Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Pondichéry - Session Avril 2005

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4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction f, définie sur [1; + \infty[ par f(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}.
1. a) Justifier la continuité de f sur [1; +\infty[.
    b) Montrer que f est croissante sur [1; +\infty[.

2. Restitution organisée de connaissances
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
Pour tout réel x_0 de  [1; +\infty[, on note  A(x_0) l'aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations  x = 1 \hspace{10pt}	\text{	et } \hspace{10pt}	x =	x_0.
On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur  [1; +\infty[ est une primitive de f.

    a) Que vaut  A(1) ?
    b) Soit  x_0 un réel queconque de 	[1;	+\infty[ et  h un réel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant :
f(x_0)	\leq \dfrac{A(x_0 + h)	- A(x_0)}{h} \leq f(x_0	+ h).

    c) Lorsque  x_0 > 1, quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que  x_0 +	h \geq 1 ?
    d) En déduire la dérivabilité en  x_0 de la fonction  A ainsi que le nombre dérivé en  x_0 de la fonction  A.
    e) Conclure.
bac S 2005 pondichéry : image 1



5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct  (O; \overrightarrow{u},	\overrightarrow{v})
On désigne par I le point d'affixe z_I = 1, par A le point d'affixe z_A = 1 - 2i, par B le point d'affixe z_B = -2 +	2i et par  (\mathcal{C}) le cercle de diamètre [AB].
On fera une figure que l'on complètera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.

1. Déterminer le centre  \Omega du cercle 	(\mathcal{C}) et calculer son rayon.
2. Soit D le point d'affixe z_D	= \dfrac{3 + 9i}{4 + 2i}.
Ecrire z_D sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle  (\mathcal{C}).
3. Sur le cercle  (\mathcal{C}), on considère le point E, d'affixe z_E, tel qu'une mesure en radians de \left(\overrightarrow{\Omega I},\overrightarrow{\Omega E}\right) \text{ est } \dfrac{\pi}{4}.
    a) Préciser le module et un argument de z_E	+ \dfrac{1}{2}.
    b) En déduire que z_E =	\dfrac{5\sqrt{2} -	2}{4} +	\dfrac{5\sqrt{2}}{4}i.
4. Soit r l'application du plan P dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : z' + \dfrac12 =	e^{^{i\frac{\pi}{4}}}\left(z	+ \dfrac12\right).
    a) Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.
    b) Soit K le point d'affixe z_K	= 2.
Déterminer par le calcul l'image de K par r. Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat ?


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 	(O;	\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).
On considère l'application f qui au point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que : z' = \frac{3	+ 4i}{5} \bar{z} +	\frac{1 - 2i}{5}

1. On note x et x', y et y' les parties réelles et les paties imaginaires de z et z'.
Démontrer que : \left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {x'  &  \dfrac{3x + 4y	+ 1}{5}	 \\  y'  &  \dfrac{4x - 3y -	2}{5}} \\ \end{array} \right.

2. a) Déterminer l'ensemble des points invariants par f
    b) Quelle est la nature de l'application f

3. Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que z' soit réel.

4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.
    a) Donner une colution particulière (x0, y0) appartenant à  \mathbb{Z}^2 de l'équation 	4x - 3y	= 2.
    b) Déterminer l'ensemble des solutions appartenant à  \mathbb{Z}^2 de l'équation \normalsize	4x - 3y	= 2.

5. On considère les points M d'affixe z = x + iy	\hspace{5pt} \text{ tels que } x = 1 \hspace{10pt} \text{ et	} \hspace{10pt} y	\in \mathbb{Z}. Le point M' = f(M) a pour affixe z'.
Déterminer les entiers y tels que Re(z') et Im(z') soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).




exercice 3 - Commun à tous les candidats (5 poins)

L'espace E est rapporté à un repère orthonormal \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right). On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1, 0, 2), (1, 1, 4) et (-1, 1, 1).

1. a) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    b) Soit \overrightarrow{n} le vecteur de coordonnées (3, 4, -2).
Vérifier que le vecteur \normalsize	\overrightarrow{n} est orthogonal aux vecteurs \normalsize	\overrightarrow{\mbox{AB}} \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} \overrightarrow{\mbox{AC}}.
En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soient P1 et P2 les plans d'équations respectives 2x + y + 2z +	1 =	0 \text{ et } x- 2y + 6z =	0.
    a) Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d'équations paramétriques.
    b) La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?

3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et t.
    a) Justifier l'existence du point G pour tout réel positif t.
Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.
Exprimer le vecteur \overrightarrow{\mbox{IG}} en fonction du vecteur \normalsize	\overrightarrow{\mbox{IC}}
    b) Montrer que l'ensemble des points G lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.
Pour quelle valeur de t, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec G ?


6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Pour tout entier naturel n, on pose u_n = \dfrac{n^{10}}{2^n}. On définit ainsi une suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}}

1. Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l'équivalence suivante :
u_{n+1} \leq 0,95 u_n \hspace{15pt} \text{ si et seulement si } \hspace{15pt} \left(1 +	\dfrac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9.


2. On considère la fonction f définie sur 	[1;	+\infty[ par f(x) =	\left(1	+ \dfrac{1}{x}\right)^{10}.
    a) Étudier le sens de variation et la limite en 	+\infty de la fonction f.
    b) Montrer qu'il existe dans l'intervalle  [1; +\infty[ un unique nombre réel \alpha tel que f(\alpha ) = 1,9.
    c) Déterminer l'entier naturel n0 tel que : n_0 - 1 \leq \alpha \leq n_0.
    d) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a : \left(1	+ \dfrac{1}{n}\right)^{10}	\leq 1,9.

3. a) Déterminer le sens de variation de la suite (u_n) à partir du rang 16.
    b) Que peut-on en déduire pour la suite ?

4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, l'encadrement :
0 \leq u_n \leq 0,95^{n - 16} u_{16}.

En déduire la limite de la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}}.





exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) t fleche2 et est continue sur 	[1;	+ \infty[.
t \mapsto \dfrac{1}{t} est continue sur  [1; + \infty[.
Donc, par produit de deux fonctions continues, f est continue sur  [1; +	\infty[.

1. b) f est dérivable sur 	[1;	+ \infty[ et :
f'(t) = \dfrac{\text{e}^t \times t - 1 \times \text{e}^t}{t^2} = \dfrac{(t - 1) \text{e}^t}{t^2}
Pour tout t \in [1; +\infty[, et > 0     et     t - 1  \geq 0
D'où : \normalsize	\forall t \in	[1;	+\infty[, f'(t) \geq	0
f est croissante sur  [1; + \infty[.

2. a) A(1) est l'aire du domaine délimité par la courbe représentant f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 1.
Donc A(1) = 0.

2. b) f est croissante sur  [1; +\infty[, donc \forall t \in [x_0; x_0 + h], f(x_0) \leq f(t) \leq f(x_0 + h)
D'où : \normalsize	\displaystyle \int_{x_0}^{x_0	+ h}f(x_0) dt \leq	\int_{x_0}^{x_0 + h} f(t) dt \leq	\int_{x_0}^{x_0 + h} f(x_0	+ h) dt
Donc : \normalsize	\displaystyle h f(x_0)	\leq \int_{x_0}^{x_0 + h}	f(t) dt	\leq h	f(x_0 +	h)
En utilisant la relation de Chasles :
h f(x_0) \leq	\displaystyle \int_{x_0}^1 f(t) dt + \int_1^{x_0	+ h} f(t) dt \leq h f(x_0 + h)\\ h f(x_0) \leq A(x_0 + h) -	A(x_0) \leq h f(x_0 + h)
En divsant par h > 0, on obtient :
f(x_0)	\leq \frac{A(x_0 + h)	- A(x_0)}{h} \leq f(x_0 + h)

2. c) f est croissante sur  [1; +\infty[, donc \forall t \in [x_0 + h; x_0], f(x_0 + h) \leq f(t) \leq f(x_0)
D'où : \normalsize	\displaystyle \int_{x_0 +	h}^{x_0} f(x_0 + h)	dt \leq \int_{x_0	+ h}^{x_0} f(t)	dt \leq \int_{x_0	+ h}^{x_0} f(x_0) dt
Donc : \normalsize	\displaystyle -h f(x_0	+ h) \leq \int_{x_0 +	h}^{x_0} f(t) dt \leq -h f(x_0)
En utilisant la relation de Chasles :
-h	f(x_0 +	h) \leq \displaystyle	\int_{x_0 + h}^1 f(t) dt +	\int_1^{x_0} f(t) dt \leq -h f(x_0)\\ -h f(x_0 + h) \leq A(x_0) - A(x_0 + h)	\leq -h f(x_0)
En divsant par -h > 0, on obtient :
f(x_0 + h)	\leq \frac{A(x_0 + h)	- A(x_0)}{h} \leq f(x_0)

2. d) f est continue en x0, donc \displaystyle \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0).
D'après le théorème des gendarmes appliqué aux encadrements démontrés en b) et c), on peut affirmer que \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{A(x_0 + h)	- A(x_0)}{h} = f(x_0).
La fonction A est donc dérivable en x0 et A'(x0) = f(x0).

2. e) Le raisonnement est vrai pour tout réel x0 de \smal [1; +\infty[.
On peut donc en conclure que  \forall t \in [1; +\infty[, A'(t) = f(t).
Ce qui prouve que A est une primitive de f sur 	[1;	+\infty[




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1.  (\mathcal{C}) est le cercle de diamètre [AB]. Donc 	\Omega, son centre, a pour affixe :
z_{\Omega} = \frac{z_A +	z_B}{2}	= \frac{1 - 2i	- 2	+ 2i}{2} = -\frac12

Rayon du cercle  (\mathcal{C}) :
\Omega A = |z_A -	z_{\Omega}| = \left|1	- 2i + \frac12\right|	= \left|\frac32 -	2i\right| = \sqrt{\frac94 + 4} =	\frac52

2. Forme algébrique de zD :
z_D = \frac{3	+ 9i}{4	+ 2i} =	\frac{(3 +	9i)(4 -	2i)}{(4	+ 2i)(4	- 2i)} = \frac{30 + 30i}{20} =	\frac{3}{2} + \frac32	i

Démontrons que D est un point du cercle  (\mathcal{C}) :
\Omega D = |z_D -	z_{\Omega}| = \left|\frac32 + \frac32 i	+ \frac12\right| = \left|2 +	\frac32 i\right| = \sqrt{4 +	\frac94} =	\frac52
C'est un rayon de  (\mathcal{C}), donc D est un point du cercle 	(\mathcal{C}).

3. a) |z_E +	\frac12| =	\left|z_E - z_{\Omega}\right| = \Omega E = \frac52
\arg(z_E + \frac12) = \arg(z_E - z_{\Omega}) (2\pi)\\ \hspace{50pt} = (\overrightarrow{u};	\overrightarrow{\Omega E}) (2\pi)\\ \hspace{50pt} = (\overrightarrow{\Omega I}; \overrightarrow{\Omega E}) (2\pi) \hspace{10pt} \text{ car \overrightarrow{u} et \overrightarrow{\Omega I} sont colineaires et de meme sens}\\ \hspace{50pt} = \frac{\pi}{4} (2\pi)

3. b) De ce qui précède, on en déduit que :
z_E + \frac12	= \frac52 e^{i	\frac{\pi}{4}}\\ \text{Donc	} z_E =	\frac52 e^{i \frac{\pi}{4}} - \frac12\\ \hspace{40pt} = \frac52 (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})	- \frac12\\ \hspace{40pt} = \frac52 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} +	i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) -	\frac12\\ \hspace{40pt} = \frac{5\sqrt{2} - 2}{4} + i\frac{5\sqrt{2}}{4}

4. a)z' + \frac12 = e^{i\frac{\pi}{4}} \left(z + \frac12\right)\\ \Longleftrightarrow z' - z_{\Omega} = e^{i \frac{\pi}{4}}(z - z_{\Omega})
r est la rotation de centre  \Omega d'affixe  -\frac12 et d'angle  \frac{\pi}{4}.

4. b) L'image de K par r est le point d'affixe z' vérifiant :
z' + \frac12	= e^{i \frac{\pi}{4}}(z_K	+ \frac12)\\ \text{Donc	: }	z'	= e^{i \frac{\pi}{4}}\left(2	+ \frac12\right) - \frac12\\ \hspace{50pt} = \frac52 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} +	i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) -	\frac12\\ \hspace{50pt} = \frac{5\sqrt{2} - 2}{4} + i \frac{5\sqrt{2}}{4}\\ \hspace{50pt} = z_E
L'image du point K par la rotation r est le point E.

Géométriquement :
On sait que : \Omega K = |z_K	- z_{\Omega}| = \left|2 -	\frac12\right| = \frac52
et que \Omega E =	\frac52 (car E est un point du cercle  (\mathcal{C})).
Donc \Omega K	= \Omega E
De plus, (\overrightarrow{\Omega K}; \overrightarrow{\Omega E}) = (\overrightarrow{\Omega I};	\overrightarrow{\Omega E}) (2\pi) \hspace{10pt} \text{ car les vecteurs } \overrightarrow{\Omega I} \text{ et } \hspace{2pt}	\overrightarrow{\Omega E} \hspace{2pt} \text{ sont colineaires et de meme sens}
Donc, l'image de K par la rotation r de centre 	\Omega et d'angle \frac{\pi}{4} est le point E.
bac S 2005 pondichéry : image 2



5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Soit z	= x	+ iy avec x \text{ et }	y réels. On a :
z' = x' + iy' =	\frac{3 + 4i}{5} \bar{z} + \frac{1 -	2i}{5}\\ \hspace{50pt} = \frac{3 +	4i}{5}(x - iy) + \frac{1 -	2i}{5}\\ \hspace{50pt} = \frac{3x + 4ix - 3iy + 4y	+ 1	- 2i}{5}\\ \hspace{50pt} = \frac{3x + 4y	+ 1}{5}	+ i\frac{4x - 3y -	2}{5}
En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires, on obtient :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x'	 &  \frac{3x	+ 4y + 1}{5} \\  y'  &  \frac{4x - 3y -	2}{5} \\ \end{array} \right.

2. a) L'ensemble des points M invariants par f vérifie  f(M) =	M. Donc :
\text{M invariant par } f \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x  & 	\frac{3x +	4y + 1}{5} \\  y  &  \frac{4x - 3y -	2}{5} \\ \end{array} \right.
\hspace{100pt} \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 5x - 3x	- 4y - 1  &  0 \\  5y	- 4x + 3y +	2  & 	0 \\ \end{array} \right.
\hspace{100pt} \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x - 4y	- 1	 &  0 \\ 	- 4x + 8y +	2  & 	0 \\ \end{array} \right.
\hspace{100pt} \Longleftrightarrow 2x	- 4x - 1 = 0
L'ensemble des points invariants par f est la droite d'équation y = \frac12 x - \frac14

2. b) z' = \frac{3	+ 4i}{5}\bar{z} + \frac{1	- 2i}{5} est de la forme  z' = a\bar{z}	+ b
avec a	= \left|\frac{3 +	4i}{5}\right| = \sqrt{\frac{9}{25} +	\frac{16}{25}}	= 1
f est donc une symétrie axiale. Son axe est l'ensemble des points invariants par f, c'est-à-dire la droite d'équation  y = \frac12 x	- \frac14

3. z' est réel si et seulement si y' = 0,
si et seulement si 4x - 3y - 2 = 0.
L'ensemble D est la droite d'équation y = \frac43 x - \frac23

4. a) pgcd(4; 3) = 1 et 1 divise 2, donc l'équation 4x - 3y = 2 admet des solutions.
De plus :
4 = 3 × 1 + 1
1 = 4 - 3 × 1
En multipliant par 2 : 2 = 4 × 2 - 3 × 2.
D'où : (2; 2) est une solution particulière dans  \mathbb{Z} de l'équation 4x - 3y = 2.

4. b) Soit  (x; y) \in \mathbb{Z}^2 une solution de 4x - 3y = 2. On a :  \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 4	\times	2 -	3 \times 2	 &  2 \\ 	4x - 3y	 &  2 \\ \end{array} \right.
Donc : 4(x - 2) - 3(y - 2) = 0
soit : 4(x - 2) = 3(y - 2).
Donc 4 divise 3(y - 2). Or, 4 et 3 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 4 divise y - 2,
c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que y - 2 = 4k, soit y = 4k + 2.

Si y = 4k + 2, alors :
4(x - 2)	= 3(y -	2)\\ \Longleftrightarrow 4(x - 2) =	3 \times 4k\\ \Longleftrightarrow 4x	= 12k +	8\\ \Longleftrightarrow x = 3k	+ 2
Réciproquement, les couples (3k + 2; 4k + 2) où k \in \mathbb{Z} vérifient l'équation 4x - 3y = 2.
(4x - 3y = 4(3k + 2) - 3(4k + 2) = 2)
D'où : les couples (3k + 2; 4k + 2) où k\in \mathbb{Z} sont les solutions de l'équation 4x - 3y = 2.

5. Si x = 1, alors \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x'  &  \frac{4y + 4}{5} \\  y'  &  \frac{-3y + 2}{5} \\ \end{array} \right.
x' et y' sont entiers si et seulement si \lbrace 4y + 4 \equiv 0[5]\\-3y + 2 \equiv 0[5]
\hspace{200pt} \Longleftrightarrow \lbrace 4y + 4 \equiv 0[5]\\ 3y - 2 \equiv 0 [5]
\hspace{200pt} \Longleftrightarrow \lbrace 4y + 4 \equiv 0[5]\\ 3y + 3 \equiv 0 [5]
Donc 5 divise 4(y + 1) et 5 divise 3(y + 1).
Comme 5 et 4 sont premiers entre-eux et comme 5 et 3 sont premiers entre-eux, alors d'après le théorème de Gauss, 5 divise y + 1.
C'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que y + 1 = 5k, soit y = 5k - 1.
Les entiers y sont de la forme 5k - 1 où k  \in \mathbb{Z}




exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) \normalsize	\overrightarrow{AB} \left(0\\1\\2\right) \hspace{25pt}	\overrightarrow{AC}\left(-2\\1\\-1\right)
Comme les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs \normalsize	\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
Les points A, B et C ne sont donc pas alignés.

1. b) \normalsize	\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} =	0 \times 3	+ 1	\times	4 +	2 \times (-2) = 0 \hspace{20pt} \text{et} \hspace{20pt}	\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n} =	-2 \times 3 + 1 \times 4 - 1 \times (-2)	= -	6 +	4 +	2 =	0
Le vecteur \normalsize	\overrightarrow{n} est orthogonal aux vecteurs \normalsize	\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AC}.

Equation cartésienne du plan (ABC) :
De ce qui précéde, on déduit que :
M(x; y; z)	\in (ABC) \Longleftrightarrow	\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{n}\\ \hspace{80pt} \Longleftrightarrow	 \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0\\ \hspace{80pt} \Longleftrightarrow	 (x	- 1) \times 3 + y \times 4 + (z -	2) \times (-2)	= 0\\ \hspace{80pt} \Longleftrightarrow	 3x	+ 4y - 2z +	1 =	0
Une équation cartésienne du plan (ABC) est 3x + 4y - 2z + 1 = 0.

2. a) \overrightarrow{n}_1(2; 1;	2) \text{ et }	\overrightarrow{n}_2(1; -2; 6)
Les vecteurs \overrightarrow{n}_1 \text{ et	} \overrightarrow{n}_2 n'ont pas des coordonnées proportionnelles. Ils ne sont donc pas colinéaires. Les plans P1 et P2 ne sont pas parallèles. Ils sont donc sécants. Leur intersection est une droite caractérisée par le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x	+ y	+ 2z + 1  &  0 \\ x -	2y + 6z	 &  0 \\ \end{array} \right.
\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x	+ y	+ 2z + 1  &  0  \\ 2x - 4y + 12z  &  0 \\ \end{array} \right.
\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + y + 2z + 1  &  0 \\  5y - 10z + 1  &  0 \\ \end{array} \right.
\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + y + 2z + 1  &  0 \\ y  &  2z - \frac15 \\ \end{array} \right.
\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + 2z - \frac15 + 2z + 1  &  0 \\ y  &  2z - \frac15 \\ \end{array} \right.
\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x  &  -2z - \frac25 \\ y  &  2z - \frac15 \\ \end{array} \right.
D'où, en posant z = t :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x  &  -2t - \frac25\\y = 2t - \frac15 \\ z  &  t \\ \end{array} \right.

2. b) Un vecteur directeur de la droite D est \overrightarrow{u}(-2, 2, 1).
Un vecteur normal au plan (ABC) est \overrightarrow{n}(3, 4, -2).
Calculons le preduit scalaire de ces deux vecteurs :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = -2 \times 3 + 2 \times 4 + 1 \times (-2) = 0
Les vecteurs \overrightarrow{u} \text{ et } \overrightarrow{n} sont orthogoanux. La droite D est donc parallèle au plan (ABC).

3. a) 1 + 2 + t \neq 0 car t > 0,
ce qui justifie l'existence du point G pour tout réel positif.

Coordonnées du point I :
x_I = \frac{1 \times x_A	+ 2 \times x_B}{1 + 2}	= \frac{1 \times 1 + 2 \times 1}{3} = 1\\ y_I	= \frac{1 \times y_A + 2 \times y_B}{1 +	2} = \frac{1 \times 0	+ 2	\times	4}{3} =	\frac23\\ z_I	= \frac{1 \times z_A + 2 \times z_B}{1 +	2} = \frac{1 \times 2	+ 2	\times	4}{3} =	\frac{10}{3}\\
D'où : I\left(1; \frac23; \frac{10}{3}\right)

Exprimons le vecteur \normalsize	\overrightarrow{IG} en fonction du vecteur \normalsize	\overrightarrow{IC} :
G est le barycentre de (A, 1) (B, 2) (C, t)
I est le barycentre de (A, 1) (B, 2).
D'après le théorème d'associativité du barycentre, G est le barycentre de (I, 3) (C, t). Donc :
3\overrightarrow{GI} + t\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\\ \Longleftrightarrow (3 + t)\overrightarrow{GI} = -t\overrightarrow{IC}\\ \Longleftrightarrow \overrightarrow{IG} = \frac{t}{3 + t}\overrightarrow{IC}

3. b) Soit f la fonction définie sur  [0; +\infty[ par f(t) = \frac{t}{3 + t}.
f est dérivable sur  [0; +\infty[ et f'(t) = \frac{1 \times (3 + t) - t \times 1}{(3 + t)^2} = \frac{3}{(3 + t)^2}
 \forall t \in [0; +\infty[ f'(t) > 0.
f est donc stristement croissante sur  [0; +\infty[.

f est continnue et srtictement croisante sur  [0; +\infty[.
De plus, f(0) = 0 et \displaystyle \lim_{t \to +\infty} f(t) = 1
L'image de  [0; +\infty[ par f est donc l'intervalle [0; 1[.
d'où : lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, l'ensemble des points G est le segment [IC] privé du point C.

Les points I et G sont confondus si et seulement si \frac{t}{3 + t} = \frac12
\Longleftrightarrow 2t = 3 + t\\ \Longleftrightarrow t = 3




exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Pour tout entier naturel n non nul,
u_{n+1} \leq 0,95	u_n	\hspace{10pt} \Longleftrightarrow	\hspace{10pt} \frac{(n + 1)^{10}}{2^{n +	1}} \leq 0,95 \times \displaystyle \frac{n^{^{^{10}}}}{2^n}\\ \hspace{100pt} \Longleftrightarrow	\frac{(n +	1)^{10}}{n^{10}} \leq 0,95	\times	\frac{2^{n+1}}{2^n}\\ \hspace{100pt} \Longleftrightarrow	\left(\frac{n	+ 1}{n}\right)^{10} \leq 0,95	\times	2 \\ \hspace{100pt} \Longleftrightarrow	\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9

2. a) Sens de variation :
f est dérivable sur  [1; +\infty[.
\forall x	\in [1; +\infty[,	\hspace{10pt} f'(x) =	10\left(1 + \frac{1}{x}\right)^9	\times	\left(-\frac{1}{x^2}\right)\\ \hspace{100pt}	= -\frac{10}{x^2}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^9\\ \text{Et }	\forall x \in	[1;	+\infty[, -\frac{10}{x^2}	< 0\\ x >	0, \text{donc } \left(1 +	\frac{1}{x}\right)^9 > 0
D'où : \normalsize	\forall x \in	[1;	+\infty[, f'(x) <	0
f est strictement décroissante sur  [1; +\infty[

Limite en  +\infty :
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 +	\frac{1}{x}\right) = 1
D'où, par produit : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 +	\frac{1}{x}\right)^{10} =	1
soit : \normalsize	\displaystyle \lim_{x \to +\infty}	f(x) = 1

2. b) f est dérivable, donc continue sur  [1; +\infty[ et strictement décroissante sur 	[1;	+\infty[.
De plus, f(1) = 2^{10}	> 1,9 \hspace{10pt} \text{ et	} \hspace{10pt} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) =	1 <	1,9.
Donc il existe un unique réel  \alpha appartenant à 	[1;	+\infty[ tel que f(\alpha)	= 1,9.

2. c) A l'aide de la calculatrice : f(15) \approx 1,906	\hspace{10pt} \text{ et }	\hspace{10pt} f(16) \approx 1,833
Donc l'entier  n_0 tel que n_0 -	1 \leq	\alpha	\leq n_0 est 16.

2. d) On a vu que f(16) < 1,9 et que f est décroissante sur  [1; +\infty[. Donc, pour tout entier n supérieur ou égal à 16, on a : f(n)	\leq 1,9
Soit \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9

3. a) On a montré que pour tout entier n supérieur ou égal à 16, on a : \left(1	+ \frac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9.
Ce qui équivaut d'après la question 1 à : u_{n+1} \leq 0,95 u_n
soit u_{n+1} \leq u_n \text{ car } 0,95 < 1
Donc (un) est décroissante pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16.

3. b) (un) est décroissante pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16 et (un) est minorée par 0.
La suite (un) est donc convergente.

4. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a la propriété suivante : 0	\leq u_n \leq	0,95^{n	- 16}u_{16}
0 \leq u_{16}	\leq 0,95^0 u_{16}
La proporiété est donc vérifiée au rang 16.

Supposons que la proporiété soit vérifiée au rang n et montrons qu'elle est encore vraie au rang n + 1 :
La propriété est vraie au rang n (entier supérieur ou égal à 16), donc : 0	\leq u_n \leq	0,95^{n	- 16}u_{16}
En multipliant par 0,95 : 0 \leq 0,95	u_n	\leq 0,95^{n +	1 -	16}u_{16}
Or, d'après la question 1, u_{n + 1} \leq	0,95 u_n
Donc : \normalsize	0 \leq u_{n + 1} \leq	0,95^{n	+ 1	- 16}u_{16}
La propriété est donc vraie au rang n + 1.
On a donc montré que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, 0 \leq u_n \leq 0,95^{n - 16}u_{16}.

Limite de la suite (un) :
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(0,95^{n	- 16}u_{16}\right)	= 0, donc d'après le théorème des gendarmes, \normalsize	\displaystyle \lim_{n \to +\infty}	u_n	= 0
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