Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies Industrielles
Spécialité : Génie Mécanique (Option B : Systèmes Motorisés, Option C : Structures Métalliques, Option D : Bois et Matériaux Associés, Option E : Matériaux Souples - Génie des Matériaux)
Métropole - Session Juin 2005

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L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4     Durée : 4 heures
5 points

exercice 1

Tous les résultats demandés seront justifiés.
Soit le nombre complexe z_1 = 3\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \hspace{1pt} \sin \frac{\pi}{6}\right). On pose :
z_2 = \bar{z_1}, où \bar{z_1} désigne le nombre complexe conjugué de z1,
z_3 = -z_1\\ z_4 = z_1 exp^{\frac{2i\pi}{3}}.

1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z1, z2 et z3.

2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z2 et z3.

3. a) Montrer que z_4 = 3exp^{\frac{5i\pi}{6}}.
    b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z4.
    c) Quelle est la forme algébrique de z4 ?

4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) (Unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives et z1, z2, z3 et z4.
    a) Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
    b) Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
    c) Calculer les distances AC et BD.
    d) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?


4 points

exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle : 9y'' + y = 0.

2. Déterminer la solution f de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} f(0)  &  \sqrt{3} \\ f'(0)  &  -\frac13 \\ \end{array} \right.

3. a) Montrer que, pour tout nombre réel x, on peut écrire : f(x) = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right).
    b) Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation f(x) = -\sqrt{2}.

4. Calculer la valeur moyenne m de f sur l'intervalle [0; \pi].


11 points

probleme

Soit f la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x, par : f(x) = \dfrac{1}{2} e^{2x} + e^x - 2x.
On note \mathscr{C} sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) (Unité graphique : 2 cm).

1. Comportement de f en -\small \infty.
    a) Déterminer la limite de f en -\infty.
    b) Démontrer que la droite \Delta d'équation y = - 2x est une asymptote oblique à la courbe \mathscr{C}.
    c) Etudier les positions relatives de la courbe \mathscr{C} et de la droite \Delta.

2. Comportement de f en +\infty.
    a) Montrer que, pour tout nombre réel x différent de 0, on peut écrire : \large f(x) = x\left(\frac{exp^{2x}}{2x} + \frac{exp^x}{x} - 2\right)
    b) En déduire la limite de f en +\infty.

3. Etude des variations de f :
    a) Déterminer la fonction dérivée f' de f et vérifier que l'on a pour tout nombre réel x, f'(x) = \left(exp^x + 2\right)\left(exp^x - 1\right)
    b) Etudier le signe de f'(x), lorsque x décrit l'ensemble des nombres réels.
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

4. Tracer la droite \Delta et la courbe \mathscr{C} dans le repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).

5. Calcul d'une aire.
Soit \alpha un nombre réel strictement négatif.
    a) Hachurer la partie \mathscr{H} du plan limitée par la courbe \mathscr{C}, la droite \Delta et les droites d'équations respectives x = \alpha et x = 0.
    b) Calculer, en fonction de \alpha et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie \mathscr{H}, que l'on notera A(\alpha).
    c) Dé terminer la limite de A(\alpha) quand \alpha tend vers -\infty. Interpréter le résultat obtenu.



exercice 1

1. Déterminons la forme algébrique des nombres complexes z1, z2 et z3 :
z_1 = 3\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\left) = 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \times \frac12\right)
Donc : z_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac32 i

z2 = \bar{z_1}
Donc : z_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i

z3 = -z1
Donc : z_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i

2. Déterminons le module et un argument des nombres complexes z2 et z3 :
Pour z2 :
z2 = \bar{z_1, donc :
|z2| = \|\bar{z_1}\| = |z1| = 3
et
\arg z_2  = \arg \bar{z_1} (2\pi)\\ \arg z_2 = - \arg z_1 (2\pi)\\ \arg z_2 = -\frac{\pi}{6} (2\pi)
Un argument de z2 est -\frac{\pi}{6}.

Pour z3 :
z3 = -z1, donc :
|z3| = |-z1| = |z1| = 3
et
\arg z_3 = \arg (-z_1) (2\pi)\\ \arg z_3 = \arg(z_1) + \pi (2\pi) \\ \arg z_3 = \frac{\pi}{6} + \pi (2\pi) \\ \arg z_3 = \frac{7\pi}{6} (2\pi)
Un argument de z3 est \frac{7\pi}{6}.

3. a) Montrons que z_4 = 3exp^{\frac{5i\pi}{6}} :
z_4 = z_1 e^{\frac{2i\pi}{3}} = 3e^{i\frac{\pi}{6}} e^{\frac{2i\pi}{3}}\\ z_4 = 3e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right)}\\ z_4 = 3e^{\frac{5i\pi}{6}}

3. b) Déduisons-en le module et un argument du nombre complexe z4 :
z_4 = 3e^{\frac{5i\pi}{6}}
Donc le module de z4 est égal à 3 et un argument de z4 est \frac{5\pi}{6}.

3. c) Déterminons la forme algébrique de z4 :
z_4 = 3e^{\frac{5i\pi}{6}} = 3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \times \frac12\right)
Donc : z_4 = \frac{-3\sqrt{3}}{2} + \frac32 i

4. a) Montrons que les points A, B, C et D sont sur un même cercle :
On a montré que |z1| = |z2| = |z3| = |z4| = 3.
Donc OA = OB = OC = OD = 3.
On en déduit que les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 3.

Bac STI génie mécanique génie des matériaux métropole Juin 2005 : image 1


4. b) Construisons les points A, B, C et D :
cf graphique

4. c) Calculons la distance AC :
AC = |z3 - z1|
\text{AC} = \|-\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i - \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i\|\\ \text{AC} = = |-3\sqrt{3} - 3i|\\ \text{AC} = = \sqrt{(-3\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 \times 3 + 9} = \sqrt{36}
D'où : AC = 6.

    Calculons la distance BD :
BD = |z4 - z2| = \|-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac32 i - \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac32 i\| = \|-3\sqrt{3} + 3i\| = \sqrt{9 \times 3 + 9} = \sqrt{36}
D'où : BD = 6.

4. d) Déterminons la nature du quadrilatère ABCD :
Comme AC = BD et comme O est le milieu des segments [BD] et [AC], alors ABCD est un parallélogramme.
De plus,
(\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = \arg \frac{z_4 - z_1}{z_2 - z_1} (2\pi)\\ (\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = \arg \frac{-\frac{3\sqrt3}{2} + \frac32 i - \frac{3\sqrt3}{2} - \frac32 i}{\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i - \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac32 i} (2\pi) \\ (\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = \arg \frac{-3\sqrt{3}}{-3i} (2\pi)\\ (\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = \arg (-\sqrt{3} i) (2\pi)\\ (\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}}) = -\frac{\pi}{2} (2\pi)
Donc les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires.
On en déduit que le quadrilatère ABCD est un rectangle.




exercice 2

1. Résolvons l'équation différentielle : 9y'' + y = 0 :
9y'' + y = 0 équivaut à y'' + \frac19y = 0.
Les solutions sont de la forme \text{A} \cos \left(\frac{x}{3}\right) + \text{B} \sin \left(\frac{x}{3}\right), où A et B sont deux constantes réelles.

2. Déterminons la solution f de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales données :
Pour tout réel x, f(x) = \text{A} \cos \left(\frac{x}{3}\right) + \text{B} \sin \left(\frac{x}{3}\right)
f(0) = \sqrt{3} équivaut à A = \sqrt{3}
Pour tout réel x, f'(x) = -\frac{\text{A}}{3} \sin \left(\frac{x}{3}\right) + \frac{\text{B}}{3} \cos \left(\frac{x}{3}\right)
f'(0) = -\frac13 équivaut à \frac{\text{B}}{3} = -\frac13,
soit B = -1.
D'où : pour tout réel x, f(x) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{x}{3}\right) - \sin \left(\frac{x}{3}\right)

3. a) Montrons que, pour tout nombre réel x, on peut écrire : f(x) = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) :
Pour tout réel x,
2 \cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\cos \left(\frac{x}{3}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin \left(\frac{x}{3}\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \text{ [car } \cos (a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) \text{ ]}\\ 2 \cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \left(\frac{x}{3}\right) - \frac12 \sin \left(\frac{x}{3}\right)\right)\\ 2 \cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{x}{3}\right) - \sin \left(\frac{x}{3}\right) = f(x)
D'où : pour tout réel x, f(x) = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)

3. b) Résolvons, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation f(x) = -\sqrt{2} :
f(x) = -\sqrt{2} \Longleftrightarrow 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{2} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow \cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \text{ avec } k \in \mathbb{Z} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } \frac{x}{3} = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ avec } k \in \mathbb{Z} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \text{ ou } \frac{x}{3} = -\frac{11\pi}{12} + 2k\pi \text{ avec } k \in \mathbb{Z} \\ \hspace{65pt} \Longleftrightarrow x = \frac{7\pi}{4} + 6k\pi \text{ ou } x = -\frac{11\pi}{4} + 6k\pi \text{ avec } k \in \mathbb{Z}
D'où : \mathscr{S} = \lbrace \frac{7\pi}{4} + 6k\pi ;  -\frac{11\pi}{4} + 6k\pi \text{ (avec } k \in \mathbb{Z})\rbrace

4. Calculons la valeur moyenne m de f sur l'intervalle [0 ; \pi] :
\text{m} = \frac{1}{\pi - 0} \displaystyle \int_0^{\pi} f(x) \text{d}x \\ \text{m} = \frac{1}{\pi} \displaystyle \int_0^{\pi} 2\cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) \text{d}x \\ \text{m} = \frac{1}{\pi} \left[3\sin \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)\right]_0^{\pi}\\ \text{m} = \frac{6}{\pi} \left(\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ \text{m} = \frac{6}{\pi} \left(\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ \text{m} = \frac{6}{\pi}\left(1 - \frac12\right)\\ \text{m} =\frac{3}{\pi}
D'où : la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0 ; \pi] est \frac{3}{\pi}.




probleme

1. a) Déterminons la limite de f en -\infty :
On a :
\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(\frac12 e^{2x}\right) = 0 \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-2x) = +\infty
Donc, par addition, \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty

1. b) Démontrons que la droite \Delta d'équation y = - 2x est une asymptote oblique à la courbe \mathscr{C} :
\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left[f(x) - (-2x)\right] = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(\frac12 e^{2x} + e^x\right) = 0
Donc la droite \Delta d'équation y = - 2x est une asymptote oblique à la courbe \mathscr{C} au voisinage de -\infty.

1. c) Etudions les positions relatives de la courbe \mathscr{C} et de la droite \Delta :
Pour tout x réel, f(x) - (-2x) = \frac12 e^{2x} + e^x
Or, pour tout réel x, \frac12 e^{2x} > 0 \text{ et } e^x > 0, donc \frac12 e^{2x} + e^x > 0.
Donc : pour tout réel x, f(x) - (-2x) > 0, c'est-à-dire f(x) > 2x.
D'où : la courbe \mathscr{C} est au-dessus de l'asymptote \Delta.

2. a) Montrons que, pour tout nombre réel x différent de 0, on peut écrire : \large f(x) = x\left(\frac{exp^{2x}}{2x} + \frac{exp^x}{x} - 2\right) :
Pour tout nombre réel x non nul, on a :
f(x) = \frac12 e^{2x} + e^x - 2x = x\left(\frac{e^{2x}}{2x} + \frac{e^x}{x} - 2\right) en factorisant par x.

2. b) Déduisons-en la limite de f en +\infty :
\displaystyle \lim_{u \to +\infty} \frac{e^u}{u} = +\infty, donc \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{2x} = +\infty.
Par addition, on en déduit que \large \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{e^{2x}}{2x} + \frac{e^x}{x} - 2\right) = +\infty
Par multiplication, on en déduit que \large \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[x\left(\frac{e^{2x}}{2x} + \frac{e^x}{x} - 2\right)\right] = +\infty
D'où : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

3. a) Déterminons la fonction dérivée f' de f :
f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout nombre réel x,
f'(x) = \frac12 \times 2 e^{2x} + e^x - 2 = e^{2x} + e^x - 2

    Vérifions que l'on a pour tout nombre réel x, f'(x) = \left(exp^x + 2\right)\left(exp^x - 1\right) :
Pour tout nombre réel x,
(e^x + 2)(e^x - 1) = e^{2x} - e^x + 2e^x - 2 = e^{2x} + e^x - 2 = f'(x)
D'où : pour tout nombre réel x, f'(x) = (e^x + 2)(e^x - 1)

3. b) Etudions le signe de f'(x), lorsque x décrit l'ensemble des nombres réels :
Pour tout nombre réel x, e^x > 0, donc e^x + 2 > 0.
Donc f'(x) est du signe de e^x - 1.
e^x - 1 > 0 \Longleftrightarrow e^x > 1 \\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow x > 0
D'où :
f'(x) < 0 \text{ si } x < 0 \\ f'(x) = 0 \text{ si } x = 0 \\ f'(x) > 0 \text{ si } x > 0

3. c) Dressons le tableau de variation de la fonction f :
De la question précédente, on en déduit que la fonction f est décroissante sur ]-\infty ; 0] et que f est croissante sur [0 ; +\infty[.

\begin{array}{|c|lcccr|} \hline  x&-\infty&&0&&+\infty \\ \hline  \text{signe de } f'(x)&&-&0&+& \\ \hline  \; &+\infty&&&&+\infty\\  \text{variations de } f&&\searrow&&\nearrow& \\ \; &&&\frac32&&  \\  \hline  \end{array}
f(0) = \frac12 e^{2 \times 0} + e^0 - 2 \times 0 = \frac12 + 1 = \frac32

4. Traçons la droite \Delta et la courbe \mathscr{C} dans le repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) :
Bac STI génie mécanique génie des matériaux métropole Juin 2005 : image 2


5. a) Hachurons la partie \mathscr{H} du plan limitée par la courbe \mathscr{C}, la droite \Delta et les droites d'équations respectives x = \alpha et x = 0 :
cf graphique

5. b) Calculons la valeur de l'aire de la partie \mathscr{H} :
L'aire de la partie \mathscr{H} est donnée par : \text{A}(\alpha) = \displaystyle \int_{\alpha}^0 \left(f(x) - (-2x)\right) \text{d}x
\text{A}(\alpha) = \displaystyle \int_{\alpha}^0 \left(\frac12 e^{2x} + e^x\right) \text{d}x\\ \text{A}(\alpha) = \left[\frac14 e^{2x} + e^x\right]_{\alpha}^0\\ \text{A}(\alpha) = \frac14 e^{2 \times 0} + e^0 - \frac14 e^{2\alpha} - e^{\alpha} \\ \text{A}(\alpha) = \frac14 + 1 - \frac14  e^{2\alpha} - e^{\alpha} \\ \text{A}(\alpha) = \frac54 - \frac14  e^{2\alpha} - e^{\alpha}
D'où : \text{A}(\alpha) = \frac54 - \frac14 e^{2\alpha} - e^{\alpha} u. a.

5. c) Déterminons la limite de A(\alpha) quand \alpha tend vers -\infty :
\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty} e^{2\alpha} = 0, donc \displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty} \left(-\frac14 e^{2\alpha}\right) = 0
\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty} \left(-e^{\alpha}\right) = 0
Donc par addition, \displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty} \text{A}(\alpha) = \frac54
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