Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Session de remplacement
Polynésie Française - Session 2005

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Coefficient : 7 Durée de l'épreuve: 4 heures

5 points

exercice 1

On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C.
A l'instant 0, la puce est en A.
Pour tout entier naturel n :
si à l'instant n la puce est en A, alors à l'instant (n + 1), elle est :
soit en B avec une probabilité égale à $\frac13$ ;
soit en C avec une probabilité égale à $\frac23$ .
si à l'instant n la puce est en B, alors à l'instant (n + 1), elle est :
soit en C, soit en A de façon équiprobable.
si à l'instant n la puce est en C, alors elle y reste.
On note A_n (respectivement B_n, C_n) l'événement « à l'instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C).
On note a_n (respectivement b_n, c_n) la probabilité de l'événement A_n, (respectivement B_n, C_n).
On a donc : a₀ = 1, b₀ = c₀ = 0.
Pour traiter l'exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.

1. Calculer a_k, b_k et c_k pour k entier naturel tel que 1 $\leq$ k $\leq$ 3.

2. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, a_n + b_n + c_n = 1 et $\lbrace \begin{array}{lll} a_{n+1} &=& \frac12b_n\\ b_{n+1}&=& \frac13a_n\\ \end{array}$
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, a_n+2 = $\frac16$ a_n.
c) En déduire que, pour tout entier naturel p, $\left\lbrace \begin{array}{lcl} a_{2p} = \left(\frac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0\\ b_{2p} = 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \frac13\left(\frac16\right)^p\\ \end{array}$

3. Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_{n} = 0$ .
On admet que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_{n} = 0$ . Quelle est la limite de c_n lorsque n tend vers + $\infty$ ? 7 points

exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ (unité graphique : 1 cm).

Partie A

Dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ , on considère la courbe $\mathscr{H}$ d'équation $y^2 - x^2 = 16$ .

1. Montrer que $\mathscr{H}$ est la réunion de deux courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ où $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x^2 + 16}$ et où $\mathscr{C}'$ est l'image de $\mathscr{C}$ par une transformation simple que l'on précisera.

2. a) Etudier la fonction $f$ (limites aux bornes de l'ensemble de définition et sens de variation).
   b) Montrer que la droite d'équation $y = x$ est une asymptote de $\mathscr{C}$ .
   c) Tracer $\mathscr{H}$ dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
On nomme A et B les points de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisses respectives -3 et 3.
On considère le domaine $\mathscr{D}$ du plan constitué des points M( $x ; y$ ) vérifiant : $-3 \leq x \leq 3 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \sqrt{x^2 + 16} \leq y \leq 5$
   b) Hachurer le domaine $\mathscr{D}$ et exprimer l'aire de $\mathscr{D}$ à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.

Partie B

On appelle r la rotation de centre O et d'angle $-\frac{\pi}{4}$ .

1. a) Donner l'écriture complexe de r.
   b) On désigne par $x$ ' et $y$ ' les coordonnées du point M', image du point M( $x; y$ ) du plan.
Vérifier que $\left\lbrace \begin{array}{lcl} x' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y)\\ y' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(-x + y)\\ \end{array}$
Déterminer les coordonnées des points A' et B', images respectives de A et B par la rotation r. Placer les points A' et B' dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .

2. Soit $\mathscr{H}'$ l'hyperbole d'équation $xy = 8$ .
   a) Tracer $\mathscr{H}'$ dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
   b) Montrer que $\mathscr{H}'$ est l'image de $\mathscr{H}$ par la rotation r.

3. Soit $\mathscr{D}'$ l'image de $\mathscr{D}$ par la rotation r. On admet que $\mathscr{D}'$ est l'ensemble des points M( $x; y$ ) du plan vérifiant $\sqrt{2} \leq x \leq 4\sqrt{2} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \frac{8}{x} \leq y \leq 5\sqrt{2} - x$ .
   a) Hachurer $\mathscr{D}'$ .
   b) Calculer l'aire de $\mathscr{D}'$ ,exprimée en cm².
En déduire une valeur approchée à 10^-3 près de l'aire de $\mathscr{D}$ . 3 points

exercice 3

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse inexacte enlève 0,5 point; l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .

1. Le point M est situé sur le cercle de centre A(-2; 5) et de rayon $\sqrt{3}$ . Son affixe $z$ vérifie :
    a) $\|z - 2 + 5i\|^2 = 3$ ;
    b) $\|z + 2 - 5i\|^2 = 3$ ;
    c) $\|z - 2 + 5i\| = 3$ .

2. On considère trois points A, B et C d'affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n'est pas équilatéral. Le point M est un point dont l'affixe $z$ est telle que les nombres complexes $\frac{z - b}{c - a} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \frac{z - c}{b - a}$ sont imaginaires purs.
    a) M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC;
    b) M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB];
    c) M est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Soit A et B les points d'affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle G l'isobarycentre des points A, B et C et on note $z_{G}$ son affixe.
    a) $\left|z_{G} - 3 - 2,5i\right| = \frac{5}{6}$ ;
    b) $z_{G}- (1 + i) = \frac{1}{3}(4 + 3i)$ ;
    c) $z_{G} - (3 + 2,5i) = \frac{1}{3}(4 + 3i)$ . 5 points

exercice 4

L'annexe se rapporte à cet exercice.
Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
Soit la fonction $f$ définie sur [0; + $\infty$ [ par $f(x) = e^{-x} \cos (4x)$ et $\normalsize\Gamma$ sa courbe représentative tracée dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ de l'annexe.
On considère également la fonction g définie sur [0; + $\infty$ [ par $g(x) = \text{e}^{-x}$ et on nomme $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

1. a) Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0; + $\infty$ [, $-\text{e}^{-x} \leq f(x) \leq \text{e}^{-x}$ .
    b) En déduire la limite de $f$ en + $\infty$ .

2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ .

3. On définit la suite (u_n) sur $\mathbb{N}$ par $u_{n} = f\left(n\frac{\pi}{2}\right)$ .
    a) Montrer que la suite (u_n) est une suite géométrique. En préciser la raison.
    b) En déduire le sens de variation de la suite (u_n) et étudier sa convergence.

4. a) Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0; + $\infty$ [, $f'(x) = -\text{e}^{-x} \left[\cos (4x) + 4 \sin (4x)\right]$ .
    b) En déduire que les courbes $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ ont même tangente en chacun de leurs points communs.

5. Donner une valeur approchée à 10^-1 près par excès du coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ .
Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant $\mathscr{T}$ et $\mathscr{C}$ .

bac S 2005 session de remplacement polynésie française : image 1

Annexe

Voir la correction

exercice 1

1. Calculons a_k, b_k et c_k pour k entier naturel tel que 1 $\leq$ k $\leq$ 3 :
A l'instant 0, la puce est en A, ainsi on a :
a₁ = 0 b₁ = $\frac{1}{3}$ c₁ = $\frac{2}{3}$
Pour la suite, aidons nous d'un arbre pondéré :

bac S 2005 session de remplacement polynésie française : image 2

Ainsi :
$a_2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\\ b_2 = 0\\ c_2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$
et
$a_3 = 0\\ b_3 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}\\ c_3 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{17}{18}$

2. a)
Montrons que, pour tout entier naturel n, $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a_{n+1} & \frac12 b_n \\ b_{n+1} & \frac13 a_n \\ \end{array} \right.$ :
Soit n un entier naturel.
Soit à l'instant n, la puce est sur la case A (avec la probabilité a_n, alors elle saute à l'instant n + 1 sur la case B avec une probabilité $\frac{1}{3}$ , ou sur la case C avec une probabilité $\frac{2}{3}$ . Ainsi :
P_{A_n}(A_n+1) = 0 , P_{A_n}(B_n+1) = $\frac13$ P_{A_n}(C_n+1) = $\frac23$
Soit à l'instant n, la puce est sur la case B (avec la probabilité b_n), alors elle saute à l'instant n + 1 sur la case A avec une probabilité $\frac{1}{2}$ , ou sur la case C avec une probabilité $\frac{1}{2}$ . Ainsi :
P_{B_n}(A_n+1) = $\frac12$ P_{B_n}(B_n+1) = 0 P_{B_n}(C_n+1) = $\frac{1}{2}$
Soit à l'instant n, la puce est sur la case C (avec la probabilité c_n), alors elle reste sur la case C. Ainsi :
P_{C_n}(A_n+1) = 0 P_{C_n}(B_n+1) = 0 P_{C_n}(C_n+1) = 1
D'où :
$a_{n+1} = P(A_{n+1}) = P(A_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\ a_{n+1} = P((A_{n+1} \cap A_n) \cup (A_{n+1} \cap B_n) \cup (A_{n+1} \cap C_n))\\ a_{n+1} = P(A_n) P_{A_n}(A_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(A_{n+1}) + P(C_n) P_{C_n}(A_{n+1})\\ a_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$

$b_{n+1} = P(B_{n+1}) = P(B_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\ b_{n+1} = P((B_{n+1} \cap A_n) \cup (B_{n+1} \cap B_n) \cup (B_{n+1} \cap C_n))\\ b_{n+1} = P(A_n) P_{A_n}(B_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(B_{n+1}) + P(C_n) P_{C_n}(B_{n+1})\\ b_{n+1} = \frac{1}{3}a_n$

$c_{n+1} = P(C_{n+1}) = P(C_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\ c_{n+1} = P((C_{n+1} \cap A_n) \cup (C_{n+1} \cap B_n) \cup (C_{n+1} \cap C_n))\\ c_{n+1}= P(A_n) P_{A_n}(C_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(C_{n+1}) + P(C_n)P_{C_n}(C_{n+1})\\ c_{n+1}= \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2}b_n + c_n$
Et par suite, nous avons : pour tout entier naturel n, $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a_{n+1} & \frac12 b_n \\ b_{n+1} & \frac13 a_n \\ \end{array} \right.$ .

Montrons que, pour tout entier naturel n, a_n + b_n + c_n = 1 :
Montrons par un raisonnement par récurrence sur n $\ge$ 0 que a_n + b_n + c_n = 1.
Pour n = 0 :
a₀ + b₀ + c₀ = 1
Ainsi, la propriété est démontrée pour n = 0.

On suppose que pour un n donné, on a : a_n + b_n + c_n = 1.
a_n+1 + b_n+1 + c_n+1 = $\frac{1}{2}b_n + \frac{1}{3}a_n + \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2}b_n + c_n = a_n + b_n + c_n$
D'après l'hypothèse de récurrence, nous avons : a_n + b_n + c_n = 1.
Par suite : a_n+1 + b_n+1 + c_n+1 = 1.
Autrement dit, pour tout entier naturel n, nous avons bien : a_n + b_n + c_n = 1.

2. b) Montrons que, pour tout entier naturel n, a_n+2 = $\frac16$ a_n :
Pour tout entier naturel n, nous avons $\lbrace a_{n+1} = \frac{1}{2} b_n\\ b_{n+1} = \frac{1}{3} a_n$ .
Soit n un entier naturel.
$a_{n+2} = \frac{1}{2} b_{n+1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}a_n = \frac{1}{6}a_n$

2. c) Déduisons-en que, pour tout entier naturel p, $\left\lbrace \begin{array}{lcl} a_{2p} = \left(\frac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0\\ b_{2p} = 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \frac13\left(\frac16\right)^p\\ \end{array}$ :
Montrons par un raisonnement par récurrence sur p $\ge$ 0, que : $a_{2p} = \left(\frac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0$ :
Pour p = 0 :
a₀ = 1 a₁ = 0 b₀ = 0 b₁ = $\frac{1}{3}$
Ainsi pour p = 0, la propriété est démontrée.

Supposons par récurrence que pour un entier naturel p donné, nous avons : $a_{2p} = \left(\frac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0$
Et montrons que : $a_{2p+2} = \left(\frac{1}{6}\right)^{p+1} \text{ et } a_{2p+3} = 0$
D'après précédemment :
$a_{2p+2} = \frac{1}{6}a_{2p} \text{ et } a_{2p+3} = \frac{1}{6}a_{2p+1}$
Par hypothèse de récurrence, nous avons : $a_{2p+2} = \frac{1}{6} \times \left(\frac{1}{6}\right)^p = \left(\frac{1}{6}\right)^{p+1}$
Et $a_{2p+3} = \frac{1}{6} a_{2p+1} = 0$
Ainsi pour tout entier naturel p, nous avons : $a_{2p} = \left(\frac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0$

On a : b₀ = 0 et b₁ = $\frac{1}{3}$
Soit p un entier naturel non nul.
D'après la question 2.a), nous avons :
$b_{2p} = \frac{1}{3} a_{2p-1} = 0\\ b_{2p+1} = \frac{1}{3} a_{2p} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^p$
Ainsi pour tout entier naturel p, on a : $\left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \begin{array}{lcl}a_{2p} & \left(\frac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0 \\ b_{2p} & 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \frac13\left(\frac16\right)^p\\\end{array} \\ \end{array} \right.$

3. Montrons que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_{n} = 0$ :
$\displaystyle \lim_{p \to +\infty} \; a_{2p} = \displaystyle \lim_{p \to +\infty} \; \left(\frac{1}{6}\right)^p = 0$ car $0 < \frac16 < 1$
Et $\displaystyle \lim_{p \to +\infty} \; a_{2p+1} = 0$
Ainsi $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; a_n = 0$

Comme pour tout entier naturel n, $b_n = \frac{1}{3}a_n$ et que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; a_n = 0$ ,
alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; b_n = 0$

Déterminons la limite de c_n lorsque n tend vers $+\infty$ :
Comme pour tout entier naturel n, nous avons a_n + b_n + c_n = 1,
Et que $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \; a_n & 0 \\ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; b_n & 0 \\ \end{array} \right.$
Alors : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \; c_n = 1$

exercice 2

1. Montrons que $\mathscr{H}$ est la réunion de deux courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ :
Soit M un point de coordonnées ( $x$ ; y) appartenant à la courbe $\mathscr{C}$ . Ainsi les réels $x$ et y (y positif) vérifient : $y = \sqrt{x^2 + 16}$
Autrement dit, $\lbrace y \ge 0\\ y^2 - x^2 = 16$
Et par suite, le point M appartient à la courbe $\mathscr{H}$ . Donc $\mathscr{C} \subset \mathscr{H}$ .
Soit la courbe $\mathscr{C}'$ l'image de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la symétrie axiale d'axe l'axe des abscisses.
Ainsi l'équation de $\mathscr{C}'$ est $y = -\sqrt{x^2+16}$ .
Soit M un point de coordonnées ( $x$ ; y) appartenant à la courbe $\mathscr{C}'$ . Ainsi les réels $x$ et y (y positif) vérifient : $y = -\sqrt{x^2+16}$
Autrement dit, $\lbrace y \le 0\\y^2 - x^2 = 16$
Et par suite, le point M appartient à la courbe $\mathscr{H}$ . Donc $\mathscr{C}' \subset \mathscr{H}$ .
De ce fait : $\mathscr{C} \cup \mathscr{C}' \subset \mathscr{H}$

Montrons que : $\mathscr{H} \subset \mathscr{C} \cup \mathscr{C}'$
Soit M un point de coordonnées ( $x$ ; y) appartenant à la courbe $\mathscr{H}$ . Ainsi les réels $x$ et y vérifient : $y^2 - x^2 = 16$
C'est-à-dire : $|y| = \sqrt{x^2+16}$
Par suite, soit : $\lbrace y \le 0\\ y = -\sqrt{x^2+16}$ , soit $\lbrace y \ge 0\\ y = \sqrt{x^2+16}$
Dans le premier cas, cela signifie que le point M appartient à la courbe $\mathscr{C}$ .
Dans le deuxième cas, cela signifie que le point M appartient à la courbe $\mathscr{C}'$ .

2. a) Etudions la fonction $f$ :
$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ .
$f$ est la composée des fonctions carré et racine carrée.
Comme en - $\infty$ , la fonction carré tend vers + $\infty$ et en - $\infty$ , la fonction racine carrée tend vers + $\infty$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \; f(x) = +\infty$
Comme en $+\infty$ , les fonctions carré et racine carrée tendent vers + $\infty$ , alors : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; f(x) = +\infty$
$f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}$
$f'(x) = 0$ revient à $x$ = 0
$f'(x) < 0$ revient à $x$ < 0
$f'(x) > 0$ revient à $x$ > 0
D'où :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & \; & 0 & \; & +\infty \\ \hline f'(x) & \; & - & 0 & + & \; \\ \hline \; & +\infty & \; & \; & \; & +\infty \\ f & \; & \searrow & \; & \nearrow & \; \\ \; & \; & \; & 4 & \; & \; \\ \hline \end{array}$

2. b) Montrons que la droite d'équation $y = x$ est une asymptote de $\mathscr{C}$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \frac{\sqrt{1 + \frac{16}{x^2}}}{1} = 1$
(Remarque : on factorise par $x^2$ dans la racine carrée, pour simplifier avec le dénominateur).
Ainsi la courbe $\mathscr{C}$ admet une asymptote de pente 1 en + $\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \left[f(x) - x\right] = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \left(\sqrt{x^2 + 16} - x\right) \\ \hspace{100pt} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; \frac{(\sqrt{x^2 + 16} - x)(\sqrt{x^2 + 16} + x)}{\sqrt{x^2 + 16} + x} \\ \hspace{100pt} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+16-x^2}{\sqrt{x^2+16}+x} \\ \hspace{100pt} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \; \frac{16}{\sqrt{x^2 + 16} + x} = 0$
Ainsi la droite d'équation y = $x$ est une asymptote à la courbe $\mathscr{C}$ .

2. c) Traçons $\mathscr{H}$ dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ :

bac S 2005 session de remplacement polynésie française : image 4

2. d) Hachurons le domaine $\mathscr{D}$ et exprimons l'aire de $\mathscr{D}$ à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer :
cf. graphique (hachures vertes)
L'aire de $\mathscr{D}$ est : $\displaystyle \int_{-3}^3 \; \left[5 - f(x)\right] \text{d}x$ .

Partie B

1. a) Donnons l'écriture complexe de r :
On note M' d'affixe z' l'image du point M d'affixe z par la rotation r.
L'écriture complexe de r est $z' = ze^{-i\frac{\pi}{4}}$

1. b) Vérifions que $\left\lbrace \begin{array}{lcl} x' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y)\\ y' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(-x + y)\\ \end{array}$ et déterminons les coordonnées des points A' et B':
$z' = ze^{-i \frac{\pi}{4}}\\ z' = (x + iy)\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ z' = (x + y)\frac{1}{\sqrt{2}} + i (-x +y)\frac{1}{\sqrt{2}}$
d'où :
$\normalsize \left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \begin{array}{lcl}x' & & & \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y) \\ y' & & & \frac{1}{\sqrt{2}}(-x + y)\\\end{array} \\ \end{array} \right.$
Les points A et B ont pour coordonnées respectives : (-3 ; 5) et (3 ; 5).
Ainsi les points images A' et B' ont pour coordonnées respectives $(\sqrt{2}\; ; \; 4\sqrt{2}) \text{ et } (4\sqrt{2} \; ; \; \sqrt{2})$ .

2. a) Traçons $\mathscr{H}'$ dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ :
cf graphique
L'hyperbole $\mathscr{H}'$ a pour équation y = $\frac{8}{x}$

2. b) Montrons que $\mathscr{H}'$ est l'image de $\mathscr{H}$ par la rotation r :
Soit M un point de coordonnées ( $x$ ; y) appartenant à la courbe $\mathscr{H}$ . Ainsi les réels $x$ et y vérifient : $y^2 - x^2 = 16$
Le point M', image du point M par la rotation r a pour coordonnées ( $x'$ ; y'). Ces coordonnées vérifient :
$\left\lbrace \begin{array}{lcl} x' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y)\\y' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(-x + y)\\ \end{array}$
D'où :

Ainsi le point M', image du point M appartient à la courbe $\mathscr{H}'$ .
Comme nous avons affaire à une transformation (application bijective), si nous avons un point M', image d'un point M par la rotation r et que M' appartient à $\mathscr{H}'$ , alors le point M appartient à la courbe $\mathscr{H}$ .
Ainsi la courbe $\mathscr{H}'$ est l'image de la courbe $\mathscr{H}$ par la rotation r.

3. a) Hachurons $\mathscr{D}'$ :
cf graphique
Les hachures rouges correspondent à l'ensemble $\mathscr{D}'$ .

3. b) Calculons l'aire de $\mathscr{D}'$ :
$\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{4\sqrt{2}} \left(5\sqrt{2} - x - \frac{8}{x}\right) \text{d}x = \left[5\sqrt{2}x - \frac{x^2}{2} - \8ln(x)\right]_{\sqrt{2}}^{4\sqrt{2}} \\ \hspace{70pt} = 5\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} - \frac{16 \times 2}{2} - 8\ln(4\sqrt{2}) - 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} + \frac22 + 8\ln(\sqrt{2})\\ \hspace{70pt} = 40 - 16 - 8\ln(4\sqrt{2} - 10 + 1 + 8\ln (\sqrt{2}) \\ \hspace{70pt} = 15 - 8\ln 4 - 8\ln(\sqrt{2} + 8\ln(\sqrt{2})\\ \hspace{70pt} = 15 - 8\ln 4\\ \hspace{70pt} \approx 3,910$
L'aire de l'ensemble $\mathscr{D}'$ est à peu près égale à 3,910 cm².
Comme les rotations conservent les aires, l'aire de l'ensemble $\mathscr{D}$ est à peu près égale à 3,910 cm².

exercice 3

1. Réponse : b)
Pour information : MA² = 3
Et $MA^2 = |z_M - z_A|^2 = |z + 2 - 5i|^2 = 3$ .

2. Réponse : c)
Pour information : les vecteurs $\overrightarrow{\text{BM}} \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}}$ ont pour affixe respective z - b et c - a.
Comme $\frac{z - b}{c - a}$ est un imaginaire pur, cela signifie que les vecteurs $\overrightarrow{\text{BM}} \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}}$ sont orthogonaux.
(l'angle ( $\overrightarrow{\text{AC}}\;;\;\overrightarrow{\text{BM}}$ ) a pour mesure un argument de $\frac{z - b}{c - a}$ et l'argument d'un imaginaire pur est $\frac{\pi}{2} \left(\pi\right))$ .
Donc : les vecteurs $\overrightarrow{\text{BM}} \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}}$ et $\overrightarrow{\text{AB}} \text{ et } \overrightarrow{\text{CM}}$ d'autre part sont orthogonaux, ce qui signifie que les droites (BM) et (AC) d'une part et (AB) et (CM) d'autre part sont perpendiculaires.
Le point M appartient donc à la hauteur issue de B et à la hauteur issue de B : le point M est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Réponse a)
Pour information : soit I le milieu du segment [AB]. I a pour affixe 3 + 2,5i.
Comme G est l'isobarycentre des points A, B et C, alors on a :
$\overrightarrow{\text{CG}} = \frac{2}{3} \overrightarrow{\text{CI}}$
Autrement dit :
$\overrightarrow{\text{IG}} = \frac{1}{3} \overrightarrow{IC}$
D'où : $\text{IG} = \frac{1}{3} \text{IC} = \frac{1}{3} \frac{\text{AB}}{2} = \frac{\text{AB}}{6}$
Or IG = |z_G - 3 - 2,5i| et AB = |4 + 3i| = 5, donc |z_G - 3 - 2,5i| = $\frac56$ .

exercice 4

1. a) Montrons que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0; + $\infty$ [, $-\text{e}^{-x} \leq f(x) \leq \text{e}^{-x}$ :
Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0; + $\infty$ [, nous avons : $-1 \le \cos(4x) \leq 1$
Ainsi comme pour tout réel $x$ , $e^{-x} \ge 0$ : $-e^{-x} \le f(x) \leq e^{-x}$

1. b) Déduisons-en la limite de $f$ en + $\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; e^{-x} = 0$
D'après le théorème des encadrements, nous avons : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \; f(x) = 0$

2. Déterminons les coordonnées des points communs aux courbes $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ :
Cherchons, si elles existent, les solutions de l'équation : $e^{-x} \cos(4x) = e^{-x}$
(On suppose donc qu'il existe $x$ un réel solution).
C'est-à-dire :
$e^{-x}(\cos(4x) - 1) = 0$
Or pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; + $\infty$ [, $e^{-x} > 0$
Donc :
$\cos(4x) - 1 = 0\\ \cos(4x) = 1$
Il existe un entier naturel k (car $x$ est positif) tel que : 4 $x$ = 2k $\pi$
Conclusion :
Pour tout entier naturel k, le réel $\frac{k\pi}{2}$ est solution de l'équation $e^{-x} \cos(4x) = e^{-x}$
Les points d'intersection de $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ sont les points d'abscisse $\frac{k\pi}{2}$ et d'ordonnée $e^{-\frac{k\pi}{2}}$ avec k un entier naturel.

3. a) Montrons que la suite (u_n) est une suite géométrique :
Pour tout un entier naturel n, on a : $u_n = e^{- n\frac{\pi}{2}} \cos(4 n\frac{\pi}{2}) = e^{- n \frac{\pi}{2}}$
Ainsi pour tout entier naturel n, on a : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = e^{-\frac{\pi}{2}}$
Et par suite, la suite (u_n) est une suite géométrique de raison $e^{-\frac{\pi}{2}}$ .

3. b) Déduisons-en le sens de variation de la suite (u_n) :
Pour tout entier naturel n, on a : $u_n = u_0\left(e^{-\frac{\pi}{2}}\right)^{n} = \left(e^{-\frac{\pi}{2}}\right)^{n}$
Or $e^{-\frac{\pi}{2}} < 1$
Donc la suite (u_n) est décroissante.

Etudions la convergence de la suite (u_n) :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(e^{-\frac{\pi}{2}}\right)^{n} = 0$
Alors la suite (u_n) converge vers 0.

4. a) Montrons que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0; + $\infty$ [, $f'(x) = -\text{e}^{-x} \left[\cos (4x) + 4 \sin (4x)\right]$ :
Les fonctions exponentielles et cosinus sont dérivables sur l'intervalle [0; + $\infty$ [. Ainsi pour tout réel $x$ positif :
$f'(x) = -e^{-x}\cos(4x) - 4e^{-x} \sin(4x) = -e^{-x}(\cos(4x) + 4\sin(4x))$

4. b) Déduisons-en que les courbes $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ ont même tangente en chacun de leurs points communs :
Soit n un entier naturel, $\cos(4\frac{n\pi}{2}) = 1$ et $\sin(4\frac{n\pi}{2}) = 0$
$f'(\frac{n\pi}{2}) = -e^{-\frac{n\pi}{2}} = g'(\frac{n\pi}{2})$
De ce fait, $\Gamma$ et $(\mathscr{C})$ ont même tangente en chacun de leurs points communs (les pentes des tangentes sont égales en chacun des points communs).

5. Donnons une valeur approchée à 10^-1 près par excès du coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ :
$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -e^{-\frac{\pi}{2}} \approx -0,2$
Le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ est -0,2.

Complétons le graphique donné en annexe, en y traçant $\mathscr{T}$ et $\mathscr{C}$ :

bac S 2005 session de remplacement polynésie française : image 3

Publié par Cel/Muriel le 17-05-2016

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