Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Session de remplacement
Polynésie Française - Session 2005

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Coefficient : 7     Durée de l'épreuve: 4 heures
5 points

exercice 1

On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C.
A l'instant 0, la puce est en A.
Pour tout entier naturel n :
si à l'instant n la puce est en A, alors à l'instant (n + 1), elle est :
      soit en B avec une probabilité égale à \frac13;
      soit en C avec une probabilité égale à \frac23.
si à l'instant n la puce est en B, alors à l'instant (n + 1), elle est :
      soit en C, soit en A de façon équiprobable.
si à l'instant n la puce est en C, alors elle y reste.
On note An (respectivement Bn, Cn) l'événement « à l'instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C).
On note an (respectivement bn, cn) la probabilité de l'événement An, (respectivement Bn, Cn).
On a donc : a0 = 1, b0 = c0 = 0.
Pour traiter l'exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.

1. Calculer ak, bk et ck pour k entier naturel tel que 1 \leq k \leq 3.

2. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, an + bn + cn = 1 et \lbrace \begin{array}{lll} a_{n+1} &=& \frac12b_n\\ b_{n+1}&=& \frac13a_n\\ \end{array}
    b) Montrer que, pour tout entier naturel n, an+2 = \frac16an.
    c) En déduire que, pour tout entier naturel p, \left\lbrace \begin{array}{lcl} a_{2p} = \left(\frac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0\\ b_{2p} = 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \frac13\left(\frac16\right)^p\\ \end{array}

3. Montrer que \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_{n} = 0.
On admet que \displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_{n} = 0. Quelle est la limite de cn lorsque n tend vers +\infty ? 7 points

exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) (unité graphique : 1 cm).

Partie A

Dans le repère (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), on considère la courbe \mathscr{H} d'équation y^2 - x^2 = 16.

1. Montrer que \mathscr{H} est la réunion de deux courbes \mathscr{C} et \mathscr{C}'\mathscr{C} est la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \sqrt{x^2 + 16} et où \mathscr{C}' est l'image de \mathscr{C} par une transformation simple que l'on précisera.

2. a) Etudier la fonction f (limites aux bornes de l'ensemble de définition et sens de variation).
   b) Montrer que la droite d'équation y = x est une asymptote de \mathscr{C}.
   c) Tracer \mathscr{H} dans le repère (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).
On nomme A et B les points de la courbe \mathscr{C} d'abscisses respectives -3 et 3.
On considère le domaine \mathscr{D} du plan constitué des points M(x ; y) vérifiant : -3 \leq x \leq 3 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \sqrt{x^2 + 16} \leq y \leq 5
   b) Hachurer le domaine \mathscr{D} et exprimer l'aire de \mathscr{D} à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.

Partie B

On appelle r la rotation de centre O et d'angle -\frac{\pi}{4}.

1. a) Donner l'écriture complexe de r.
   b) On désigne par x' et y' les coordonnées du point M', image du point M(x; y) du plan.
Vérifier que \left\lbrace \begin{array}{lcl} x' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y)\\ y' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(-x + y)\\ \end{array}
Déterminer les coordonnées des points A' et B', images respectives de A et B par la rotation r. Placer les points A' et B' dans le repère (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).

2. Soit \mathscr{H}' l'hyperbole d'équation xy =  8.
   a) Tracer \mathscr{H}' dans le repère (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).
   b) Montrer que \mathscr{H}' est l'image de \mathscr{H} par la rotation r.

3. Soit \mathscr{D}' l'image de \mathscr{D} par la rotation r. On admet que \mathscr{D}' est l'ensemble des points M(x; y) du plan vérifiant \sqrt{2} \leq x \leq 4\sqrt{2} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \frac{8}{x} \leq y \leq 5\sqrt{2} -  x.
   a) Hachurer \mathscr{D}'.
   b) Calculer l'aire de \mathscr{D}',exprimée en cm².
En déduire une valeur approchée à 10-3 près de l'aire de \mathscr{D}. 3 points

exercice 3

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse inexacte enlève 0,5 point; l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).

1. Le point M est situé sur le cercle de centre A(-2; 5) et de rayon \sqrt{3}. Son affixe z vérifie :
    a) \|z - 2 + 5i\|^2 = 3;
    b) \|z + 2 - 5i\|^2 = 3;
    c) \|z - 2 + 5i\| = 3.

2. On considère trois points A, B et C d'affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n'est pas équilatéral. Le point M est un point dont l'affixe z est telle que les nombres complexes \frac{z - b}{c - a} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \frac{z - c}{b - a} sont imaginaires purs.
    a) M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC;
    b) M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB];
    c) M est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Soit A et B les points d'affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle G l'isobarycentre des points A, B et C et on note z_{G} son affixe.
    a) \left|z_{G} - 3 - 2,5i\right| = \frac{5}{6};
    b) z_{G}- (1 + i) = \frac{1}{3}(4 + 3i);
    c) z_{G} - (3 + 2,5i) = \frac{1}{3}(4 + 3i). 5 points

exercice 4

L'annexe se rapporte à cet exercice.
Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
Soit la fonction f définie sur [0; +\infty[ par f(x) = e^{-x} \cos (4x) et \normalsize\Gamma sa courbe représentative tracée dans le repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) de l'annexe.
On considère également la fonction g définie sur [0; +\infty[ par g(x) = \text{e}^{-x} et on nomme \mathscr{C} sa courbe représentative dans le repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).

1. a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0; +\infty[, -\text{e}^{-x} \leq f(x) \leq \text{e}^{-x}.
    b) En déduire la limite de f en +\infty.

2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes \Gamma et \mathscr{C}.

3. On définit la suite (un) sur \mathbb{N} par u_{n} = f\left(n\frac{\pi}{2}\right).
    a) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique. En préciser la raison.
    b) En déduire le sens de variation de la suite (un) et étudier sa convergence.

4. a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0; +\infty[, f'(x) = -\text{e}^{-x} \left[\cos (4x) + 4 \sin (4x)\right].
    b) En déduire que les courbes \Gamma et \mathscr{C} ont même tangente en chacun de leurs points communs.

5. Donner une valeur approchée à 10-1 près par excès du coefficient directeur de la droite \mathscr{T} tangente à la courbe \Gamma au point d'abscisse \frac{\pi}{2}.
Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant \mathscr{T} et \mathscr{C}.

bac S 2005 session de remplacement polynésie française : image 1

Annexe




exercice 1

1. Calculons ak, bk et ck pour k entier naturel tel que 1 \leq k \leq 3 :
A l'instant 0, la puce est en A, ainsi on a :
a1 = 0       b1 = \frac{1}{3}       c1 = \frac{2}{3}
Pour la suite, aidons nous d'un arbre pondéré :
bac S 2005 session de remplacement polynésie française : image 2

Ainsi :
a_2 =  \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\\ b_2 = 0\\ c_2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{6}
et
a_3 = 0\\ b_3 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}\\ c_3 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{17}{18}

2. a)
Montrons que, pour tout entier naturel n, \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a_{n+1}  &  \frac12 b_n \\ b_{n+1}  &  \frac13 a_n \\ \end{array} \right. :
Soit n un entier naturel.
Soit à l'instant n, la puce est sur la case A (avec la probabilité an, alors elle saute à l'instant n + 1 sur la case B avec une probabilité \frac{1}{3}, ou sur la case C avec une probabilité \frac{2}{3}. Ainsi :
PAn(An+1) = 0    , PAn(Bn+1) = \frac13     PAn(Cn+1) = \frac23
Soit à l'instant n, la puce est sur la case B (avec la probabilité bn), alors elle saute à l'instant n + 1 sur la case A avec une probabilité \frac{1}{2}, ou sur la case C avec une probabilité \frac{1}{2}. Ainsi :
PBn(An+1) = \frac12     PBn(Bn+1) = 0     PBn(Cn+1) = \frac{1}{2}
Soit à l'instant n, la puce est sur la case C (avec la probabilité cn), alors elle reste sur la case C. Ainsi :
PCn(An+1) = 0     PCn(Bn+1) = 0     PCn(Cn+1) = 1
D'où :
a_{n+1} = P(A_{n+1}) = P(A_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\ a_{n+1} = P((A_{n+1} \cap A_n) \cup (A_{n+1} \cap B_n) \cup (A_{n+1} \cap C_n))\\ a_{n+1} = P(A_n) P_{A_n}(A_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(A_{n+1}) + P(C_n) P_{C_n}(A_{n+1})\\  a_{n+1} = \frac{1}{2}b_n

b_{n+1} = P(B_{n+1}) = P(B_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\ b_{n+1} = P((B_{n+1} \cap A_n) \cup (B_{n+1} \cap B_n) \cup (B_{n+1} \cap C_n))\\ b_{n+1} = P(A_n) P_{A_n}(B_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(B_{n+1}) + P(C_n) P_{C_n}(B_{n+1})\\ b_{n+1} = \frac{1}{3}a_n

c_{n+1} = P(C_{n+1}) = P(C_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\ c_{n+1} = P((C_{n+1} \cap A_n) \cup (C_{n+1} \cap B_n) \cup (C_{n+1} \cap C_n))\\ c_{n+1}= P(A_n) P_{A_n}(C_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(C_{n+1}) + P(C_n)P_{C_n}(C_{n+1})\\ c_{n+1}= \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2}b_n + c_n
Et par suite, nous avons : pour tout entier naturel n, \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a_{n+1}  &  \frac12 b_n \\ b_{n+1}  &  \frac13 a_n \\ \end{array} \right..

    Montrons que, pour tout entier naturel n, an + bn + cn = 1 :
Montrons par un raisonnement par récurrence sur n \ge 0 que an + bn + cn = 1.
Pour n = 0 :
a0 + b0 + c0 = 1
Ainsi, la propriété est démontrée pour n = 0.

On suppose que pour un n donné, on a : an + bn + cn = 1.
an+1 + bn+1 + cn+1 = \frac{1}{2}b_n + \frac{1}{3}a_n + \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2}b_n + c_n = a_n + b_n + c_n
D'après l'hypothèse de récurrence, nous avons : an + bn + cn = 1.
Par suite : an+1 + bn+1 + cn+1 = 1.
Autrement dit, pour tout entier naturel n, nous avons bien : an + bn + cn = 1.

2. b) Montrons que, pour tout entier naturel n, an+2 = \frac16 an :
Pour tout entier naturel n, nous avons \lbrace a_{n+1} = \frac{1}{2} b_n\\ b_{n+1} = \frac{1}{3} a_n.
Soit n un entier naturel.
a_{n+2} = \frac{1}{2} b_{n+1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}a_n = \frac{1}{6}a_n

2. c) Déduisons-en que, pour tout entier naturel p, \left\lbrace \begin{array}{lcl} a_{2p} = \left(\frac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0\\ b_{2p} = 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \frac13\left(\frac16\right)^p\\ \end{array} :
Montrons par un raisonnement par récurrence sur p \ge 0, que : a_{2p} = \left(\frac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0 :
Pour p = 0 :
a0 = 1     a1 = 0     b0 = 0     b1 = \frac{1}{3}
Ainsi pour p = 0, la propriété est démontrée.

Supposons par récurrence que pour un entier naturel p donné, nous avons : a_{2p} = \left(\frac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0
Et montrons que : a_{2p+2} = \left(\frac{1}{6}\right)^{p+1} \text{ et } a_{2p+3} = 0
D'après précédemment :
a_{2p+2} = \frac{1}{6}a_{2p} \text{ et } a_{2p+3} = \frac{1}{6}a_{2p+1}
Par hypothèse de récurrence, nous avons : a_{2p+2} = \frac{1}{6} \times \left(\frac{1}{6}\right)^p = \left(\frac{1}{6}\right)^{p+1}
Et a_{2p+3} = \frac{1}{6} a_{2p+1} = 0
Ainsi pour tout entier naturel p, nous avons : a_{2p} = \left(\frac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0

On a : b0 = 0 et b1 = \frac{1}{3}
Soit p un entier naturel non nul.
D'après la question 2.a), nous avons :
b_{2p} = \frac{1}{3} a_{2p-1} = 0\\ b_{2p+1} = \frac{1}{3} a_{2p} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^p
Ainsi pour tout entier naturel p, on a : \left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \begin{array}{lcl}a_{2p}  &  \left(\frac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0 \\ b_{2p}  &  0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \frac13\left(\frac16\right)^p\\\end{array} \\ \end{array} \right.

3. Montrons que \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_{n} = 0 :
\displaystyle \lim_{p \to +\infty} \; a_{2p} = \displaystyle \lim_{p \to +\infty} \; \left(\frac{1}{6}\right)^p = 0 car 0 < \frac16 < 1
Et \displaystyle \lim_{p \to +\infty} \; a_{2p+1} = 0
Ainsi \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; a_n = 0

Comme pour tout entier naturel n, b_n = \frac{1}{3}a_n et que \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; a_n = 0,
alors \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; b_n = 0

    Déterminons la limite de cn lorsque n tend vers +\infty :
Comme pour tout entier naturel n, nous avons an + bn + cn = 1,
Et que \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \; a_n  &  0 \\  \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; b_n  &  0 \\ \end{array} \right.
Alors : \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; c_n = 1

exercice 2

1. Montrons que \mathscr{H} est la réunion de deux courbes \mathscr{C} et \mathscr{C}' :
Soit M un point de coordonnées (x ; y) appartenant à la courbe \mathscr{C}. Ainsi les réels x et y (y positif) vérifient : y = \sqrt{x^2 + 16}
Autrement dit, \lbrace y \ge 0\\ y^2 - x^2 = 16
Et par suite, le point M appartient à la courbe \mathscr{H}. Donc \mathscr{C} \subset \mathscr{H}.
Soit la courbe \mathscr{C}' l'image de la courbe \mathscr{C} par rapport à la symétrie axiale d'axe l'axe des abscisses.
Ainsi l'équation de \mathscr{C}' est y = -\sqrt{x^2+16}.
Soit M un point de coordonnées (x ; y) appartenant à la courbe \mathscr{C}'. Ainsi les réels x et y (y positif) vérifient : y = -\sqrt{x^2+16}
Autrement dit, \lbrace y \le 0\\y^2 - x^2 = 16
Et par suite, le point M appartient à la courbe \mathscr{H}. Donc \mathscr{C}' \subset \mathscr{H}.
De ce fait : \mathscr{C} \cup \mathscr{C}' \subset \mathscr{H}

Montrons que : \mathscr{H} \subset \mathscr{C} \cup \mathscr{C}'
Soit M un point de coordonnées (x ; y) appartenant à la courbe \mathscr{H}. Ainsi les réels x et y vérifient : y^2 - x^2 = 16
C'est-à-dire : |y| = \sqrt{x^2+16}
Par suite, soit : \lbrace y \le 0\\ y = -\sqrt{x^2+16}, soit \lbrace y \ge 0\\ y = \sqrt{x^2+16}
Dans le premier cas, cela signifie que le point M appartient à la courbe \mathscr{C}.
Dans le deuxième cas, cela signifie que le point M appartient à la courbe \mathscr{C}'.

2. a) Etudions la fonction f :
f est définie sur \mathbb{R}.
f est la composée des fonctions carré et racine carrée.
Comme en -\infty, la fonction carré tend vers +\infty et en -\infty, la fonction racine carrée tend vers +\infty, alors \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \; f(x) = +\infty
Comme en +\infty, les fonctions carré et racine carrée tendent vers +\infty, alors : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; f(x) = +\infty
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}
f'(x) = 0 revient à x = 0
f'(x) < 0 revient à x < 0
f'(x) > 0 revient à x > 0
D'où :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x & -\infty & \; & 0 & \; & +\infty \\ \hline  f'(x) & \; & - & 0 & + & \; \\ \hline \; & +\infty & \; & \; & \; & +\infty \\ f & \; & \searrow & \; & \nearrow & \; \\ \; & \; & \; & 4 & \; & \; \\ \hline \end{array}

2. b) Montrons que la droite d'équation y = x est une asymptote de \mathscr{C}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \frac{\sqrt{1 + \frac{16}{x^2}}}{1} = 1
(Remarque : on factorise par x^2 dans la racine carrée, pour simplifier avec le dénominateur).
Ainsi la courbe \mathscr{C} admet une asymptote de pente 1 en +\infty.
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \left[f(x) - x\right] = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \left(\sqrt{x^2 + 16} - x\right) \\ \hspace{100pt} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \frac{(\sqrt{x^2 + 16} - x)(\sqrt{x^2 + 16} + x)}{\sqrt{x^2 + 16} + x} \\ \hspace{100pt} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+16-x^2}{\sqrt{x^2+16}+x} \\ \hspace{100pt} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \; \frac{16}{\sqrt{x^2 + 16} + x} = 0
Ainsi la droite d'équation y = x est une asymptote à la courbe \mathscr{C}.

2. c) Traçons \mathscr{H} dans le repère (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) :

bac S 2005 session de remplacement polynésie française : image 4


2. d) Hachurons le domaine \mathscr{D} et exprimons l'aire de \mathscr{D} à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer :
cf. graphique (hachures vertes)
L'aire de \mathscr{D} est : \displaystyle \int_{-3}^3 \; \left[5 - f(x)\right] \text{d}x.

Partie B

1. a) Donnons l'écriture complexe de r :
On note M' d'affixe z' l'image du point M d'affixe z par la rotation r.
L'écriture complexe de r est z' = ze^{-i\frac{\pi}{4}}

1. b) Vérifions que \left\lbrace \begin{array}{lcl} x' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y)\\ y' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(-x + y)\\ \end{array} et déterminons les coordonnées des points A' et B':
z' = ze^{-i \frac{\pi}{4}}\\ z' = (x + iy)\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ z' = (x + y)\frac{1}{\sqrt{2}} + i (-x +y)\frac{1}{\sqrt{2}}
d'où :
\normalsize \left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \begin{array}{lcl}x' & & & \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y) \\ y' & & & \frac{1}{\sqrt{2}}(-x + y)\\\end{array} \\ \end{array} \right.
Les points A et B ont pour coordonnées respectives : (-3 ; 5) et (3 ; 5).
Ainsi les points images A' et B' ont pour coordonnées respectives (\sqrt{2}\; ; \; 4\sqrt{2}) \text{ et } (4\sqrt{2} \; ; \; \sqrt{2}).

2. a) Traçons \mathscr{H}' dans le repère (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) :
cf graphique
L'hyperbole \mathscr{H}' a pour équation y = \frac{8}{x}

2. b) Montrons que \mathscr{H}' est l'image de \mathscr{H} par la rotation r :
Soit M un point de coordonnées (x ; y) appartenant à la courbe \mathscr{H}. Ainsi les réels x et y vérifient : y^2 - x^2 = 16
Le point M', image du point M par la rotation r a pour coordonnées (x' ; y'). Ces coordonnées vérifient :
\left\lbrace \begin{array}{lcl} x' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y)\\y' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(-x + y)\\ \end{array}
D'où :

Ainsi le point M', image du point M appartient à la courbe \mathscr{H}'.
Comme nous avons affaire à une transformation (application bijective), si nous avons un point M', image d'un point M par la rotation r et que M' appartient à \mathscr{H}', alors le point M appartient à la courbe \mathscr{H}.
Ainsi la courbe \mathscr{H}' est l'image de la courbe \mathscr{H} par la rotation r.

3. a) Hachurons \mathscr{D}' :
cf graphique
Les hachures rouges correspondent à l'ensemble \mathscr{D}'.

3. b) Calculons l'aire de \mathscr{D}' :
\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{4\sqrt{2}} \left(5\sqrt{2} - x - \frac{8}{x}\right) \text{d}x  = \left[5\sqrt{2}x - \frac{x^2}{2} - \8ln(x)\right]_{\sqrt{2}}^{4\sqrt{2}} \\ \hspace{70pt} = 5\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} - \frac{16 \times 2}{2} - 8\ln(4\sqrt{2}) - 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} + \frac22 + 8\ln(\sqrt{2})\\ \hspace{70pt} = 40 - 16 - 8\ln(4\sqrt{2} - 10 + 1 + 8\ln (\sqrt{2}) \\ \hspace{70pt} = 15 - 8\ln 4 - 8\ln(\sqrt{2} + 8\ln(\sqrt{2})\\ \hspace{70pt} = 15 - 8\ln 4\\ \hspace{70pt} \approx 3,910
L'aire de l'ensemble \mathscr{D}' est à peu près égale à 3,910 cm².
Comme les rotations conservent les aires, l'aire de l'ensemble \mathscr{D} est à peu près égale à 3,910 cm².

exercice 3

1. Réponse : b)
Pour information : MA² = 3
Et MA^2 = |z_M - z_A|^2 = |z + 2 - 5i|^2 = 3.

2. Réponse : c)
Pour information : les vecteurs \overrightarrow{\text{BM}} \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}} ont pour affixe respective z - b et c - a.
Comme \frac{z - b}{c - a} est un imaginaire pur, cela signifie que les vecteurs \overrightarrow{\text{BM}} \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}} sont orthogonaux.
(l'angle (\overrightarrow{\text{AC}}\;;\;\overrightarrow{\text{BM}}) a pour mesure un argument de \frac{z - b}{c - a} et l'argument d'un imaginaire pur est \frac{\pi}{2} \left(\pi\right)).
Donc : les vecteurs \overrightarrow{\text{BM}} \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}} et \overrightarrow{\text{AB}} \text{ et } \overrightarrow{\text{CM}} d'autre part sont orthogonaux, ce qui signifie que les droites (BM) et (AC) d'une part et (AB) et (CM) d'autre part sont perpendiculaires.
Le point M appartient donc à la hauteur issue de B et à la hauteur issue de B : le point M est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Réponse a)
Pour information : soit I le milieu du segment [AB]. I a pour affixe 3 + 2,5i.
Comme G est l'isobarycentre des points A, B et C, alors on a :
\overrightarrow{\text{CG}} = \frac{2}{3} \overrightarrow{\text{CI}}
Autrement dit :
\overrightarrow{\text{IG}} = \frac{1}{3} \overrightarrow{IC}
D'où : \text{IG} = \frac{1}{3} \text{IC} = \frac{1}{3} \frac{\text{AB}}{2} = \frac{\text{AB}}{6}
Or IG = |zG - 3 - 2,5i| et AB = |4 + 3i| = 5, donc |zG - 3 - 2,5i| = \frac56.

exercice 4

1. a) Montrons que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0; +\infty[, -\text{e}^{-x} \leq f(x) \leq \text{e}^{-x} :
Pour tout réel x de l'intervalle [0; +\infty[, nous avons : -1 \le \cos(4x) \leq 1
Ainsi comme pour tout réel x, e^{-x} \ge 0 : -e^{-x} \le f(x) \leq e^{-x}

1. b) Déduisons-en la limite de f en +\infty :
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; e^{-x} = 0
D'après le théorème des encadrements, nous avons : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; f(x) = 0

2. Déterminons les coordonnées des points communs aux courbes \Gamma et \mathscr{C} :
Cherchons, si elles existent, les solutions de l'équation : e^{-x} \cos(4x) = e^{-x}
(On suppose donc qu'il existe x un réel solution).
C'est-à-dire :
e^{-x}(\cos(4x) - 1) = 0
Or pour tout réel x de l'intervalle [0 ; +\infty[, e^{-x} > 0
Donc :
\cos(4x) - 1 = 0\\ \cos(4x) = 1
Il existe un entier naturel k (car x est positif) tel que : 4x = 2k\pi
Conclusion :
Pour tout entier naturel k, le réel \frac{k\pi}{2} est solution de l'équation e^{-x} \cos(4x) = e^{-x}
Les points d'intersection de \Gamma et \mathscr{C} sont les points d'abscisse \frac{k\pi}{2} et d'ordonnée e^{-\frac{k\pi}{2}} avec k un entier naturel.

3. a) Montrons que la suite (un) est une suite géométrique :
Pour tout un entier naturel n, on a : u_n = e^{- n\frac{\pi}{2}} \cos(4 n\frac{\pi}{2}) = e^{- n \frac{\pi}{2}}
Ainsi pour tout entier naturel n, on a : \frac{u_{n+1}}{u_n} = e^{-\frac{\pi}{2}}
Et par suite, la suite (un) est une suite géométrique de raison e^{-\frac{\pi}{2}}.

3. b) Déduisons-en le sens de variation de la suite (un) :
Pour tout entier naturel n, on a : u_n = u_0\left(e^{-\frac{\pi}{2}}\right)^{n} = \left(e^{-\frac{\pi}{2}}\right)^{n}
Or e^{-\frac{\pi}{2}} < 1
Donc la suite (un) est décroissante.

    Etudions la convergence de la suite (un) :
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(e^{-\frac{\pi}{2}}\right)^{n} = 0
Alors la suite (un) converge vers 0.

4. a) Montrons que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0; +\infty[, f'(x) = -\text{e}^{-x} \left[\cos (4x) + 4 \sin (4x)\right] :
Les fonctions exponentielles et cosinus sont dérivables sur l'intervalle [0; +\infty[. Ainsi pour tout réel x positif :
f'(x) = -e^{-x}\cos(4x) - 4e^{-x} \sin(4x) = -e^{-x}(\cos(4x) + 4\sin(4x))

4. b) Déduisons-en que les courbes \Gamma et \mathscr{C} ont même tangente en chacun de leurs points communs :
Soit n un entier naturel, \cos(4\frac{n\pi}{2}) = 1 et \sin(4\frac{n\pi}{2}) = 0
f'(\frac{n\pi}{2}) = -e^{-\frac{n\pi}{2}} = g'(\frac{n\pi}{2})
De ce fait, \Gamma et (\mathscr{C}) ont même tangente en chacun de leurs points communs (les pentes des tangentes sont égales en chacun des points communs).

5. Donnons une valeur approchée à 10-1 près par excès du coefficient directeur de la droite \mathscr{T} tangente à la courbe \Gamma au point d'abscisse \frac{\pi}{2} :
f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -e^{-\frac{\pi}{2}} \approx -0,2
Le coefficient directeur de la droite \mathscr{T} tangente à la courbe \Gamma au point d'abscisse \frac{\pi}{2} est -0,2.

    Complétons le graphique donné en annexe, en y traçant \mathscr{T} et \mathscr{C} :

bac S 2005 session de remplacement polynésie française : image 3
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