Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies Industrielles
Spécialité : Génie Mécanique (Option B : Systèmes Motorisés, Option C : Structures Métalliques, Option D : Bois et Matériaux Associés, Option E : Matériaux Souples - Génie des Matériaux)
Métropole - Session Juin 2005
Partager :
L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures
5 points
exercice 1
Tous les résultats demandés seront justifiés.
Soit le nombre complexe . On pose :
, où désigne le nombre complexe conjugué de z1,
.
1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z1, z2 et z3.
2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z2 et z3.
3. a) Montrer que .
b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z4.
c) Quelle est la forme algébrique de z4 ?
4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (Unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives et z1, z2, z3 et z4.
a) Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
b) Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
c) Calculer les distances AC et BD.
d) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
4 points
exercice 2
1. Résoudre l'équation différentielle : 9y'' + y = 0.
2. Déterminer la solution de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :
3. a) Montrer que, pour tout nombre réel , on peut écrire : .
b) Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation .
4. Calculer la valeur moyenne m de sur l'intervalle .
11 points
probleme
Soit la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x, par : .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (Unité graphique : 2 cm).
1. Comportement de en -.
a) Déterminer la limite de en -.
b) Démontrer que la droite d'équation y = - 2 est une asymptote oblique à la courbe .
c) Etudier les positions relatives de la courbe et de la droite .
2. Comportement de en +.
a) Montrer que, pour tout nombre réel différent de 0, on peut écrire : b) En déduire la limite de en +.
3. Etude des variations de :
a) Déterminer la fonction dérivée de et vérifier que l'on a pour tout nombre réel , b) Etudier le signe de , lorsque décrit l'ensemble des nombres réels.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction .
4. Tracer la droite et la courbe dans le repère .
5. Calcul d'une aire.
Soit un nombre réel strictement négatif.
a) Hachurer la partie du plan limitée par la courbe , la droite et les droites d'équations respectives et = 0.
b) Calculer, en fonction de et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie , que l'on notera A().
c) Dé terminer la limite de A() quand tend vers -. Interpréter le résultat obtenu.
1.Déterminons la forme algébrique des nombres complexes z1, z2 et z3 : Donc :
z2 = Donc :
z3 = -z1 Donc :
2.Déterminons le module et un argument des nombres complexes z2 et z3 : Pour z2 :
z2 = , donc :
|z2| = = |z1| = 3
et
Un argument de z2 est .
Pour z3 :
z3 = -z1, donc :
|z3| = |-z1| = |z1| = 3
et
Un argument de z3 est .
3. a)Montrons que :
3. b)Déduisons-en le module et un argument du nombre complexe z4 : Donc le module de z4 est égal à 3 et un argument de z4 est .
3. c)Déterminons la forme algébrique de z4 : Donc :
4. a)Montrons que les points A, B, C et D sont sur un même cercle : On a montré que |z1| = |z2| = |z3| = |z4| = 3.
Donc OA = OB = OC = OD = 3.
On en déduit que les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 3.
4. b)Construisons les points A, B, C et D : cf graphique
4. c)Calculons la distance AC : AC = |z3 - z1|
D'où : AC = 6.
4. d)Déterminons la nature du quadrilatère ABCD : Comme AC = BD et comme O est le milieu des segments [BD] et [AC], alors ABCD est un parallélogramme.
De plus,
Donc les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires.
On en déduit que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
exercice 2
1.Résolvons l'équation différentielle : 9y'' + y = 0 : 9y'' + y = 0 équivaut à y'' + y = 0.
Les solutions sont de la forme , où A et B sont deux constantes réelles.
2.Déterminons la solution de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales données : Pour tout réel , équivaut à A = Pour tout réel , équivaut à ,
soit B = -1.
D'où : pour tout réel ,
3. a)Montrons que, pour tout nombre réel , on peut écrire : : Pour tout réel ,
D'où : pour tout réel ,
3. b)Résolvons, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation : D'où :
4.Calculons la valeur moyenne m de sur l'intervalle : D'où : la valeur moyenne de sur l'intervalle [0 ; ] est .
probleme
1. a)Déterminons la limite de en - : On a :
Donc, par addition,
1. b)Démontrons que la droite d'équation y = - 2 est une asymptote oblique à la courbe : Donc la droite d'équation y = - 2 est une asymptote oblique à la courbe au voisinage de -.
1. c)Etudions les positions relatives de la courbe et de la droite : Pour tout réel, Or, pour tout réel , , donc .
Donc : pour tout réel , , c'est-à-dire .
D'où : la courbe est au-dessus de l'asymptote .
2. a)Montrons que, pour tout nombre réel différent de 0, on peut écrire : : Pour tout nombre réel non nul, on a :
en factorisant par .
2. b)Déduisons-en la limite de en + : , donc .
Par addition, on en déduit que Par multiplication, on en déduit que D'où :
3. a)Déterminons la fonction dérivée de : est dérivable sur et pour tout nombre réel ,
Vérifions que l'on a pour tout nombre réel , : Pour tout nombre réel ,
D'où : pour tout nombre réel ,
3. b)Etudions le signe de , lorsque décrit l'ensemble des nombres réels : Pour tout nombre réel , , donc .
Donc est du signe de .
D'où :
3. c)Dressons le tableau de variation de la fonction : De la question précédente, on en déduit que la fonction est décroissante sur ]- ; 0] et que est croissante sur [0 ; +[.
4.Traçons la droite et la courbe dans le repère :
5. a)Hachurons la partie du plan limitée par la courbe , la droite et les droites d'équations respectives et = 0 : cf graphique
5. b)Calculons la valeur de l'aire de la partie : L'aire de la partie est donnée par : D'où : u. a.
5. c)Déterminons la limite de A() quand tend vers - : , donc Donc par addition,
Publié par Cel/Cel
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !