpendiculaires, on note (d) \perp (d').
Comment tracer une droite  (d') perpendiculaire à une droite  (d) passant par un point  A ?
On place la règle sur la droite (d)
On place un côté droit de l'équerre sur la règle
On fait glisser l'équerre le long de la droite jusqu'au point A
On trace la droite (d')
Bases de géométrie en classe de 6e : image 25
Propriétés :
Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

II Le cercle

Définition :
Un cercle de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M du plan situé à la distance R de O.

Remarque : Tous les points du cercle vérifie alors  OM=R.
Bases de géométrie en classe de 6e : image 16
Définition :
On dit que OM est un rayon du cercle.
Si deux points A et B d'un cercle sont tels que le centre O appartient au segment [AB], on dit que [AB] est un diamètre du cercle et que les points A et B sont diamétralement opposés.

Propriété :
On considère deux points A et B d'un cercle de centre O et de rayon R tels que [AB] soit un diamètre de ce cercle.
On a alors :
O est le milieu de [AB]
AB=2\times R
Le périmètre du cercle est \mathscr{P}=2\times \pi \times R
L'aire d'un disque est \mathscr{A}=\pi \times R \times R = \pi\times R^2

Exemple : Si un cercle a un rayon de 3 cm alors son diamètre est de 2\times 3=6 cm, son périmètre est de \mathscr{P}=6\times \pi cm et son aire est de \mathscr{A}=9\times \pi cm2.

III Les angles

Définition :
Un angle est une partie du plan délimitée par deux demi-droites possèdant la même origine.

Bases de géométrie en classe de 6e : image 8
L'angle symbolisé en orange peut être noté \widehat{xOy} ou \widehat{AOB}.
Le point O est appelé le sommet de l'angle.
Voici les différents angles qu'on peut rencontrer :
Bases de géométrie en classe de 6e : image 6
Comment mesurer un angle ?
On positionne le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle
On positionne le rapporteur sur un des côtés de l'angle (on utilisera le "zéro" du rapporteur qui se trouve du même côté que la demi-droite choisie)
En ayant prolongé si nécessaire le deuxième côté de l'angle, on lit (sur la même graduation que le "zéro" qu'on a choisi au départ) la mesure de l'angle
Bases de géométrie en classe de 6e : image 9
On lit sur l'exemple que \widehat{AOB}=40°
Définition :
On appelle bissectrice d'un angle la demi-droite qui sépare un angle en deux angles de même mesure.

Bases de géométrie en classe de 6e : image 2
Comment tracer la bissectrice d'un angle ?
On trace un arc de cercle de même rayon à partir du sommet de l'angle sur chacun des côtés de l'angle : \textcircled{1}
A partir des points d'intersection de ces arcs de cercle avec les côtés de l'angle on trace deux autres arcs de cercle sécants (au besoin, on modifie l'écart du rapporteur) : \textcircled{2}
On trace la demi-droite joignant le sommet et l'intersection des arcs de cerle obtenu en \textcircled{2}
Bases de géométrie en classe de 6e : image 13

IV Les triangles

Triangles particuliers :
Il existe 4 types de triangles particuliers :
Le triangle isocèle : deux côtés du triangle ont la même mesure
Le triangle rectangle : deux côtés du triangle sont perpendiculaires
Le triangle rectangle isocèle : deux côtés du triangle sont perpendiculaires et de même longueur
Le triangle équilatéral : les trois côtés du triangle ont la même longueur

Bases de géométrie en classe de 6e : image 4
Propriété :
Dans un triangle ABC isocèle en A, on a \widehat{ABC}=\widehat{ACB}
Dans un triangle équilatéral, tous les angles mesurent 60°

Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe le segment perpendiculairement en son milieu.

Bases de géométrie en classe de 6e : image 22
Pour tracer la médiatrice d'un segment, on peut utiliser la définition ou alors utiliser la propriété suivante :
Propriété :
La médiatrice d'un segment la droite dont les points sont situés à la même distance des extrémités du segment.

On trace, à partir des extrémités du segment, des arcs de cercle de même rayon
On trace la droite passant par les points d'intersection des arcs de cercle

Bases de géométrie en classe de 6e : image 19
Remarque : La propriété nous indique donc que, pour tout point M de la médiatrice du segment [AB] on a AM=BM.
Propriété :
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (se coupent en un même point) appelé le centre du cercle circonscrit.

Bases de géométrie en classe de 6e : image 21
Propriété :
L'aire d'un triangle quelconque est donnée par la formule  \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}.

Bases de géométrie en classe de 6e : image 20

V Les quadrilatères particuliers

Définition :
Un quadrilatère est un polygone qui possède 4 côtés.

1 Le losange

Définition :
Un losange est un quadrilatère dont tous les côtés sont de même longueur.

Bases de géométrie en classe de 6e : image 12
Propriétés :
Les côtés opposés d'un losange sont parallèles
Les angles opposés d'un losange ont la même mesure
Les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu

Bases de géométrie en classe de 6e : image 14

2 Le rectangle

Définition :
Un rectangle est un quadrilatère qui possède 4 angles droits.

Bases de géométrie en classe de 6e : image 15
Propriété :
Les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles
Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur
Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu

Bases de géométrie en classe de 6e : image 1

3 Le carré

Définition :
Un carré est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur et qui possède 4 angles droits.

Bases de géométrie en classe de 6e : image 18
Propriété :
Le carré possède à la fois les propriétés du losange et du rectangle.

Bases de géométrie en classe de 6e : image 23

4 Périmètres et aires

Périmètres :
Le périmètre d'un losange de côté c vaut \mathscr{P}=4\times c
Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur\ell vaut \mathscr{A}=2\times L +2\times \ell
Le périmètre d'un carré de côté c vaut \mathscr{P}=4\times c

Aires :
L'aire d'un losange dont les diagonales mesurent D et d vaut \mathscr{A}=\dfrac{D \times d}{2}
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur\ell vaut  \mathscr{A}=L \times \ell
L'aire d'un carré de côté c vaut \mathscr{A}=c\times c

VI Symétrie axiale

Définition :
Deux figures sont dites symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent lorsqu'on plie la feuille selon la droite (d).

Bases de géométrie en classe de 6e : image 3
Propriété :
L'image par une symétrie d'axe  (d) :
d'un segment est un segment de même longueur
d'un cercle est un cercle de même rayon
d'un angle est un angle de même mesure

Remarque : On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, l'alignement et le parallélisme.

Pour pouvoir tracer l'image d'une figure par une symétrie axiale, on peut tracer les droites perpendiculaires à l'axe passant par chacun des sommets ou centre de cercle et reporter les distances séparant ces points de l'axe de l'autre côté de l'axe.
Bases de géométrie en classe de 6e : image 11
On peut également placer deux points sur l'axe et utiliser des intersections d'arcs de cercle.
Bases de géométrie en classe de 6e : image 10
Ou enfin utiliser, quand c'est possible, le quadrillage fourni.
Bases de géométrie en classe de 6e : image 5
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