Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie électronique - Génie électrotechnique - Génie optique
Métropole - Session Juin 2005

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L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4     Durée : 4 heures
5 points

exercice 1

1. Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.
On considère P(z) = z^3 - 4z^2 + 6z - 4z est un nombre complexe.
    a) Calculer P(2).
    b) Déterminer les nombres réels a, b \text{ et } c tels que P(z) = (z - 2)(az^2 + bz + c).
    c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes \mathbb{C} l'équation P(z) = 0.

2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O; \vec{u}, \vec{v}) d'unité 5 cm.
    a) Placer les points A, B et C d'affixes respectives zA = 2, zB = 1 + i, zC = 1 - i.
    b) Déterminer le module et un argument de zA, zB et zC.
    c) Montrer que C est l'image de B par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
    d) Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC].
    e) Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse.


4 points

exercice 2

1. On considère la fonction f définie sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par f(x) = 3x - 1 + \dfrac{1}{e^{2x}}.
    a) Montrer que la fonction dérivée f' est telle que f'(x) = \dfrac{3e^{2x} - 2}{e^{2x}}.
    b) Résoudre l'équation f'(x) = 0, puis justifier l'existence d'un minimum et en donner la valeur exacte.
    c) Dresser le tableau de variation de f (les limites en -\infty et en +\infty ne sont pas demandées).

2. On considère l'équation différentielle (E) : y' + 2y = 6x + 1y est une fonction de la variable réelle x et y' sa dérivée.
    a) Résoudre l'équation différentielle y' + 2y = 0.
    b) Démontrer que la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) = 3x - 1 est solution de l'équation (E).
    c) Vérifier que la fonction f est solution de (E) et que f(0) = 0.


11 points

probleme

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

On donne dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; \vec{i}, \vec{j}) la représentation graphique \Gamma d'une fonction g, définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle ]0; +\infty[.
La droite T passant par O et A(1 ; 1) est tangente en A à la courbe \Gamma.
La courbe \Gamma admet pour asymptote verticale l'axe des ordonnées.

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2005 : image 1


1. Déterminer graphiquement :
    a) \displaystyle \lim_{x \to 0} g(x)
    b) g(1)
    c) g'(1)

2. On admet que, pour tout réel de l'intervalle ]0; + \infty[, g(x) = \ln x + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^2}, où a et b sont deux nombres réels.
    a) Exprimer g(1) et g'(1) en fonction de a et b.
    b) Déterminer a et b en utilisant les résultats précédents.

3. On suppose que g est définie sur ]0; + \infty[ par g(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}
    a) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique \alpha dans l'intervalle [0,2; 0,8]; déterminer un encadrement de \alpha d'amplitude 0,01 et en déduire une valeur approchée de \alpha à 10-2 près par excès.
    b) En déduire, en utilisant le sens de variation de g, le signe g(x) sur ]0; +\infty[.

Partie B : Etude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +\infty[ par f(x) = e^x \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right).
On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; \vec{i}, \vec{j}).

1. a) Déterminer la limite de f en +\infty.
    b) Vérifier que l'on peut écrire, pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; +\infty[, f(x) = \dfrac{e^x}{x}(x \ln x + 1)
    c) En déduire la limite de f en 0 (on admettra que \displaystyle \lim_{x \to 0} x\ln x = 0).

2. a) Déterminer la fonction dérivée f' de la fonction f et vérifier que, pour tout réel x de l'intervalle ]0; +\infty[, f'(x) = g(x)e^x.
    b) En utilisant le signe de g obtenu précédemment, étudier le sens de la variation de f sur ]0 ; +\infty[.

3. a) Déterminer une équation de la tangente \Delta à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 1.
    b) Sur la feuille annexe jointe, on a représenté la courbe \mathcal{C}. Sur cette figure, tracer la droite \Delta.

Partie C : Calcul d'une aire

1. On note a un nombre réel tel que 0 < a < 1.
    a) Montrer que la fonction h, définie sur l'intervalle ]0 ; + \infty[ par h(x) = e^x \ln x est une primitive de la fonction f sur ] 0 ; +\infty[.
    b) En déduire que \displaystyle \int_a^1 f(x) dx = -e^a \ln a.

2. \mathcal{D} désigne la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe \mathcal{C} et les droites d'équations x = \dfrac12 et x = 1.
    a) Sur la feuille annexe, hachurer le domaine \mathcal{D}.
    b) Calculer la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de \mathcal{D}.

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2005 : image 2

Annexe







exercice 1

1. a) Calcul de P(2) :
P(2) = 2³ - 4 × 2² + 6 × 2 - 4
P(2) = 8 - 16 + 12 - 4
P(2) = 0
On en déduit que 2 est racine du polynôme P.

1. b) Déterminons les réels a, b et c :
Pour tout nombre complexe z,
P(z) = (z - 2)(az^2 + bz + c) = az^3 + bz^2 + cz - 2az^2 - 2bz - 2c\\ = az^3 + (b - 2a)z^2 + (c - 2b)z - 2c
Or, P(z) = z^3 - 4z^2 + 6z - 4. Donc par identification, on obtient :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a  &  1\\ b - 2a & -4 \\ c - 2b & 6 \\ -2c  &  -4 \\ \end{array} \right.
soit : \left \lbrace \begin{array}{l}  a  = 1\\b = -4 + 2a = -2  \\ c  =  2 \\ \end{array} \right.
D'où : pour tout nombre complexe z, \, P(z) = (z - 2)(z^2 - 2z + 2).

1. c) Résolution dans l'ensemble des nombres complexes de l'équation P(z) = 0 :
P(z) = 0 \text{ si et seulement si } (z - 2)(z^2 - 2z + 2) = 0\\ \hspace{50pt}\text{ si et seulement si } z - 2 = 0 \text{ ou } z^2 - 2z + 2 = 0\\ \hspace{50pt}\text{ si et seulement si } z = 2 \text{ ou } z^2 - 2z + 2 = 0

Résolvons dans l'ensemble des nombre complexes l'équation z^2 - 2z + 2 = 0 :
\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 2 = -4 = (2i)^2\\ \text{Donc : } z_1 = \dfrac{2 - 2i}{2} = 1 - i \hspace{25pt} \text{ et } \hspace{25pt} z_2 = \dfrac{2 + 2i}{2} = 1 + i

D'où : les solutions de l'équation P(z) = 0 sont : 2; 1 - i et 1 + i.

2. a)
sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2005 : image 3


2. b) Module et argument de zA :
zA = 2, donc :
|zA| = 2 et arg zA = 0 (2\pi)

Module et argument de zB :
zB = 1 + i, donc :
|z_B| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} \arg z_B = \theta_B (2\pi), \text{avec } \cos \theta_B = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{ et } \sin \theta_B = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
D'où : arg z_B = \dfrac{\pi}{4} (2\pi)
On a alors : z_B = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}

Module et argument de zC :
zC = 1 - i = \bar{z_B}
Donc : |z_C| = \sqrt{2} \text{ et } \arg z_C = -\dfrac{\pi}{4} (2\pi)
On a alors : z_C = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}

2. c) Montrons que C est l'image de B par une rotation de centre O :
On a : |zB| = |zC|, donc OB = OC.
C est donc l'image de B par une rotation de centre O. Déterminons son angle \theta : on a :
z_C = e^{i\theta}z_B\\ \text{Donc : }\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} = e^{i\theta} \times \sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}\\ \text{Donc : } e^{-i\frac{\pi}{4}} = e^{i\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)}\\ \text{Donc : } -\dfrac{\pi}{4} = \theta + \dfrac{\pi}{4}\\ \text{Donc : } \theta = -\dfrac{\pi}{2}
D'où : C est l'image de B par la rotation de centre O et d'angle -\dfrac{\pi}{2}.

2. d) Affixe du point I :
I est le milieu du segment [OA], donc :
z_I = \dfrac{z_O + z_A}{2} = \dfrac{0 + 2}{2} = 1
D'où : zI = 1.

Affixe du point J :
J est le milieu du segment [BC], donc :
z_J = \dfrac{z_B + z_C}{2} = \dfrac{1 + i + 1 - i}{2} = 1
D'où : zJ = 1.

2. e) Nature du quadrilatère OBAC :
Comme zJ = zI = 1, alors les points I et J sont confondus.
Les segments [OA] et [BC] ont donc le même milieu.
Le quadrilatère OBAC est donc un parallélogramme.
De plus, OB = |z_B| = \sqrt{2} \text{ et } OC = |z_C| = \sqrt{2}. Le parallélogramme OBAC a donc deux côtés consécutifs de même longueur, donc c'est un losange.
Et on sait que C est l'image de B par la rotation de centre O et d'angle -\dfrac{\pi}{2}. Donc l'angle \widehat{BOC} est un angle droit.
On en conclut que le quadrilatère OBAC est un carré.




exercice 2

1. a) La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
f'(x) = 3 - \dfrac{2}{e^{2x}} = \dfrac{3e^{2x}}{e^{2x}}  - \dfrac{2}{e^{2x}}
Donc : pour tout x réel, f'(x) = \dfrac{3e^{2x} - 2}{e^{2x}}

1. b) Pour tout nombre réel x, e^{2x} > 0, donc :
f'(x) = 0 \text{ si et seulement si } 3e^{2x} - 2 = 0\\ \hspace{50pt}\text{ si et seulement si } 3e^{2x} = 2\\ \hspace{50pt}\text{ si et seulement si } e^{2x} = 2\\ \hspace{50pt}\text{ si et seulement si } 2x = \ln \dfrac23 \\ \hspace{50pt}\text{ si et seulement si } x = \dfrac12 \ln \dfrac23

On a :
f'(x) > 0 \text{ si et seulement si } 3e^{2x} - 2 > 0\\ 	\hspace{50pt}\text{ si et seulement si } e^{2x} > \dfrac23\\ 	\hspace{50pt}\text{ si et seulement si } 2x > \ln \dfrac23 \text{ car la fonction ln est strictement croissante sur } ]0; +\infty[\\ 	\hspace{50pt}\text{ si et seulement si } x > \dfrac12 \ln \dfrac23\\ 	\\ 	\text{et } f'(x) < 0 \text{ si et seulement si } x < \dfrac12 \ln \dfrac23

Donc :
f'(x) \geq 0 \text{ si } x \in \left[\dfrac12 \ln \dfrac23; +\infty\right[\\ 	\text{ et } f'(x) \leq 0 \text{ si } x \in \left]- \infty; \dfrac12 \ln \dfrac23\right]
f' s'annule pour x = \dfrac12 \ln \dfrac23 et change de signe donc f admet un extremum.

f est croissante sur \left[\dfrac12 \ln \dfrac23; +\infty\right[ et f est décroissante sur \left]- \infty; \dfrac12 \ln \dfrac23\right]
La fonction f admet donc un minimum en \dfrac12 \ln \dfrac23 et ce minimum vaut :
f\left(\dfrac12 \ln \dfrac23\right) = 3 \times \dfrac12 \ln \dfrac23 - 1 + \dfrac{1}{e^{2 \times \frac12 \ln \frac23}}\\ \hspace{50pt} = \dfrac32 \ln \dfrac23 - 1 + \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}\\ \hspace{50pt} = \dfrac32 \ln \dfrac23 - 1 + \dfrac32\\ \hspace{50pt}= \dfrac32 \ln \dfrac23 + \dfrac12

1. c) Tableau de variation de f :
\begin{array}{|c|lcccr|} \hline  x&-\infty&&\frac12 \ln \frac23&&+\infty\\ \hline  f'(x)&&-&0&+&\\ \hline  \hspace{1pt}&&&&&\\ f&&\searrow&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&&&\frac32 \ln \frac23 + \frac12&&\\ \hline \end{array}

2. a) Résolvons l'équation différentielle :
y' + 2y = 0
Les solutions de cette équation différentielle du premier ordre à coefficients constants sans second membre sont de la forme y(x) = k e^{-2x} = \dfrac{k}{e^{2x}}k est une constante réelle.

2. b) Démontrons que la fonction g est solution de l'équation (E) :
g(x) = 3x - 1
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et g'(x) = 3.
On a donc, pour tout nombre réel x,
g'(x) + 2g(x) = 3 + 2(3x - 1) = 3 + 6x - 2 = 6x + 1
D'où : la fonction g est solution de l'équation (E).

2. c) Vérifions que la fonction f est solution de (E) :
On a : f(x) = 3x - 1 + \dfrac{1}{e^{2x}} \text{ et } f'(x) = \dfrac{3e^{2x} - 2}{e^{2x}}
Donc :
f'(x) + 2f(x) = \dfrac{3e^{2x} - 2}{e^{2x}} + 2\left(3x - 1 + \dfrac{1}{e^{2x}}\right)\\ \hspace{50pt}= 3 - \dfrac{2}{e^{2x}} + 6x - 2 + \dfrac{2}{e^{2x}}\\ \hspace{50pt}= 6x + 1
Et f(x) = 3 \times 0 - 1 + \dfrac{1}{e^{2 \times 0}} = 0 - 1 + 1 = 0
D'où : la fonction f est solution de l'équation (E) et f(0) = 0.




probleme

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

Graphiquement :
1. a) \displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = -\infty
1. b) g(1) = 1
1. c) g'(1) = 1 (c'est le coefficient directeur de la tangente T)

2. a) Expression de g(1) :
g(x) = \ln x + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^2}
Donc : g(1) = \ln 1 + \dfrac{a}{1} + \dfrac{b}{1^2} = a + b

    Expression de g'(1) :
g'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{a}{x^2} - \dfrac{2b}{x^3}
Donc : g'(1) = \dfrac11 - \dfrac{a}{1^2} - \dfrac{2b}{1^3} = 1 - a - 2b.

2. b) Déterminons a et b :
On sait d'une part que g(1) = 1 et g'(1) = 1 et d'autre part que g(1) = a + b et g'(1) = 1 - a - 2b.
On en déduit alors le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a + b  &  1 \\ 1 - a - 2b  &  1 \\ \end{array} \right.
Ce qui équivaut à \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a + b  &  1 \\ a + 2b  &  0 \\ \end{array} \right.
Donc : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}  a  &  1 - b\\ 1 - b + 2b & 0 \end{array} \hspace{5pt}  \Longleftrightarrow \left \lbrace  \begin{array}{l} a = 1 - b\\b = -1\end{array} \right. \hspace{5pt}  \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l}a = 2 \\ b  =  -1\end{array} \right.
D'où : pour tout réel de l'intervalle ]0; +\infty[ \hspace{10pt} g(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}

3. a) On a vu que g'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{a}{x^2} - \dfrac{2b}{x^3}, c'est-à-dire g'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{2}{x^3}
Donc : g'(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x^3}
Pour tout réel x de l'intervalle ]0; +\infty[, \, x^3 > 0.
Donc sur ]0; +\infty[, \, g'(x) est du signe de x^2 - 2x + 2.
Etudions le signe de ce polynôme :
\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 2\\ \hspace{10pt} = 4 - 8 = -4 < 0
x^2 - 2x + 2 est donc toujours du même signe. Comme le coefficient de x^2 est strictement positif, alors x^2 - 2x + 2 > 0 pour tout réel de l'intervalle ]0; +\infty[.
Donc, pour tout réel de l'intervalle ]0; + \infty[,\, g'(x) > 0.
La fonction g est donc croissante sur ]0; +\infty[.

La fonction g est strictement croissante et continue sur [0,2; 0,8].
De plus, g(0,2) \approx -16,6 < 0 et g(0,8) \approx 0,7 > 0.
Il existe donc un unique réel \alpha de [0,2; 0,8] tel que g(\alpha) = 0
A l'aide de la calculatrice, on trouve : 0,59 < \alpha < 0,60.
D'où : \alpha = 0,60 à 10-2 près par excès.

3. b) Signe g(x) sur ]0; +\infty[ :
On en déduit donc que g(x) est négative sur ]0; \alpha] et que g(x) est positive sur [\alpha ; +\infty[.

Partie B : Etude d'une fonction

1. a) Limite de f en +\infty :
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\\  \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0 \end{array} \right \rbrace  \text{Donc, par addition, } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right) = +\infty
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty
Par multiplication, on en déduit que : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

1. b) Pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; +\infty[,
f(x) = e^x \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{e^x}{x}(x \ln x + 1) (en factorisant par \dfrac{1}{x})

1. c) Limite de f en 0 :
\displaystyle \lim_{x \to 0} x\ln x = 0 \text{ donc } \displaystyle \lim_{x \to 0} (x \ln x + 1) = 1
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 0} e^x = 1\\  \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty\\ \end{array} \right \rbrace \text{ donc, par multiplication, } \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{x} = +\infty
D'où : \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = +\infty

2. a) f est de la forme uv et (uv)' = u'v + uv', avec u(x) = e^x et v(x) = \ln x + \dfrac{1}{x}.
Donc : u'(x) = e^x et v'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2}.
Donc : pour tout réel de ]0; +\infty[,
f'(x) = e^x \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right) + e^x \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)\\ \hspace{30pt}= e^x \left(\ln x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)\\ \hspace{30pt}= g(x) e^x
D'où : pour tout réel de ]0; +\infty[, \, f'(x) = g(x) e^x.

2. b) Sens de la variation de f sur ]0 ; +\infty[ :
Pour tout réel de ]0; +\infty[, \, e^x > 0.
Donc : sur ]0 ; +\infty[, f'(x) est du signe de g(x).
Donc : f'(x) \leq 0 si x appartient à l'intervalle ]0; \alpha] et f'(x) \geq 0 si x appartient à l'intervalle [\alpha ; +\infty[.
D'où : la fonction f est décroissante sur ]0; \alpha] et f est croissante sur [\alpha ; +\infty[.

3. a) Equation de la tangente \Delta à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 1 :
Equation de la forme y = f'(1)(x - 1) + f(1).
Or, f'(1) = g(1)e^1 = \left(\ln 1 + \dfrac21 - \dfrac{1}{1^2}\right)e = e
et f(1) = e^1 \left(\ln 1 + \dfrac11\right) = e.
Donc : y = e(x - 1) + e = ex - e + e = ex
D'où : \Delta : y = ex

3. b) cf graphique

Partie C : Calcul d'une aire

1. a) h est de la forme uv et (uv)' = u'v + uv'
avec u(x) = e^x et v(x) = \ln x
Donc : u'(x) = e^x et v'(x) = \dfrac{1}{x}
Donc, pour tout réel de ]0 ; +\infty[, h'(x) = e^x \ln x + e^x \times \dfrac{1}{x} = e^x \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right) = f(x)
D'où : la fonction h est une primitive de la fonction f sur ]0 ; +\infty[.

1. b)
\displaystyle \int_a^1 f(x) dx = \left[h(x)\right]_a^1 = h(1) - h(a)\\ \hspace{10pt} = e^1 \ln 1 - e^a \ln a = -e^a \ln a.

2. a) cf graphique

2. b) L'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe \mathcal{C} et les droites d'équations x = \dfrac12 et x = 1 est donnée par : \displaystyle \int_{\frac12}^1 f(x) dx.
C'est l'intégrale précédente avec a = \dfrac12.
Donc :
\displaystyle \int_{\frac12}^1 f(x) dx = -e^{\frac12} \ln \dfrac12 = e^{\frac12} \ln 2
D'où : L'aire de \mathcal{D} est égale à e^{\frac12}\ln 2 u.a.

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