Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Métropole - Session 2005

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L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officel de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures
8 points

exercice

Suite à la canicule d'août 2003, le Ministre de la Santé, des Affaires Sociales et des Personnes Handicapées a demandé à l'INSERM de déterminer de façon précise l'ampleur et les causes principales de l'augmentation de la mortalité sur cette période.
Le tableau suivant, extrait du rapport de l'INSERM, précise la répartition des décès par âge et par sexe pendant la période du 1er au 20 août 2003 dans toute la France métropolitaine.

  Femmes Hommes Total
Moins de 44 ans 538 1 310 1 848
Entre 45 et 74 ans 3 896 7 345 11 241
Plus de 75 ans 18 018 10 514 28 532
Total 22 452 19 169 41 621


1. Sachant que le nombre de décès pour la même période de l'année 2002 était de 12 946 pour les femmes et de 13 877 pour les hommes, déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre de décès pour les femmes puis pour les hommes (arrondir le résultat à l'entier le plus proche).

Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à 0,001 près.

2. On choisit au hasard une personne décédée pendant la période du 1er au 20 août 2003.
On considère les événements suivants :
A : "La personne est une femme";
B : "La personne a plus de 75 ans".

    a) Calculer la probabilité de chacun des événements A et B.
    b) Définir par une phrase l'événement \bar{\text{B}} puis calculer sa probabilité.
    c) Définir par une phrase l'événement \text{A} \cap \bar{\text{B}} puis calculer sa probabilité.
    d) Calculer la probabilité de l'événement \text{A} \cup \bar{\text{B}}.

3. On choisit au hasard une personne décédée pendant la période du 1er au 20 août 2003 et âgée de plus de 75 ans. Calculer la probabilité pour que cette personne soit un homme.


12 points

probleme

Partie A : Etude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 10] par : f(t) = -0,43t + 1 + 2,15 \ln(t + 1)

1. Montrer que la dérivée f' de la fonction f est définie par l'égalité suivante : f'(t) = \dfrac{-0,43t + 1,72}{t + 1}

2. a) Calculer les valeurs exactes de f(0) et f(4).
    b) Etudier le signe de f'(t).
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 10].

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira à 10-2 près) :
t 0 1 2 3 4 6 8 10
f(t)   2,06       2,6   1,86


4. Construire la courbe \mathscr{C} représentative de la fonction f dans un plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses;
5 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.

Partie B : Contrôle du taux de lactate dans le sang

Lors d'un exercice physique d'une durée de 10 min, on a mesuré la concentration (en mmol.L-1) de lactate sanguin d'un patient. On suppose que cette concentration au temps t (exprimé en minutes) est f(t) où f est la fonction étudiée à la partie A.

1. a) A quel moment la concentration de lactate est-elle maximum ? Justifier.
    b) Quelle est alors cette concentration ?

Les questions suivantes sont traitées graphiquement et l'on fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique.
2. Quel est le taux de lactate au bout de 5 min ?
3. Au bout d'une minute, le taux de lactate est très voisin de 2. Au bout de combien de temps le taux de lactate atteint-il à nouveau cette valeur ?
4. Dans quel intervalle de temps le taux de lactate est-il supérieur à 2,5 ?








exercice

1. Déterminons le pourcentage d'augmentation du nombre de décès pour les femmes puis pour les hommes :
Le nombre de décès pour l'année 2003 est de 22 452 pour les femmes et 19 169 pour les hommes.
Le pourcentage d'augmentation du nombre de décès pour les femmes est donc : \dfrac{22\hspace{1pt}452 - 12\hspace{1pt}946}{12\hspace{1pt}946} \times 100 \approx 73 , soit environ 73%.
Le pourcentage d'augmentation du nombre de décès pour les hommes est : \dfrac{19169 - 13877}{13877} \times 100 \approx 38, soit environ 38%.

2. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie.
2. a) Calculons la probabilité de chacun des événements A et B :
P(A) est la probabilité pour que la personne décédée soit une femme. On a donc P(A) = \dfrac{22\hspace{1pt}452}{41\hspace{1pt}621} \approx 0,539
P(B) est la probabilité pour la personne décédée ait plus de 75 ans. On a donc P(B) = \dfrac{28\hspace{1pt}532}{41\hspace{1pt}621} \approx 0,686

2. b) Définissons par une phrase l'événement \bar{\text{B}} puis calculons sa probabilité :
L'événement \bar{\text{B}} correspond à " la personne a moins de 75 ans ".
On peut calculer la probabilité de cet événement de deux façons différentes :
P(B) + P(\bar{\text{B}}) = 1, donc P(\bar{\text{B}}) = 1 - P(B).
On trouve alors \text{P}(\bar{\text{B}}) \approx 1 - 0,685 = 0,314
ou
On peut calculer le nombre de personnes de moins de 75 ans : 41 621 - 28 532 = 13 089 personnes.
On a donc \text{P}(\bar{\text{B}}) = \dfrac{13\hspace{1pt}089}{41\hspace{1pt}621} \approx 0,314

2. c) Définissons par une phrase l'événement \text{A }\cap \bar{\text{B}} puis calculons sa probabilité :
L'événement \text{A} \cap \bar{\text{B}} correspond à " la personne est une femme ET elle a moins de 75 ans ".
Calculons d'abord le nombre de femmes décédées de moins de 75 ans : 22 452 - 18 018 = 4 434 personnes. On a donc :
\text{P}(\text{A} \cap \bar{\text{B}}) = \dfrac{4\hspace{1pt}434}{41\hspace{1pt}621} \approx 0,106

2. d) Calculons la probabilité de l'événement \text{A} \cup \bar{\text{B}} :
\text{P}(\text{A} \cup \bar{\text{B}}) = \text{P}(\text{A}) + \text{P}(\bar{\text{B}}) - \text{P}(\text{A} \cap \bar{\text{B}})\\ \text{P}(\text{A} \cup \bar{\text{B}}) \approx 0,539 + 0,314 - 0,106\\ \text{P}(\text{A} \cup \bar{\text{B}}) = 0,747

3. Calculons la probabilité pour que cette personne soit un homme :
On cherche la probabilité de l'événement "la personne est un homme" sachant que la personne a plus de 75 ans. On cherche donc \text{P}_{\text{B}}(\bar{\text{A}}).
Le nombre de personnes décédées de plus de 75 ans est 28532. Le nombre d'hommes décédés de plus de 75 ans est 10514.
D'où : \text{P}_{\text{B}}(\bar{\text{A}}) = \dfrac{10\hspace{1pt}514}{28\hspace{1pt}532} \approx 0,368




probleme

Partie A : Etude d'une fonction

1. Montrons que la dérivée f' de la fonction f est définie par l'égalité suivante : f'(t) = \dfrac{-0,43t + 1,72}{t + 1} :
f est dérivable sur [0 ; 10] et pour tout réel t de [0 ; 10], on a :
f'(t) = -0,43 + 0 + 2,15 \times \dfrac{1}{t+1}
On réduit au même dénoominateur :
f'(t) = \dfrac{-0,43 \times (t+1)}{t+1} + \dfrac{2,15}{t+1}\\ f'(t) = \dfrac{-0,43t - 0,43 + 2,15}{t+1} \\ f'(t) = \dfrac{-0,43t + 1,72}{t+1}

2. a) Calculons les valeurs exactes de f(0) et f(4) :
f(0) = -0,43 × 0 + 1 + 2,15 × ln(0 + 1) = 1 + 2,15 ln(1) = 1 + 2,15 × 0 = 1
et
f(4) = -0,43 × 4 + 1 + 2,14 ln(4 + 1) = -1,72 + 1 + 2,14 ln(5) = -0,72 + 2,14 ln(5)

2. b) Etudions le signe de f'(t) :
Pour tout nombre réel t de [0 ; 10], t + 1 > 0
Donc f'(t) est du signe de -0,43t + 1,72.
-0,43t + 1,72 = 0 \Longleftrightarrow t = \dfrac{1,72}{0,43} \Longleftrightarrow t = 4
D'où :
f'(t) \geq 0 \text{ si } 0 \leq t \leq 4 \\ \text{et } f'(t) \leq 0 \text{ si } 4 \leq t \leq 10

2. c) Dressons le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 10] :
De la question précédente, on en déduit que f est croissante sur [0 ; 4] et décroissante sur [4 ; 10].
\begin{array}{|c|lcccr|} \hline  t&0&&4&&10 \\ \hline  f'(t)&&+&0&-& \\ \hline  \; &&&-0,72 + 2,15\ln 5&& \\ f(t)&&\nearrow&&\searrow& \\ \; &1&&&&-3,3 + 2,15 \ln 11 \\ \hline  \end{array}

3. Complétons la tableau de valeurs suivant :
t 0 1 2 3 4 6 8 10
f(t) 1 2,06 2,50 2,69 2,74 2,6 2,28 1,86


4. Construisons la courbe \mathscr{C} représentative de la fonction f dans un plan muni d'un repère orthogonal :
sujet national du bac SMS 2005 : image 1


Partie B : Contrôle du taux de lactate dans le sang

1. a) Détermions à quel moment la concentration de lactate est maximum :
D'après la question A. 2., on sait que f est croissante sur [0 ; 4] et décroissante sur [4 ; 10].
La fonction f admet donc un maximum en t = 4.
D'où : la concentration de lactate est maximum pour t = 4 minutes.

1. b) Déterminons cette concentration :
f(t) représente la concentration à l'instant t.
A t = 4 minutes, la concentration est donc égale à f(4) \approx 2,74 mmol.L-1

2. Déterminons graphiquement le taux de lactate au bout de 5 min :
Au bout de 5 minutes, on peut voir que la concentration vaut environ 2,7 mmol.L-1 (cf pointillés verts).

3. Déterminons graphiquement au bout de combien de temps le taux de lactate a atteint à nouveau la valeur 2:
Le taux de lactate est égal de nouveau à 2 mmol.L-1 à environ 9,3 minutes (cf pointillés bleus).

4. Déterminons graphiquement dans quel intervalle de temps le taux de lactate est supérieur à 2,5 :
Le taux est au-dessus de 2,5 mmol.L-1 entre t = 2 minutes et t \approx 6,7 minutes. L'intervalle est donc [2 ; 6,7] (cf pointillés rouges).
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