Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2005

Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies Industrielles
Spécialité : Génie Mécanique (Option B : Systèmes Motorisés, Option C : Structures Métalliques, Option D : Bois et Matériaux Associés, Option E : Matériaux Souples - Génie des Matériaux)
Métropole - Session Juin 2005

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

Tous les résultats demandés seront justifiés.
Soit le nombre complexe $z_1 = 3\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \hspace{1pt} \sin \frac{\pi}{6}\right)$ . On pose :
$z_2 = \bar{z_1}$ , où $\bar{z_1}$ désigne le nombre complexe conjugué de z₁,
$z_3 = -z_1\\ z_4 = z_1 exp^{\frac{2i\pi}{3}}$ .

1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z₁, z₂ et z₃.

2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z₂ et z₃.

3. a) Montrer que $z_4 = 3exp^{\frac{5i\pi}{6}}$ .
    b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z₄.
    c) Quelle est la forme algébrique de z₄ ?

4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ (Unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives et z₁, z₂, z₃ et z₄.
    a) Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
    b) Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
    c) Calculer les distances AC et BD.
    d) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

4 points

exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle : 9y'' + y = 0.

2. Déterminer la solution $f$ de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} f(0) & \sqrt{3} \\ f'(0) & -\frac13 \\ \end{array} \right.$

3. a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ , on peut écrire : $f(x) = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$ .
b) Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $f(x) = -\sqrt{2}$ .

4. Calculer la valeur moyenne m de $f$ sur l'intervalle $[0; \pi]$ .

11 points

probleme

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x, par : $f(x) = \dfrac{1}{2} e^{2x} + e^x - 2x$ .
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ (Unité graphique : 2 cm).

1. Comportement de $f$ en - $\small \infty$ .
    a) Déterminer la limite de $f$ en - $\infty$ .
    b) Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation y = - 2 $x$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$ .
    c) Etudier les positions relatives de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\Delta$ .

2. Comportement de $f$ en + $\infty$ .
    a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ différent de 0, on peut écrire : $\large f(x) = x\left(\frac{exp^{2x}}{2x} + \frac{exp^x}{x} - 2\right)$
    b) En déduire la limite de $f$ en + $\infty$ .

3. Etude des variations de $f$ :
    a) Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que l'on a pour tout nombre réel $x$ , $f'(x) = \left(exp^x + 2\right)\left(exp^x - 1\right)$
    b) Etudier le signe de $f'(x)$ , lorsque $x$ décrit l'ensemble des nombres réels.
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

4. Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

5. Calcul d'une aire.
Soit $\alpha$ un nombre réel strictement négatif.
    a) Hachurer la partie $\mathscr{H}$ du plan limitée par la courbe $\mathscr{C}$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = \alpha$ et $x$ = 0.
    b) Calculer, en fonction de $\alpha$ et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie $\mathscr{H}$ , que l'on notera A( $\alpha$ ).
    c) Dé terminer la limite de A( $\alpha$ ) quand $\alpha$ tend vers - $\infty$ . Interpréter le résultat obtenu.

Voir la correction

exercice 1

1. Déterminons la forme algébrique des nombres complexes z₁, z₂ et z₃ :
$z_1 = 3\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\left) = 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \times \frac12\right)$
Donc : $z_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac32 i$

z₂ = $\bar{z_1}$
Donc : $z_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i$

z₃ = -z₁
Donc : $z_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i$

2. Déterminons le module et un argument des nombres complexes z₂ et z₃ :
Pour z₂ :
z₂ = $\bar{z_1$ , donc :
|z₂| = $\|\bar{z_1}\|$ = |z₁| = 3
et
$\arg z_2 = \arg \bar{z_1} (2\pi)\\ \arg z_2 = - \arg z_1 (2\pi)\\ \arg z_2 = -\frac{\pi}{6} (2\pi)$
Un argument de z₂ est $-\frac{\pi}{6}$ .

Pour z₃ :
z₃ = -z₁, donc :
|z₃| = |-z₁| = |z₁| = 3
et
$\arg z_3 = \arg (-z_1) (2\pi)\\ \arg z_3 = \arg(z_1) + \pi (2\pi) \\ \arg z_3 = \frac{\pi}{6} + \pi (2\pi) \\ \arg z_3 = \frac{7\pi}{6} (2\pi)$
Un argument de z₃ est $\frac{7\pi}{6}$ .

3. a) Montrons que $z_4 = 3exp^{\frac{5i\pi}{6}}$ :
$z_4 = z_1 e^{\frac{2i\pi}{3}} = 3e^{i\frac{\pi}{6}} e^{\frac{2i\pi}{3}}\\ z_4 = 3e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right)}\\ z_4 = 3e^{\frac{5i\pi}{6}}$

3. b) Déduisons-en le module et un argument du nombre complexe z₄ :
$z_4 = 3e^{\frac{5i\pi}{6}}$
Donc le module de z₄ est égal à 3 et un argument de z₄ est $\frac{5\pi}{6}$ .

3. c) Déterminons la forme algébrique de z₄ :
$z_4 = 3e^{\frac{5i\pi}{6}} = 3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \times \frac12\right)$
Donc : $z_4 = \frac{-3\sqrt{3}}{2} + \frac32 i$

4. a) Montrons que les points A, B, C et D sont sur un même cercle :
On a montré que |z₁| = |z₂| = |z₃| = |z₄| = 3.
Donc OA = OB = OC = OD = 3.
On en déduit que les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 3.

Bac STI génie mécanique génie des matériaux métropole Juin 2005 : image 1

4. b) Construisons les points A, B, C et D :
cf graphique

4. c) Calculons la distance AC :
AC = |z₃ - z₁|
$\text{AC} = \|-\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i - \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i\|\\ \text{AC} = = |-3\sqrt{3} - 3i|\\ \text{AC} = = \sqrt{(-3\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 \times 3 + 9} = \sqrt{36}$
D'où : AC = 6.

Calculons la distance BD :
BD = |z₄ - z₂| = $\|-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac32 i - \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac32 i\| = \|-3\sqrt{3} + 3i\| = \sqrt{9 \times 3 + 9} = \sqrt{36}$
D'où : BD = 6.

4. d) Déterminons la nature du quadrilatère ABCD :
Comme AC = BD et comme O est le milieu des segments [BD] et [AC], alors ABCD est un parallélogramme.
De plus,
$(\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = \arg \frac{z_4 - z_1}{z_2 - z_1} (2\pi)\\ (\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = \arg \frac{-\frac{3\sqrt3}{2} + \frac32 i - \frac{3\sqrt3}{2} - \frac32 i}{\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i - \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i} (2\pi) \\ (\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = \arg \frac{-3\sqrt{3}}{-3i} (2\pi)\\ (\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = \arg (-\sqrt{3} i) (2\pi)\\ (\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = -\frac{\pi}{2} (2\pi)$
Donc les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires.
On en déduit que le quadrilatère ABCD est un rectangle.

exercice 2

1. Résolvons l'équation différentielle : 9y'' + y = 0 :
9y'' + y = 0 équivaut à y'' + $\frac19$ y = 0.
Les solutions sont de la forme $\text{A} \cos \left(\frac{x}{3}\right) + \text{B} \sin \left(\frac{x}{3}\right)$ , où A et B sont deux constantes réelles.

2. Déterminons la solution $f$ de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales données :
Pour tout réel $x$ , $f(x) = \text{A} \cos \left(\frac{x}{3}\right) + \text{B} \sin \left(\frac{x}{3}\right)$
$f(0) = \sqrt{3}$ équivaut à A = $\sqrt{3}$
Pour tout réel $x$ , $f'(x) = -\frac{\text{A}}{3} \sin \left(\frac{x}{3}\right) + \frac{\text{B}}{3} \cos \left(\frac{x}{3}\right)$
$f'(0) = -\frac13$ équivaut à $\frac{\text{B}}{3} = -\frac13$ ,
soit B = -1.
D'où : pour tout réel $x$ , $f(x) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{x}{3}\right) - \sin \left(\frac{x}{3}\right)$

3. a) Montrons que, pour tout nombre réel $x$ , on peut écrire : $f(x) = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$ :
Pour tout réel $x$ ,
$2 \cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\cos \left(\frac{x}{3}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin \left(\frac{x}{3}\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \text{ [car } \cos (a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) \text{ ]}\\ 2 \cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \left(\frac{x}{3}\right) - \frac12 \sin \left(\frac{x}{3}\right)\right)\\ 2 \cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{x}{3}\right) - \sin \left(\frac{x}{3}\right) = f(x)$
D'où : pour tout réel $x$ , $f(x) = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$

3. b) Résolvons, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $f(x) = -\sqrt{2}$ :
$f(x) = -\sqrt{2} \Longleftrightarrow 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{2} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow \cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \text{ avec } k \in \mathbb{Z} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } \frac{x}{3} = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ avec } k \in \mathbb{Z} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \text{ ou } \frac{x}{3} = -\frac{11\pi}{12} + 2k\pi \text{ avec } k \in \mathbb{Z} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow x = \frac{7\pi}{4} + 6k\pi \text{ ou } x = -\frac{11\pi}{4} + 6k\pi \text{ avec } k \in \mathbb{Z}$
D'où : $\mathscr{S} = \lbrace \frac{7\pi}{4} + 6k\pi ; -\frac{11\pi}{4} + 6k\pi \text{ (avec } k \in \mathbb{Z})\rbrace$

4. Calculons la valeur moyenne m de $f$ sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ :
$\text{m} = \frac{1}{\pi - 0} \displaystyle \int_0^{\pi} f(x) \text{d}x \\ \text{m} = \frac{1}{\pi} \displaystyle \int_0^{\pi} 2\cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) \text{d}x \\ \text{m} = \frac{1}{\pi} \left[3\sin \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)\right]_0^{\pi}\\ \text{m} = \frac{6}{\pi} \left(\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ \text{m} = \frac{6}{\pi} \left(\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ \text{m} = \frac{6}{\pi}\left(1 - \frac12\right)\\ \text{m} =\frac{3}{\pi}$
D'où : la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0 ; $\pi$ ] est $\frac{3}{\pi}$ .

probleme

1. a) Déterminons la limite de $f$ en - $\infty$ :
On a :
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(\frac12 e^{2x}\right) = 0 \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-2x) = +\infty$
Donc, par addition, $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$

1. b) Démontrons que la droite $\Delta$ d'équation y = - 2 $x$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$ :
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left[f(x) - (-2x)\right] = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(\frac12 e^{2x} + e^x\right) = 0$
Donc la droite $\Delta$ d'équation y = - 2 $x$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de - $\infty$ .

1. c) Etudions les positions relatives de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\Delta$ :
Pour tout $x$ réel, $f(x) - (-2x) = \frac12 e^{2x} + e^x$
Or, pour tout réel $x$ , $\frac12 e^{2x} > 0 \text{ et } e^x > 0$ , donc $\frac12 e^{2x} + e^x > 0$ .
Donc : pour tout réel $x$ , $f(x) - (-2x) > 0$ , c'est-à-dire $f(x) > 2x$ .
D'où : la courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de l'asymptote $\Delta$ .

2. a) Montrons que, pour tout nombre réel $x$ différent de 0, on peut écrire : $\large f(x) = x\left(\frac{exp^{2x}}{2x} + \frac{exp^x}{x} - 2\right)$ :
Pour tout nombre réel $x$ non nul, on a :
$f(x) = \frac12 e^{2x} + e^x - 2x = x\left(\frac{e^{2x}}{2x} + \frac{e^x}{x} - 2\right)$ en factorisant par $x$ .

2. b) Déduisons-en la limite de $f$ en + $\infty$ :
$\displaystyle \lim_{u \to +\infty} \frac{e^u}{u} = +\infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{2x} = +\infty$ .
Par addition, on en déduit que $\large \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{e^{2x}}{2x} + \frac{e^x}{x} - 2\right) = +\infty$
Par multiplication, on en déduit que $\large \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[x\left(\frac{e^{2x}}{2x} + \frac{e^x}{x} - 2\right)\right] = +\infty$
D'où : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

3. a) Déterminons la fonction dérivée $f'$ de $f$ :
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout nombre réel $x$ ,
$f'(x) = \frac12 \times 2 e^{2x} + e^x - 2 = e^{2x} + e^x - 2$

Vérifions que l'on a pour tout nombre réel $x$ , $f'(x) = \left(exp^x + 2\right)\left(exp^x - 1\right)$ :
Pour tout nombre réel $x$ ,
$(e^x + 2)(e^x - 1) = e^{2x} - e^x + 2e^x - 2 = e^{2x} + e^x - 2 = f'(x)$
D'où : pour tout nombre réel $x$ , $f'(x) = (e^x + 2)(e^x - 1)$

3. b) Etudions le signe de $f'(x)$ , lorsque $x$ décrit l'ensemble des nombres réels :
Pour tout nombre réel $x$ , $e^x > 0$ , donc $e^x + 2 > 0$ .
Donc $f'(x)$ est du signe de $e^x - 1$ .
$e^x - 1 > 0 \Longleftrightarrow e^x > 1 \\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow x > 0$
D'où :
$f'(x) < 0 \text{ si } x < 0 \\ f'(x) = 0 \text{ si } x = 0 \\ f'(x) > 0 \text{ si } x > 0$

3. c) Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ :
De la question précédente, on en déduit que la fonction $f$ est décroissante sur ]- $\infty$ ; 0] et que $f$ est croissante sur [0 ; + $\infty$ [.

$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x&-\infty&&0&&+\infty \\ \hline \text{signe de } f'(x)&&-&0&+& \\ \hline \; &+\infty&&&&+\infty\\ \text{variations de } f&&\searrow&&\nearrow& \\ \; &&&\frac32&& \\ \hline \end{array}$
$f(0) = \frac12 e^{2 \times 0} + e^0 - 2 \times 0 = \frac12 + 1 = \frac32$

4. Traçons la droite $\Delta$ et la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ :

Bac STI génie mécanique génie des matériaux métropole Juin 2005 : image 2

5. a) Hachurons la partie $\mathscr{H}$ du plan limitée par la courbe $\mathscr{C}$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = \alpha$ et $x$ = 0 :
cf graphique

5. b) Calculons la valeur de l'aire de la partie $\mathscr{H}$ :
L'aire de la partie $\mathscr{H}$ est donnée par : $\text{A}(\alpha) = \displaystyle \int_{\alpha}^0 \left(f(x) - (-2x)\right) \text{d}x$
$\text{A}(\alpha) = \displaystyle \int_{\alpha}^0 \left(\frac12 e^{2x} + e^x\right) \text{d}x\\ \text{A}(\alpha) = \left[\frac14 e^{2x} + e^x\right]_{\alpha}^0\\ \text{A}(\alpha) = \frac14 e^{2 \times 0} + e^0 - \frac14 e^{2\alpha} - e^{\alpha} \\ \text{A}(\alpha) = \frac14 + 1 - \frac14 e^{2\alpha} - e^{\alpha} \\ \text{A}(\alpha) = \frac54 - \frac14 e^{2\alpha} - e^{\alpha}$
D'où : $\text{A}(\alpha) = \frac54 - \frac14 e^{2\alpha} - e^{\alpha}$ u. a.

5. c) Déterminons la limite de A( $\alpha$ ) quand $\alpha$ tend vers - $\infty$ :
$\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty} e^{2\alpha} = 0$ , donc $\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty} \left(-\frac14 e^{2\alpha}\right) = 0$
$\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty} \left(-e^{\alpha}\right) = 0$
Donc par addition, $\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty} \text{A}(\alpha) = \frac54$

Publié par Cel/Cel le 02-08-2006

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Cette fiche

Voir la correction
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 146 853 topics de mathématiques en terminale sur le forum.