Bac Scientifique
Polynésie Française - Session 2005
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Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 4 heures
3 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Une usine d'horlogerie fabrique une série de montres.
Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés par a et b.
2% des montres fabriquées présentent le défaut a et 10% le défaut b.
Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les événements suivants :
A : « la montre tirée présente le défaut a »;
B : « la montre tirée présente le défaut b »;
C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts »;
D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».
On suppose que les événements A et B sont indépendants.
1. Montrer que la probabilité de l'événement C est égale à 0,882.
2. Calculer la probabilité de l'événement D.
3. Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l'on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts a et b.
On définit l'événement E : «quatre montres au moins n'ont aucun défaut».
Calculer la probabilité de l'événement E. On en donnera une valeur approchée à 10-3 près.
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse inexacte enlève 0,5 point; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal .
On considère les points A(3; 1; 3) et B(- 6; 2; 1).
Le plan admet pour équation cartésienne .
1. L'ensemble des points M de l'espace tels que est :
a) un plan de l'espace b) une sphère c) l'ensemble vide
2. Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan sont :
a)b)c)
3. La sphère de centre B et de rayon 1 :
a) coupe le plan suivant un cercle;
b) est tangente au plan ;
c) ne coupe pas le plan .
4. On considère la droite de l'espace passant par A et de vecteur directeur (1; 2; -1) et la droite d'équations paramétriques
Les droites et sont :
a) coplanaires et parallèles b) coplanaires et sécantes c) non coplanaires
5. L'ensemble des points M de l'espace équidistants des points A et B est :
a) la droite d'équations paramétriques
b) le plan d'équation cartésienne
c) le plan d'équation cartésienne
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par pour tout entier naturel n.
1. Calculer u1, u2, u3 et u4.
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ?
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+2 un (modulo 4).
En déduire que pour tout entier naturel k, u2k 2 (modulo 4) et u2k+1 0 (modulo 4).
3. a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2un = 5n+2 + 3.
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, 2un 28 (modulo 100).
4. Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n.
5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (un) est constant. Préciser sa valeur.
exercice 3 - Commun à tous les candidats (7 poins)
La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l'épreuve.
Partie A
On considère la fonction définie sur l'intervalle ]0; +[ par
On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
1. a) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son intervalle de définition.
b) Montrer que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ]0; +[.
2. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, l'équation = n admet une unique solution dans ]0; +[.
On note cette solution. On a donc : pour tout entier naturel n, .
b) Sur la page annexe, on a tracé dans le repère .
Placer les nombres sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.
c) Préciser la valeur de .
d) Démontrer que la suite est strictement croissante.
3. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 1.
b) Etudier les variations de la fonction définie sur ]0; +[ par .
En déduire la position de la courbe par rapport à .
c) Tracer sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, .
4. Déterminer la limite de la suite .
Partie B
On considère une fonction continue, strictement croissante sur ]0; +[ et telle que et .
On admet que l'on peut, comme on l'a fait dans la partie A, définir sur une suite de réels tels que , et que cette suite est strictement croissante.
1.Démonstration de cours : Prérequis : définition d'une suite tendant vers +
Une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A».
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +.
2. Montrer que la suite tend vers +.
Annexe
5 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal . Unité graphique : 2 cm.
1. On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, a3 - b3 = (a - b)(a² + ab + b²).
Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation z3 = 8.
2. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a, b et c définies par :
a = 2, b = - 1 + i et c = - 1 - i
On appelle r la rotation de centre A et d'angle et r' la rotation de centre A et d'angle .
On pose B' = r'(B) et C'= r(C) et on note b' et c' les affixes respectives de B' et C'.
a) Placer les points A, B et C dans le repère .
Dans la suite de l'exercice, on complètera cette figure. b) Montrer que b' = 2 + + 3i.
c) Montrer que b' et c' sont des nombres conjugués.
3. On appelle M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [CB], [BB'], [B'C'] et [C'C]. On note m, n, p et q leurs affixes.
a) Montrer que l'affixe n du point N est égale à .
En déduire que les points O, N et C sont alignés.
b) Montrer que n + 1 = i(q + 1). Que peut-on en déduire pour le triangle MNQ ?
c) Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré.
1. avec donc et donc .
Les évènements A et B sont indépendants, donc .
La probabilité que la montre ne présente aucun défaut est égale à 0,882.
2. Si on appelle Y la variable aléatoire représentant le nombre de défauts, .
Or :
Donc :
La probabilité que la montre présente un et un seul défaut est égale à 0,116.
3. A chaque tirage, la probabilité que la montre tirée ne présente pas de défaut est 0,882. Il s'agit d'une expérience de Bernoulli, de paramètre p = 0,882 (succès = "ne présenter aucun défaut").
On répète l'expérience de Bernoulli 5 fois, la variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres p = 0,882 et n = 5 : pour tout ,
Donc , avec et
Donc
La probabilité de tirer au moins 4 montres ne présentant aucun défaut est donc égale à 0,891.
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. Soit G le barcentre de . Ce barycentre existe puisque 4 - 1 = 3 0.
Alors et .
L'ensemble cherché est donc l'ensemble des points M distants de G de , c'est donc une sphère de centre G et de rayon .
La bonne réponse est donc la réponse b.
2. H projeté orthogonal de A sur et colinéaires à , vecteur normal à .
Si , donc et alors : non colinéaire à . Solution rejetée.
Si , donc . Solution rejetée.
Si , donc et alors .
La bonne réponse est donc la réponse c.
3. La position relative d'une sphère à un plan peut être :
- soit la sphère coupe le plan en un cercle si la distance du centre de la sphère au plan est inférieure au rayon de la sphère
- soit la sphère est tangente au plan si cette distance est égale au rayon de la sphère
- soit la sphère ne coupe pas le plan si cette distance est supérieure au rayon de la sphère.
Calculons donc la distance de B au plan :
. Cette formule est valable pour l'équation du plan mise sous la forme .
Donc
Donc la sphère ne coupe pas le plan .
La bonne réponse est donc la réponse c.
4. La droite a pour vecteur directeur et passe par A(3,1,3).
et sont colinéaires
Les droites et sont sécantes
et , ce qui n'est pas vrai. Donc les droites et ne sont pas sécantes.
La droite a pour équation paramétrique , elle admet donc le vecteur pour vecteur directeur. Ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur , les droites ne sont donc pas parallèles.
Conclusion : les droites et ne sont ni parallèles, ni sécantes : elles sont donc non coplanaires.
La bonne réponse est donc la réponse c.
5. C'est le plan médiateur de [AB], c'est-à-dire le plan de vecteur normal et passant par le milieu I de [AB] avec
Donc l'équation du plan est de la forme : ou encore .
La bonne réponse est donc la réponse b.
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1.
On peut conjecturer que les 2 derniers chiffres de sont 14 si est pair et 64 si est impair.
2. Pour tout entier naturel :
Donc .
Soient les propriétés : et . On va démontrer par récurrence que et sont vraies pour tout entier naturel .
- Pour , et . et sont vraies.
- On suppose et vraies pour donné.
Pour + 1 : et donc et sont vraies. Les propriétés sont héréditaires.
- Conclusion : Les propriétés et sont vraies au rang 0 et héréditaires, elles sont donc vraies pour tout .
Pour tout entier naturel , on a donc et .
3. a) Soit la propriété
- Pour et donc . La propriété est vraie au rang 0.
- On suppose la propriété vraie pour donné : .
Pour : donc est vraie : la propriété est héréditaire.
- La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel : pour tout entier naturel , .
3. b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel ,
- pour , .
- si pour fixé alors pour :
- donc pour tout ,
Alors,
4. donc .
Soit la division euclidienne de par 100 : il existe deux entiers et tels que , avec .
or donc
Or donc ou .
Si est pair, s'écrit et on a montré que , or donc
Or et donc .
Si est impair, s'écrit et on a montré que , or donc
Or et donc .
Les 2 derniers chiffres de sont donc 14 si est pair et 64 si est impair. Cela confirme nos conjectures de la question 1.
5. Montrons par récurrence que pour entier naturel , on a : .
- donc la propriété est vraie au rang 0.
- Supposons que
Soit l'ensemble des diviseurs de
Soit l'ensemble des diviseurs de .
Or : donc et 2 | -6,
donc c'est-à-dire . .
Soit un diviseur de vérifiant (s'il en existe).
Si alors : avec donc donc
- si , alors comme , et 3 | 3 donc , ce qui n'est pas vrai, donc .
- si , alors , et 6 | 6 donc , ce qui n'est pas vrai, donc .
L'hypothèse de départ est donc fausse : ne divise pas .
Conclusion : 2 est le plus grand diviseur de qui divise . . La propriété est héréditaire.
- La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel :
Pour entier naturel :
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A
Dans tout l'exercice, je note .
1. a)
1. b) est dérivable sur et
Or, sur : et donc
Donc la fonction est strictement croissante sur .
2. a) est continue, strictement croissante sur de - à +. Elle réalise donc une bijection de sur .
Donc, pour toute valeur de , l'équation admet une solution unique sur .
2. b) cf. schéma en fin de partie A
2. c) Graphiquement, on lit : . On peut le vérifier par le calcul: .
2. d) Raisonnons par l'absurde. Pour donné, supposons que .
Alors, comme la fonction est strictement croissante sur , .
Or et donc , ce qui n'est pas vrai. Donc nécessairement , la suite est strictement croissante.
3. a) Dans le cas général, la tangente à la courbe représentative d'une fonction au point d'abscisse est donnée par l'équation :
Ici, , et donc
L'équation de est .
3. b) est dérivable sur et , d'où le tableau de signe de et de variations de :
La tableau de variations montre que le maximum de est 0, donc pour tout appartenant à , on a .
Donc :
Donc la courbe est en-dessous de la droite .
3. c) On a, pour tout réel strictement positif :
En particulier pour
4. On a . Or donc .
Partie B
1. Soit une suite croissante non majorée.
Rappel :
Une suite est majorée si et seulement s'il existe un réel tel que pour tout entier naturel , on a .
Donc une suite est non majorée si et seulement s'il existe un entier tel que, pour tout réel , on a .
Soit , comme est non majorée, alors il existe un entier tel que .
Or est croissante, donc pour tout entier , on a .
En conclusion, pour tout réel , il existe un entier tel que pour entier , on a . Ce qui répond à la définition d'une suite tendant vers +.
Une suite croissante non majorée tend donc vers +.
2. Il suffit de montrer que la suite est croissante non majorée.
- L'énoncé nous précise que est une suite strictement croissante.
- Si la suite est majorée, alors il existe un réel tel que pour entier , on a .
Or est une fonction strictement croissante, donc pour tout entier , on a .
La fonction est donc majorée par le réel , or donc n'est pas majorée.
Donc l'hypothèse de départ est fausse : la suite n'est pas majorée.
On a donc : la suite est croissante et non majorée. D'après les résultats de la question B. 1., elle tend donc vers +.
exercice 4 - Commun à tous les candidats
1.
donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
ou
Ensemble des solutions :
2. a)
2. b)
Rappel :
Si r est la rotation de centre et d'angle alors M'() est l'image de M() par r
B' = r'(B)
2. c) C' = r(C)
Les nombres et sont conjugués.
3. a) N milieu de [BB']
Donc
et sont colinéaires, donc les points O, N et C sont alignés.
3. b) Q milieu de [C'C]
Donc .
Cette écriture complexe traduit le fait que N est l'image de Q par la rotation de centre d'affixe -1 et d'angle .
Or M milieu de [BC]
Donc N est l'image de Q par la rotation de centre M et d'angle .
Donc le triangle MNQ est rectangle et isocèle en M.
3. c) Il suffit de montrer que
P milieu de [B'C']
Donc
MNPQ est un parallélogramme, dont 2 côtés adjacents ([MN] et [MQ]) sont perpendiculaires et égaux, donc MNPQ est un carré.
Publié par /Aurelien
le
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