Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie électronique - Génie électrotechnique - Génie optique
Métropole - Session Juin 2005
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L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures
5 points
exercice 1
1. Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument .
On considère où est un nombre complexe.
a) Calculer .
b) Déterminer les nombres réels tels que .
c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation .
2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'unité 5 cm.
a) Placer les points A, B et C d'affixes respectives zA = 2, zB = 1 + i, zC = 1 - i.
b) Déterminer le module et un argument de zA, zB et zC.
c) Montrer que C est l'image de B par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
d) Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC].
e) Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse.
4 points
exercice 2
1. On considère la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par .
a) Montrer que la fonction dérivée est telle que .
b) Résoudre l'équation , puis justifier l'existence d'un minimum et en donner la valeur exacte.
c) Dresser le tableau de variation de (les limites en et en ne sont pas demandées).
2. On considère l'équation différentielle (E) : où est une fonction de la variable réelle et sa dérivée.
a) Résoudre l'équation différentielle .
b) Démontrer que la fonction définie sur par est solution de l'équation (E).
c) Vérifier que la fonction est solution de (E) et que .
11 points
probleme
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
On donne dans le plan muni d'un repère orthonormal la représentation graphique d'une fonction , définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle [.
La droite passant par O et A(1 ; 1) est tangente en A à la courbe .
La courbe admet pour asymptote verticale l'axe des ordonnées.
1. Déterminer graphiquement :
a) b) c)
2. On admet que, pour tout réel de l'intervalle , , où et sont deux nombres réels.
a) Exprimer et en fonction de et .
b) Déterminer et en utilisant les résultats précédents.
3. On suppose que est définie sur par a) Montrer que l'équation g admet une solution unique dans l'intervalle [0,2; 0,8]; déterminer un encadrement de d'amplitude 0,01 et en déduire une valeur approchée de à 10-2 près par excès.
b) En déduire, en utilisant le sens de variation de , le signe sur .
Partie B : Etude d'une fonction
Soit la fonction définie sur par .
On note la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal .
1. a) Déterminer la limite de en .
b) Vérifier que l'on peut écrire, pour tout appartenant à l'intervalle , c) En déduire la limite de en 0 (on admettra que ).
2. a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction et vérifier que, pour tout réel de l'intervalle , .
b) En utilisant le signe de obtenu précédemment, étudier le sens de la variation de sur .
3. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
b) Sur la feuille annexe jointe, on a représenté la courbe . Sur cette figure, tracer la droite .
Partie C : Calcul d'une aire
1. On note a un nombre réel tel que 0 < a < 1.
a) Montrer que la fonction , définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction sur .
b) En déduire que .
2. désigne la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations et .
a) Sur la feuille annexe, hachurer le domaine .
b) Calculer la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de .
1. a)Calcul de P(2) : P(2) = 2³ - 4 × 2² + 6 × 2 - 4
P(2) = 8 - 16 + 12 - 4
P(2) = 0
On en déduit que 2 est racine du polynôme P.
1. b)Déterminons les réels a, b et c : Pour tout nombre complexe ,
Or, . Donc par identification, on obtient :
soit : D'où : pour tout nombre complexe .
1. c)Résolution dans l'ensemble des nombres complexes de l'équation P(z) = 0 :
Résolvons dans l'ensemble des nombre complexes l'équation :
D'où : les solutions de l'équation P(z) = 0 sont : 2; 1 - i et 1 + i.
2. a)
2. b)Module et argument de zA : zA = 2, donc :
|zA| = 2 et arg zA = 0
Module et argument de zB : zB = 1 + i, donc :
D'où : On a alors :
Module et argument de zC : zC = 1 - i = Donc : On a alors :
2. c)Montrons que C est l'image de B par une rotation de centre O : On a : |zB| = |zC|, donc OB = OC.
C est donc l'image de B par une rotation de centre O. Déterminons son angle : on a :
D'où : C est l'image de B par la rotation de centre O et d'angle .
2. d)Affixe du point I : I est le milieu du segment [OA], donc :
D'où : zI = 1.
Affixe du point J : J est le milieu du segment [BC], donc :
D'où : zJ = 1.
2. e)Nature du quadrilatère OBAC : Comme zJ = zI = 1, alors les points I et J sont confondus.
Les segments [OA] et [BC] ont donc le même milieu.
Le quadrilatère OBAC est donc un parallélogramme.
De plus, . Le parallélogramme OBAC a donc deux côtés consécutifs de même longueur, donc c'est un losange.
Et on sait que C est l'image de B par la rotation de centre O et d'angle . Donc l'angle est un angle droit.
On en conclut que le quadrilatère OBAC est un carré.
exercice 2
1. a) La fonction est dérivable sur et on a :
Donc : pour tout réel,
1. b) Pour tout nombre réel , , donc :
On a :
Donc :
s'annule pour et change de signe donc admet un extremum.
est croissante sur et est décroissante sur La fonction admet donc un minimum en et ce minimum vaut :
1. c)Tableau de variation de :
2. a)Résolvons l'équation différentielle : Les solutions de cette équation différentielle du premier ordre à coefficients constants sans second membre sont de la forme où est une constante réelle.
2. b)Démontrons que la fonction est solution de l'équation (E) : La fonction est dérivable sur et .
On a donc, pour tout nombre réel ,
D'où : la fonction est solution de l'équation (E).
2. c)Vérifions que la fonction est solution de (E) : On a : Donc :
Et D'où : la fonction est solution de l'équation (E) et .
probleme
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
Graphiquement :
1. a) 1. b) 1. c) (c'est le coefficient directeur de la tangente )
2. a)Expression de : Donc :
Expression de : Donc : .
2. b)Déterminons a et b : On sait d'une part que et et d'autre part que et .
On en déduit alors le système suivant :
Ce qui équivaut à Donc : D'où : pour tout réel de l'intervalle
3. a) On a vu que , c'est-à-dire Donc : Pour tout réel de l'intervalle .
Donc sur est du signe de .
Etudions le signe de ce polynôme :
x^2 - 2x + 2 est donc toujours du même signe. Comme le coefficient de est strictement positif, alors pour tout réel de l'intervalle .
Donc, pour tout réel de l'intervalle La fonction est donc croissante sur .
La fonction est strictement croissante et continue sur [0,2; 0,8].
De plus, g(0,2) -16,6 < 0 et g(0,8) 0,7 > 0.
Il existe donc un unique réel de [0,2; 0,8] tel que A l'aide de la calculatrice, on trouve : 0,59 < < 0,60.
D'où : = 0,60 à 10-2 près par excès.
3. b)Signe sur : On en déduit donc que est négative sur ]0; ] et que est positive sur [[.
Partie B : Etude d'une fonction
1. a)Limite de en + : Par multiplication, on en déduit que :
1. b) Pour tout appartenant à l'intervalle ,
(en factorisant par )
1. c)Limite de en 0 : D'où :
2. a) est de la forme et , avec et .
Donc : et .
Donc : pour tout réel de ,
D'où : pour tout réel de .
2. b)Sens de la variation de sur : Pour tout réel de .
Donc : sur , est du signe de .
Donc : si appartient à l'intervalle ]0; ] et si appartient à l'intervalle [[.
D'où : la fonction est décroissante sur ]0; ] et est croissante sur [[.
3. a)Equation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 : Equation de la forme .
Or, et .
Donc : D'où : :
3. b) cf graphique
Partie C : Calcul d'une aire
1. a) est de la forme et avec et Donc : et Donc, pour tout réel de , D'où : la fonction est une primitive de la fonction sur .
1. b) .
2. a) cf graphique
2. b) L'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations et est donnée par : .
C'est l'intégrale précédente avec a = .
Donc :
D'où : L'aire de est égale à u.a.
Publié par Tom_Pascal
le
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