Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Polynésie Française - Session 2005

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Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)     Durée : 4 heures
3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Une usine d'horlogerie fabrique une série de montres.
Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés par a et b.
2% des montres fabriquées présentent le défaut a et 10% le défaut b.
Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les événements suivants :
      A : « la montre tirée présente le défaut a »;
      B : « la montre tirée présente le défaut b »;
      C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts »;
      D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».
On suppose que les événements A et B sont indépendants.

1. Montrer que la probabilité de l'événement C est égale à 0,882.

2. Calculer la probabilité de l'événement D.

3. Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l'on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts a et b.
On définit l'événement E : «quatre montres au moins n'ont aucun défaut».
Calculer la probabilité de l'événement E. On en donnera une valeur approchée à 10-3 près.


5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse inexacte enlève 0,5 point; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.


L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}).
On considère les points A(3; 1; 3) et B(- 6; 2; 1).
Le plan \mathcal{P} admet pour équation cartésienne x + 2y + 2z = 5.

1. L'ensemble des points M de l'espace tels que \left\|4\overrightarrow{\text{MA}} - \overrightarrow{\text{MB}}\right\| = 2 est :
a) un plan de l'espace       b) une sphère       c) l'ensemble vide


2. Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P} sont :
a) \left(\dfrac{11}{3}; \dfrac13; \dfrac13\right)       b) \left(\dfrac83; \dfrac13; \dfrac73\right)       c) \left(\dfrac73; -\dfrac13; \dfrac53\right)


3. La sphère de centre B et de rayon 1 :
      a) coupe le plan \mathcal{P} suivant un cercle;
      b) est tangente au plan \mathcal{P};
      c) ne coupe pas le plan \mathcal{P}.

4. On considère la droite \mathcal{D} de l'espace passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u} (1; 2; -1) et la droite \mathcal{D}' d'équations paramétriques \left\lbrace \begin{array}{lcl} x &=& 3 + 2t\\ y &=& 3 + t\\ z &=& t\\ \end{array}\right. (t \in \mathbb{R})
Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' sont :
a) coplanaires et parallèles       b) coplanaires et sécantes       c) non coplanaires


5. L'ensemble des points M de l'espace équidistants des points A et B est :
      a) la droite d'équations paramétriques \left\lbrace \begin{array}{lcl} x &=& -\dfrac32 - t\\ y &=& \dfrac32- 7t\\ z &=& 2 + t\\ \end{array}\right. (t \in \mathbb{R})
      b) le plan d'équation cartésienne 9x - y + 2z + 11 = 0
      c) le plan d'équation cartésienne x + 7y - z - 7 = 0


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par \left\lbrace \begin{array}{lcl} u_{0} &=& 14\\ u_{n+1} &=& 5 u_{n} - 6\\ \end{array} pour tout entier naturel n.

1. Calculer u1, u2, u3 et u4.
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ?

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+2 \equiv un (modulo 4).
En déduire que pour tout entier naturel k, u2k \equiv 2 (modulo 4) et u2k+1 \equiv 0 (modulo 4).

3. a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2un = 5n+2 + 3.
    b) En déduire que, pour tout entier naturel n, 2un \equiv 28 (modulo 100).

4. Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n.

5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (un) est constant. Préciser sa valeur.




exercice 3 - Commun à tous les candidats (7 poins)

La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l'épreuve.

Partie A

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +\infty[ par f(x) = x + \ln x
On nomme \Gamma sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) du plan.

1. a) Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
    b) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0; +\infty[.

2. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, l'équation f(x) = n admet une unique solution dans ]0; +\infty[.
On note \alpha_{n} cette solution. On a donc : pour tout entier naturel n, \alpha_{n} + \ln \alpha_{n} =  n.
    b) Sur la page annexe, on a tracé \Gamma dans le repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
Placer les nombres \alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \text{ et } \alpha_{5} sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.
    c) Préciser la valeur de \alpha_{1}.
    d) Démontrer que la suite \left(\alpha_{n}\right) est strictement croissante.

3. a) Déterminer une équation de la tangente \Delta à la courbe \Gamma au point A d'abscisse 1.
    b) Etudier les variations de la fonction h définie sur ]0; +\infty[ par h(x) = \ln x - x + 1.
En déduire la position de la courbe \Gamma par rapport à \Delta.
    c) Tracer \Delta sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, \dfrac{n + 1}{2}  \leq \alpha_{n}.

4. Déterminer la limite de la suite \left(\alpha_{n}\right).

Partie B

On considère une fonction g continue, strictement croissante sur ]0; +\infty[ et telle que \displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = - \infty et \displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty.
On admet que l'on peut, comme on l'a fait dans la partie A, définir sur \mathbb{N} une suite \left(\beta_{n}\right) de réels tels que g\left(\beta_{n}\right) = n, et que cette suite est strictement croissante.

1. Démonstration de cours :
Prérequis : définition d'une suite tendant vers +\infty
Une suite tend vers +\infty si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A».
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +\infty.

2. Montrer que la suite \left(\beta_{n}\right) tend vers +\infty.

bac S 2005 polynésie française - terminale : image 1

Annexe



5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}). Unité graphique : 2 cm.

1. On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, a3 - b3 = (a - b)(a² + ab + b²).
Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l'équation z3 = 8.

2. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a, b et c définies par :
a = 2,       b = - 1 + i\sqrt{3}       et       c = - 1 - i\sqrt{3}

On appelle r la rotation de centre A et d'angle \dfrac{\pi}{2} et r' la rotation de centre A et d'angle -\dfrac{\pi}{2}.
On pose B' = r'(B) et C'= r(C) et on note b' et c' les affixes respectives de B' et C'.

    a) Placer les points A, B et C dans le repère (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).
Dans la suite de l'exercice, on complètera cette figure.
    b) Montrer que b' = 2 + \sqrt{3} + 3i.
    c) Montrer que b' et c' sont des nombres conjugués.

3. On appelle M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [CB], [BB'], [B'C'] et [C'C]. On note m, n, p et q leurs affixes.
    a) Montrer que l'affixe n du point N est égale à \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\left(1 + i\sqrt{3}\right).
En déduire que les points O, N et C sont alignés.
    b) Montrer que n + 1 = i(q + 1). Que peut-on en déduire pour le triangle MNQ ?
    c) Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré.








exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. \text{C} = \bar{\text{A}} \cap \bar{\text{B}}
avec p(\text{A}) = 0,02 donc p(\bar{\text{A}}) = 1 - p(\text{A}) = 0,98 et p(\text{B}) = 0,1 donc p(\bar{\text{B}}) = 1 - p(\text{B}) = 0,9.
Les évènements A et B sont indépendants, donc p(\text{C}) = p(\bar{\text{A}} \cap \bar{\text{B}}) = p(\bar{\text{A}}) \times p(\bar{\text{B}}) = 0,98 \times 0,9 = 0,882.
La probabilité que la montre ne présente aucun défaut est égale à 0,882.

2. Si on appelle Y la variable aléatoire représentant le nombre de défauts, \text{Y} \in \lbrace  0 ; 1 ; 2 \rbrace.
p(\text{Y} = 0) = p (\text{aucun défaut}) = p(\text{C}) = 0,882
p(\text{Y} = 1) = p (\text{un défaut}) = p(\text{D})
p(\text{Y} = 2) = p (\text{deux défauts}) = p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) \times p(\text{B}) = 0,02 \times 0,1 = 0,002
Or : p(\text{Y} = 0) + p(\text{Y} = 1) + p(\text{Y} = 2) = 1
Donc : p(\text{D}) = p(\text{Y} = 1) = 1 - p(\text{Y} = 0) - p(\text{Y} = 2) = 1 - 0,882 - 0,002 = 0,116
La probabilité que la montre présente un et un seul défaut est égale à 0,116.

3. \text{X} \in \lbrace  0;1;2;3;4;5 \rbrace
A chaque tirage, la probabilité que la montre tirée ne présente pas de défaut est 0,882. Il s'agit d'une expérience de Bernoulli, de paramètre p = 0,882 (succès = "ne présenter aucun défaut").
On répète l'expérience de Bernoulli 5 fois, la variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres p = 0,882 et n = 5 : pour tout k \in \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 \rbrace, p(\text{X} = k) = {n \choose k}  p^k(1-p)^{n-k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}
Donc p(\text{E}) = p(\text{X} \ge 4) = p(\text{X} = 4) + p(\text{X} = 5), avec p(\text{X} = 4) = \dfrac{5!}{4!1!}0,882^4 \times 0,118^1=5.0,882^4 \times 0,118^1=0,357 et p(\text{X} = 5) = \{5 \choose 5 } 0,882^5 \times 0,118^0 = 0,882^5 = 0,534
Donc p(\text{E}) = 0,357 + 0,534 = 0,891
La probabilité de tirer au moins 4 montres ne présentant aucun défaut est donc égale à 0,891.




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Soit G le barcentre de \lbrace (A,4);(B;-1)\rbrace. Ce barycentre existe puisque 4 - 1 = 3 \neq 0.
Alors 4\overrightarrow{\text{MA}} - \overrightarrow{\text{MB}} = 3\overrightarrow{\text{MG}} et ||4 \overrightarrow{\text{MA}} - \overrightarrow{\text{MB}}|| = 2 \Longleftrightarrow ||3 \overrightarrow{\text{MG}}|| = 2 \Longleftrightarrow 3\text{MG} = 2 \Longleftrightarrow \text{MG} = \dfrac{2}{3}.
L'ensemble cherché est donc l'ensemble des points M distants de G de \dfrac{2}{3}, c'est donc une sphère de centre G et de rayon \dfrac{2}{3}.
La bonne réponse est donc la réponse b.

2. H projeté orthogonal de A sur (\mathcal{P}) \Longleftrightarrow \text{H} \in (\mathcal{P}) et \overrightarrow{\text{AH}} colinéaires à \vec{n} = (1,2,2), vecteur normal à (\mathcal{P}).
Si \text{H}\left(\dfrac{11}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right), x_{\text{H}} + 2y_{\text{H}} + 2z_{\text{H}} = \dfrac{11+2+2}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 donc \text{H} \in (\mathcal{P}) et alors : \overrightarrow{\text{AH}} = \left(\dfrac{11}{3} - 3 , \dfrac{1}{3} - 1 , \dfrac{1}{3} - 3 \right) = \left(\dfrac{2}{3} , -\dfrac{2}{3} , -\dfrac{8}{3}\right) non colinéaire à \vec{n}. Solution rejetée.
Si \text{H} \left(\dfrac{8}{3} , \dfrac{1}{3} , \dfrac{7}{3} \right), x_{\text{H}} + 2y_{\text{H}} + 2z_{\text{H}} = \dfrac{8+2+14}{3} = \dfrac{24}{3} = 8 donc \text{H} \not \in (\mathcal{P}). Solution rejetée.
Si \text{H} \left(\dfrac{7}{3} , -\dfrac{1}{3} , \dfrac{5}{3} \right), x_{\text{H}} + 2y_{\text{H}} + 2z_{\text{H}} = \dfrac{7-2+10}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 donc H \in (\mathcal{P}) et alors \overrightarrow{\text{AH}} = \left(\dfrac{7}{3}-3,-\dfrac{1}{3}-1,\dfrac{5}{3}-3 \right) = \left(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{4}{3},-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{2}{3}\vec{n}.
La bonne réponse est donc la réponse c.

3. La position relative d'une sphère à un plan peut être :
- soit la sphère coupe le plan en un cercle si la distance du centre de la sphère au plan est inférieure au rayon de la sphère
- soit la sphère est tangente au plan si cette distance est égale au rayon de la sphère
- soit la sphère ne coupe pas le plan si cette distance est supérieure au rayon de la sphère.
Calculons donc la distance de B au plan (\mathcal{P}) :
d = \dfrac{|ax_{\text{B}} + by_{\text{B}} + cz_{\text{B}} + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}. Cette formule est valable pour l'équation du plan mise sous la forme ax+by+cz+d=0.
Donc \dfrac{|ax_{\text{B}} + by_{\text{B}} + cz_{\text{B}} + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \dfrac{|x_{\text{B}} + 2y_{\text{B}} + 2z_{\text{B}} - 5|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{|-6+4+2-5|}{3}=\dfrac{5}{3}>1
Donc la sphère ne coupe pas le plan (\mathcal{P}).
La bonne réponse est donc la réponse c.

4. La droite (\mathcal{D}) a pour vecteur directeur \vec{u} = (1,2,-1) et passe par A(3,1,3).
\text{M} \in (\mathcal{D}) \Longleftrightarrow \overrightarrow{\text{AM}} et \vec{u} sont colinéaires \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 - t\\ \end{array} \right. \hspace{15pt} t \in \mathbb{R}
Les droites (\mathcal{D}) et (\mathcal{D}') sont sécantes \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 - t \\ \end{array} \right. et \left \lbrace \begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = 3 + y \\ z = t \\ \end{array} \right. \hspace{15pt} (t \in \mathbb{R}) \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} 3 + t = 3 + 2t \\ 1 + 2t = 3 + t \\ 3 - t = t \\ \end{array} \hspace{15pt} \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} t = 0 \\ t = 2 \\ t = \dfrac{3}{2} \\ \end{array} \right., ce qui n'est pas vrai. Donc les droites (\mathcal{D}) et (\mathcal{D}') ne sont pas sécantes.
La droite (\mathcal{D}') a pour équation paramétrique \left \lbrace\begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = t \\ \end{array} \right. \hspace{15pt} (t \in \mathbb{R}), elle admet donc le vecteur \vec{v}(2,1,1) pour vecteur directeur. Ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur \vec{u}, les droites ne sont donc pas parallèles.
Conclusion : les droites (\mathcal{D}) et (\mathcal{D}') ne sont ni parallèles, ni sécantes : elles sont donc non coplanaires.
La bonne réponse est donc la réponse c.

5. C'est le plan médiateur de [AB], c'est-à-dire le plan de vecteur normal \overrightarrow{\text{AB}} et passant par le milieu I de [AB] avec \overrightarrow{\text{AB}} = (-6-3,2-1,1-3) = (-9,1,-2)
Donc l'équation du plan est de la forme : -9x + y - 2 + d = 0 ou encore 9x - y + 2 - d = 0.
La bonne réponse est donc la réponse b.




exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. u_1 = 5u_0 - 6 = 5 \times 14 - 6 = 64
u_2 = 5u_1 - 6 = 5 \times 64 - 6 = 314
u_3 = 5u_2 - 6 = 5 \times 314 - 6 = 1564
u_4 = 5u_3 - 6 = 5 \times 1564 - 6 = 7814
On peut conjecturer que les 2 derniers chiffres de u_n sont 14 si n est pair et 64 si n est impair.

2. Pour tout entier naturel n : u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6 = 5(5u_n - 6) - 6 = 25u_n - 36 = 24u_n - 36 + u_n = 4(6u_n - 9) + u_n
Donc u_{n+2} \equiv u_n [4].
Soient les propriétés : P(k)~:~u_{2k} \equiv 2 [4]   et   Q(k)~:~u_{2k+1}\equiv 0 [4]. On va démontrer par récurrence que P(k) et Q(k) sont vraies pour tout entier naturel k.
- Pour k = 0, u_0 = 14 = 12 + 2 = 4 \times 3 + 2 \equiv 2 [4] et u_1 = 64 = 4 \times 16 \equiv 0[4]. P(0) et Q(0) sont vraies.
- On suppose P(k) et Q(k) vraies pour k donné.
Pour k + 1 : u_{2(k+1)} = u_{2k+2} \equiv u_{2k} \equiv 2[4] et u_{2(k+1)+1} = u_{2k+2+1} = u_{(2k+1)+2} \equiv u_{2k+1} \equiv 0[4] donc P(k+1) et Q(k+1) sont vraies. Les propriétés sont héréditaires.
- Conclusion : Les propriétés P(k) et Q(k) sont vraies au rang 0 et héréditaires, elles sont donc vraies pour tout k.
Pour tout entier naturel k, on a donc u_{2k} \equiv 2 [4] et u_{2k+1} \equiv 0[4].

3. a) Soit la propriété P(n)~:~2u_n = 5^{n+2} + 3
- Pour n = 0{/tex], [tex]2u_0 = 2 \times 14 = 28 et 5^{0+2} + 3 = 25 + 3 = 28 donc 2u_0 = 5^{0+2} + 3. La propriété est vraie au rang 0.
- On suppose la propriété vraie pour k donné : 2u_n = 5^{n+2} + 3.
Pour n + 1 : 2u_{n+1} = 2(5u_n - 6) = 5 \times 2u_n - 12 = 5(5^{n+2} + 3) - 12 = 5^{n+3} + 15 - 12 = 5^{(n+1)+2} + 3 donc P(n+1) est vraie : la propriété est héréditaire.
- La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n : pour tout entier naturel n, 2u_n = 5^{n+2} + 3.

3. b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 5^{n+2} \equiv 25[100]
- pour n = 0, 5^{0+2} = 5^2 = 25 \equiv 25[100].
- si pour n fixé 5^{n+2} \equiv 25[100] alors pour n + 1 : 5^{(n+1)+2} = 5^{n+3} = 5 \times 5^{n+2} \equiv 5 \times 25 \equiv 125 \equiv 25 [100]
- donc pour tout n, 5^{n+2} \equiv 25[100]
Alors, 2u_n = 5^{n+2} + 3 \equiv 25 + 3 \equiv 28[100]

4. 2u_n \equiv 28[100] donc u_n \equiv 14 [50].
Soit la division euclidienne de u_n par 100 : il existe deux entiers x et y tels que u_n = 100x + y, avec 0 \le y \le 99.
u_n = 100x + y = 50(2x) + y \equiv y[50] or u_n \equiv 14 [50] donc y \equiv 14[50]
Or 0 \le y \le 99 donc y = 14 ou y = 64.
Si n est pair, u_n s'écrit u_{2} et on a montré que u_{2k} \equiv 2 [4], or u_n = 100x + y = 4(25x) + y \equiv y[4] donc y \equiv 2[4]
Or 14 \equiv 2[4] et 64 \equiv 0[4] donc y = 14.
Si n est impair, u_n s'écrit u_{2k+1} et on a montré que u_{2k+1} \equiv 0[4], or u_n = 100x + y = 4(25x) + y \equiv y[4] donc y\equiv 0[4]
Or 14 \equiv 2[4] et 64 \equiv 0[4] donc y = 64.
Les 2 derniers chiffres de u_n sont donc 14 si n est pair et 64 si n est impair. Cela confirme nos conjectures de la question 1.

5. \text{PGCD}(u_0,u_1) = \text{PGCD}(14,64) = 2
Montrons par récurrence que pour entier naturel n, on a : \text{PGCD}(u_n , u_{n+1}) = 2.
- \text{PGCD}(u_0,u_1) = \text{PGCD}(14,64) = 2 donc la propriété est vraie au rang 0.
- Supposons que \text{PGCD}(u_n , u_{n+1}) = 2
Soit D_{n+1} l'ensemble des diviseurs de u_{n+1}~:~2 \in D_{n+1}
Soit D_{n+2} l'ensemble des diviseurs de u_{n+2}.
u_{n+2} = 5 u_{n+1} - 6
Or : 2 | u_{n+1} donc 2 | 5_{n+1} et 2 | -6,
donc 2 | 5 u_{n+1} - 6 c'est-à-dire 2 | u_{n+2}. 2 \in D_{n+2}.
Soit d un diviseur de u_{n+1} vérifiant  d > 2 (s'il en existe).
Si d | u_{n+2} alors : d | u_{n+2} - 5 u_{n+1} avec u_{n+2} - 5 u_{n+1} = -6 donc d | -6 donc d \in \lbrace 3 , 6 \rbrace
- si d = 3, alors comme 2u_{n+1} = 5^{n+3} + 3, 3 | 2u_{n+1} et 3 | 3 donc 3 | 5^{n+3}, ce qui n'est pas vrai, donc d \neq 3.
- si d = 6, alors 4u_{n+1} = 2 \times 5^{n+3} + 6, 6 | 2u_{n+1} et 6 | 6 donc 6 | 2 \times 5^{n+3}, ce qui n'est pas vrai, donc d \neq 6.
L'hypothèse de départ est donc fausse : d ne divise pas u_{n+2}.
Conclusion : 2 est le plus grand diviseur de u_{n+1} qui divise u_{n+2}. \text{PGCD}(u_{n+1},u_{n+2}) = 2. La propriété est héréditaire.
- La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n :
Pour entier naturel n : P\text{GCD}(u_n,u_{n+1})=2




exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

Dans tout l'exercice, je note I = D_f = ]0,+\infty[.

1. a) \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to 0} x + \ln x = 0 - \infty = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} x + \ln x = +\infty + \infty = +\infty

1. b) f est dérivable sur I et f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x+1}{x}
Or, sur I : x > 0 et x + 1 > 0 donc f'(x) > 0
Donc la fonction f est strictement croissante sur I.

2. a) f est continue, strictement croissante sur I de -\infty à +\infty. Elle réalise donc une bijection de I sur \mathbb{R}.
Donc, pour toute valeur de n, l'équation f(x) = n admet une solution unique a_n sur ]0 ; +\infty[.

2. b) cf. schéma en fin de partie A

2. c) Graphiquement, on lit : a_1 = 1. On peut le vérifier par le calcul: f(1) = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1.

2. d) Raisonnons par l'absurde. Pour n donné, supposons que a_n \ge a_{n+1}.
Alors, comme la fonction f est strictement croissante sur I, f(a_n) \ge f(a_{n+1}).
Or f(a_n) = n et f(a_{n+1}) = n + 1 donc n \ge n+1, ce qui n'est pas vrai. Donc nécessairement a_n < a_{n+1}, la suite (a_n) est strictement croissante.

3. a) Dans le cas général, la tangente à la courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse a est donnée par l'équation : y = f'(a)(x - a) + f(a)
Ici, a = 1, f(a) = f(1) = 1 et f'(a) = f'(1) = 1 + \dfrac{1}{1} = 2 donc y = 2(x - 1) + x = 2x - 2 + 1 = 2x - 1
L'équation de \Delta est \boxed{y = 2x-1}.

3. b) h est dérivable sur I et h'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1-x}{x}, d'où le tableau de signe de h' et de variations de h :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 &  & 1 &  & +\infty \\ \hline  1-x & & + & 0 & & - \\ \hline x & 0 & + & & & + \\ \hline  h'(x) & | & + & 0 & & - \\ \hline   & | &  &  h(1)=0  & &   \\ h(x) & | & \nearrow &   & \searrow &  \\   & | &   &   & &  \\ \hline \end{array}

La tableau de variations montre que le maximum de h est 0, donc pour tout x appartenant à I, on a h(x) \le 0.
Donc :
\ln x - x + 1 \le 0\\ \ln x + x - (2x - 1) \le 0\\ \ln x + x \le 2x - 1
Donc la courbe \Gamma est en-dessous de la droite \Delta.

3. c) On a, pour tout réel x strictement positif : \ln x + x \le 2x - 1
En particulier pour x = a_n \, : \, \ln(a_n) + a_n \le 2a_n - 1
\Longleftrightarrow n \le 2a_n - 1\\ \Longleftrightarrow n + 1 \le a_n \\ \Longleftrightarrow \dfrac{n+1}{2} \le a_n

4. On a \dfrac{n+1}{2} \le a_n. Or \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n+1}{2} = +\infty donc \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = +\infty.
bac S 2005 polynésie française - terminale : image 5


Partie B

1. Soit (u_n) une suite croissante non majorée.
Rappel :
Une suite (u_n) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, on a u_n \le M.


Donc une suite (u_n) est non majorée si et seulement s'il existe un entier n tel que, pour tout réel M, on a u_n > M.
Soit A \in \mathbb{R}, comme (u_n) est non majorée, alors il existe un entier n_0 tel que u_{n_0} > A.
Or (u_n) est croissante, donc pour tout entier n > n_0, on a u_n > u_{n_0} > A.
En conclusion, pour tout réel A, il existe un entier n_0 tel que pour entier n > n_0, on a u_n > A. Ce qui répond à la définition d'une suite tendant vers +\infty.
Une suite croissante non majorée tend donc vers +\infty.

2. Il suffit de montrer que la suite (\beta_n) est croissante non majorée.
- L'énoncé nous précise que (\beta_n) est une suite strictement croissante.
- Si la suite (\beta_n) est majorée, alors il existe un réel M tel que pour entier n, on a \beta_n \le M.
Or g est une fonction strictement croissante, donc pour tout entier n, on a g(\beta_n) \le g(M).
La fonction g est donc majorée par le réel g(M), or \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty donc g n'est pas majorée.
Donc l'hypothèse de départ est fausse : la suite (\beta_n) n'est pas majorée.
On a donc : la suite (\beta_n) est croissante et non majorée. D'après les résultats de la question B. 1., elle tend donc vers +\infty.




exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. z^3 = 8 \Longleftrightarrow z^3 - 8 = 0
\Longleftrightarrow z^3 - 2^3 = 0 \\ \Longleftrightarrow (z - 2)(z^2 + 2z + 4) = 0  \\ \Longleftrightarrow  z - 2 = 0 \text{ ou } z^2 + 2z + 4 = 0
z - 2 = 0  \Longleftrightarrow z = 2
z^2 + 2z + 4 = 0
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2-4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = -12 < 0 donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
z_1 = \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{-2-i\sqrt{12}}{2} = -1 - i\sqrt3 ou z_2 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{-2+i\sqrt{12}}{2} = -1+i\sqrt3
Ensemble des solutions : \boxed{S = \lbrace  2 \, ;  \, -1 - i\sqrt{3} \, ;  \, -1 - i\sqrt{3} \rbrace }

2. a)
bac S 2005 polynésie française - terminale : image 4


2. b)
Rappel :
Si r est la rotation de centre \omega et d'angle \theta alors M'(z') est l'image de M(z) par r longleftrightarrow z' - z_{\omega} = e^{i\theta}(z - z_{\omega})


B' = r'(B) \Longleftrightarrow b'-a=e^{-i\frac{\pi}{2}}(b-a)
\Longleftrightarrow b' = a + e^{-i\frac{\pi}{2}}(b-a) = 2-i(-1+i\sqrt3-2) = 2 + \sqrt{3} + 3i

2. c) C' = r(C) \Longleftrightarrow c' = a + e^{i\frac{\pi}{2}}(c - a) = 2 + i(-1 - i\sqrt{3} - 2) = 2 + \sqrt{3} - 3i = \bar{2 + \sqrt{3} + 3i} = \bar{b'}
Les nombres b' et c' sont conjugués.

3. a) N milieu de [BB'] \Longleftrightarrow n = \dfrac{b+b'}{2} = \dfrac{-1+i\sqrt3+2+\sqrt3+3i}{2} = \dfrac{1+\sqrt3+(3+\sqrt3)i}{2}  = \dfrac{1+\sqrt3+\sqrt3(\sqrt3+1)i}{2} = \dfrac{1+\sqrt3}{2}(1+i\sqrt3)
Donc n = \dfrac{1+\sqrt3}{2}(1 + i\sqrt3) = -\dfrac{1+\sqrt3}{2}(-1 - i\sqrt3) = -\dfrac{1+\sqrt3}{2}c
z_{\overrightarrow{\text{ON}}} = -\dfrac{1+\sqrt3}{2}z_{\overrightarrow{\text{OC}}}
\overrightarrow{\text{ON}} et \overrightarrow{\text{OC}} sont colinéaires, donc les points O, N et C sont alignés.

3. b) Q milieu de [C'C] \Longleftrightarrow q = \dfrac{c'+c}{2} = \dfrac{2+\sqrt3-3i-1-i\sqrt3}{2} = \dfrac{1+\sqrt3-i(3+\sqrt3)}{2}
i(q+1) = i\left(\dfrac{1+\sqrt3-i(3+\sqrt3)}{2}+1\right) = i\left(\dfrac{3+\sqrt3-i(3+\sqrt3)}{2}\right) = \dfrac{3+\sqrt3+i(3+\sqrt3)}{2}\\ n + 1 = \dfrac{1+\sqrt3 + i(3+\sqrt3)}{2} + 1 = \dfrac{3+\sqrt3+i(3+\sqrt3)}{2}
Donc n+1 = i(q+1).
Cette écriture complexe traduit le fait que N est l'image de Q par la rotation de centre d'affixe -1 et d'angle \dfrac{\pi}{2}.
Or M milieu de [BC] \Longleftrightarrow m = \dfrac{b+c}{2} = \dfrac{-1-i\sqrt3-1+i\sqrt3}{2}=-1
Donc N est l'image de Q par la rotation de centre M et d'angle \dfrac{\pi}{2}.
Donc le triangle MNQ est rectangle et isocèle en M.

3. c) Il suffit de montrer que \overrightarrow{\text{MN}} = \overrightarrow{\text{QP}}
n - m = n + 1 = \dfrac{3+\sqrt3+i(3+\sqrt3)}{2}
P milieu de [B'C'] \Longleftrightarrow p = \dfrac{b'+c'}{2} = \dfrac{2+\sqrt3-3i+2+\sqrt3+3i}{2} = 2+\sqrt3
p - q = 2 + \sqrt3 - \dfrac{1+\sqrt3-i(3+\sqrt3)}{2} = \dfrac{4+2\sqrt3-1-\sqrt3+i(3+\sqrt3)}{2} = \dfrac{3+\sqrt3+i(3+\sqrt3)}{2} = n - m
Donc \overrightarrow{\text{MN}} = \overrightarrow{\text{QP}}
MNPQ est un parallélogramme, dont 2 côtés adjacents ([MN] et [MQ]) sont perpendiculaires et égaux, donc MNPQ est un carré.
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