Fiche de mathématiques
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Bac Technologique
Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique et Option F : Microtechniques - Génie Energétique - Génie Civil)
Métropole - Session 2005

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L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4     Durée : 4 heures
4 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) d'unité graphique 1 cm.
Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \frac{\pi}{2}.

1. a) Déterminer sous forme algébrique le nombre complexe z1 vérifiant : z1( 1 + i) + 3 + i = 0.
    b) Déterminer sous forme algébrique les nombres complexes z2 et z3 vérifiant le système :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2z_2 + z_3  &  5 \\  z_2 + 3z_3  &  -10i \\ \end{array} \right.

2. Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives zA = 3 + 2i , zB = -1 - 4i et zC = -2 + i.
    a) Placer ces trois points dans le plan complexe.
    b) Calculer les longueurs AB, BC et CA.
    c) En déduire la nature du triangle ABC, puis calculer son aire. 5 points

exercice 2

Le Comité des fêtes d'un village organise une loterie à l'aide de deux urnes.
L'urne U1 contient trois boules rouges notées R1, R2, R3 et deux boules jaunes notées J1 et J2.
L'urne U2 contient quatre boules bleues notées B1, B2, B3, B4 et une boule verte V.
Pour participer à cette loterie, un joueur doit d'abord miser 3 €. Il tire ensuite au hasard une boule dans U1, puis une boule dans U2. Les boules sont indiscernables au toucher. On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables.

1. A l'aide d'un tableau ou d'un arbre, montrer qu'il y a 25 couples de boules possibles.

2. Une boule rouge fait gagner 2 €.
Une boule jaune fait gagner 3 €.
Une boule bleue fait gagner 1 €.
La boule verte fait gagner 5 €.

A chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire X associe le gain finalement réalisé par le joueur.
Ainsi, en tenant compte de la mise de 3 €, le tirage d'une boule rouge et d'une boule verte occasionne finalement un gain de 4 €.

    a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
    b) Démontrer que P(X = 5) = \frac{2}{25}.
    c) Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
    d) Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement 1 € ?

3. a) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
    b) Le Comité s'aperçoit que son jeu est déficitaire.
Expliquer quelle est, en nombre entier d'euros, la mise minimale qu'il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité.


11 points

probleme

L'objectif est de déterminer une fonction dont la représentation graphique est donnée sur la page annexe à joindre à la copie, puis d'étudier certaines propriétés de cette fonction.

Partie A

Sur la page annexe, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) d'unité graphique 2 cm, la courbe \mathcal{C} d'une fonction f définie sur \mathbb{R}.
La courbe \mathcal{C} passe par les points de coordonnées A (0; 4) et B (-1,5; 1).

1. Donner les valeurs de f(0) et de f(-1,5).
2. On suppose que pour tout nombre réel x, f(x) s'écrit sous la forme suivante : f(x) = (ax + b)e-x + 1, où a et b sont 2 nombres réels.
Utiliser les résultats de la question 1. pour déterminer la valeur des nombres réels a et b.

Partie B

Dans toute la suite du problème on étudie la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = (2x + 3)e^{-x} + 1.
1. Déterminer la limite de f en -\small \infty.

2. a) Montrer que pour tout nombre réel x : f(x) = 2 \frac{x}{exp^x} + \frac{3}{exp^x} + 1.
    b) Déterminer alors la limite de f en +\small \infty.
En déduire que la courbe \mathcal{C} a une asymptote (D) dont on donnera une équation.
    c) Démontrer que cette asymptote (D) coupe la courbe \mathcal{C} au point B.
    d) Étudier, en le justifiant soigneusement, la position de la courbe \mathcal{C} par rapport à la droite (D).

3. Prouver que la dérivée f' de la fonction f est définie pour tout nombre réel x par : f'(x) = (-2x - 1)e-x.

4. Etudier le signe de f'(x) sur \mathbb{R}, puis dresser le tableau de variation de la fonction f.

5. Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe \mathcal{C} au point A.

Partie C

1. On rappelle que, sur la figure ci-dessous, on a représenté la courbe \mathcal{C} dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
Déterminer le coefficient directeur de la tangente \Delta à la courbe \mathcal{C} au point E d'abscisse (-0,5).
Tracer sur la feuille annexe la tangente \Delta.
Compléter cette figure en représentant l'asymptote (D) et la tangente (T).
Hachurer la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe \mathcal{C} et les droites d'équation x = -1 et x = 0.

2. Montrer que la fonction F définie par F(x) = (-2x - 5)e-x + x est une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.

3. Soit \mathcal{A} l'aire en cm² de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de \mathcal{A}, puis en donner une valeur arrondie au centième.

Bac STI génie mécanique énergétqiue civil 2005 : image 1




exercice 1

1. a) Déterminons sous forme algébrique le nombre complexe z1 :
z_1(1+i)+3+i=0 \\ \Longleftrightarrow \, z_1(1+i)=-3-i \\ \Longleftrightarrow \, z_1 = \frac{-3-i}{1+i} \\ \Longleftrightarrow \, z_1 = \frac{(-3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \\ \Longleftrightarrow \, z_1 = \frac{-3+3i-i+i^2}{1^2+1^2} \\ \Longleftrightarrow \, z_1 = \frac{-3+2i-1}{2}
D'où : z1 = -2 + i

1. b) Déterminons sous forme algébrique les nombres complexes z2 et z3 :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2z_2 + z_3  &  5 \\ z_2 + 3z_3  &  -10i \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} z_3  &  5 -2z_2 \\ z_2 + 3(5 - 2z_2)  &  -10i \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} z_3  &  5 - 2z_2  \\ z_2 + 15 - 6z_2  &  -10i \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} z_3  &  5 - 2z_2 \\ -5z_2  &  -10i - 15 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} z_3  &  5 - 2z_2  \\  z_2  &  2i + 3 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} z_2  &  3 + 2i \\ z_3  &  5 - 2(3 + 2i) \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} z_2  &  3 +2i \\ z_3  &  5 - 6 - 4i \\ \end{array} \right.
D'où : z2 = 3 + 2i     et     z3 = -1 - 4i.

2. a) Plaçons ces trois points dans le plan complexe :
Bac STI génie mécanique énergétqiue civil 2005 : image 2


2. b) Calculons les longueurs :
AB :
AB = |zB - zA| = |-1 - 4i - 3 - 2i| = |-4 - 6i| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}
D'où : AB = 2\sqrt{13} cm.

< BC :
BC = |zC - zB| = |-2 + i + 1 + 4i| = |-1 + 5i| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}
D'où : BC = \sqrt{26} cm.

< CA :
CA = |zA - zC| = |3 + 2i + 2 - i| = |5 + i| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}
D'où : CA = \sqrt{26} cm.

2. c) Nature du triangle ABC :
On a : BC² + CA² = \left(\sqrt{26}\right)^2 + \left(\sqrt{26}\right)^2 = 26 + 26 = 52
et AB² = \left(\sqrt{52}\right)^2 = 52.
Donc : AB² = BC² + CA². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

    Calculons l'aire \mathscr{A} du triangle ABC :
\mathscr{A} = \frac{\text{AC \times BC}}{2} = \frac{\sqrt{26} \times \sqrt{26}}{2} = \frac{26}{2} = 13
D'où : l'aire du triangle ABC est de 13 cm².

exercice 2

1. Dénombrement des tirages possibles à l'aide d'un tableau :
On trouve bien 25 couples de boules possibles.
Bac STI génie mécanique énergétqiue civil 2005 : image 3


2. a) Valeurs possibles pour la variable aléatoire X :
Si on tire une boule bleue et une boule rouge : X = 1 + 2 - 3 = 0
Si on tire une boule bleue et une boule jaune : X = 1 + 3 - 3 = 1
Si on tire une boule verte et une boule rouge : X = 5 + 2 - 3 = 4
Si on tire une boule verte et une boule jaune : X = 5 + 3 - 3 = 5
Donc les valeurs possibles pour X sont {0 ; 1 ; 4 ; 5}

2. b) Sur les 25 tirages possibles, il y a 2 tirages qui permettent de gagner 5 Euros (une boule verte et une boule jaune), donc :
P(X = 5) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles
donc \boxed{P(X = 5) = \frac{2}{25}}

2. c) On procède de la même manière pour calculer les autres probabilités
x_i 0 1 4 5
p_i = P(X=x_i) \frac{12}{25} \frac{8}{25} \frac{3}{25} \frac{2}{25}

2. d) Pour que le gain ne dépasse pas 1 Euro, il faut gagner 0 ou 1 Euro, donc en appelant P la probabilité correspondante :
P = \frac{12}{25} + \frac{8}{25} = \frac{20}{25} = \boxed{\frac{4}{5}}
Donc la probabilité pour que le gain de dépasse pas 1 Euro est de \frac{4}{5}.

3. a) Calcul de l'espérance mathématique :
E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 + p_4 x_4 \\ E(X) = \frac{12}{25} \times 0 + \frac{8}{25} \times 1 + \frac{3}{25} \times 4 + \frac{2}{25} \times 5  \\ \boxed{E(X) = 1,2}

3. b) Le jeu est en effet déficitaire, car un joueur peut espérer gagner en moyenne 1,2 Euros par partie.
Il faut donc augmenter au minimum le prix de participation de 1,2 Euros pour avoir une espérance mathématique nulle (linéarité de l'espérance mathématique).
Donc le prix de participation doit être strictement supérieur à 4,2 Euros.



 Problème

Partie A

1. La courbe passe par le point A(0 ; 4) donc f(0) = 4.
La courbe passe par le point B(-1,5 ; 1) donc f(-1,5) = 1.

2. Recherche des coefficients a et b par identification :
f(0) = 4 \\ \Longleftrightarrow \, (a \times 0 + b) e^{0} + 1 = 4 \\ \Longleftrightarrow \, b + 1 = 4 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{b = 3}

f(-1,5) = 1 \\ \Longleftrightarrow \, (a \times (-1,5) + 3) e^{1,5} + 1 = 1 \\ \Longleftrightarrow \, (-1,5a + 3) e^{1,5} = 0 \\ \Longleftrightarrow \, -1,5a + 3 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{a = 2}
Donc la fonction f est donnée par : \boxed{f(x) = (2x+3)e^{-x} +1}

Partie B

1. Limite de f en -\infty :
On a :
\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, 2x+3 = -\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, e^{-x} = +\infty
Donc : \boxed{\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, f(x) = -\infty}

2. a) En utilisant la relation e^{-x} = \frac{1}{e^x} on montre facilement que :
f(x) = 2\frac{x}{e^x} + \frac{3}{e^x} + 1

2. b) Limite de f en +\infty :
On a :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \frac{x}{e^x} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \frac{3}{e^x} = 0
Donc : \boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, f(x) = 1}
Donc la courbe C admet la droite (D) d'équation y = 1 comme asymptote horizontale en +\infty

2. c) Le point B a pour ordonnée 1 donc il appartient à la droite (D) d'équation y = 1

2. d) Etude de la position relative de la courbe C et de la droite (D) :
On pose, pour tout réel x : h(x) = f(x) - 1 = (2x+3)e^{-x}.
Pour tout réel x, e^{-x} est strictement positif, donc h(x) est du signe de 2x+3.
2x+3 = 0 \, \Longleftrightarrow \, x = -1,5 \\ 2x+3 > 0 \, \Longleftrightarrow \, x > -1,5 \\ 2x+3 < 0 \, \Longleftrightarrow \, x < -1,5
Donc :
- la courbe C est en dessous de (D) si x < -1,5
- la courbe C est au dessus de (D) si x > -1,5

3. Dérivée d'un produit, on pose :
u(x) = 2x+3 \, \, \, v(x) = e^{-x} \\ u'(x) = 2 \hspace{25pt} v'(x) = -e^{-x}
Donc :
f'(x) = \left(u'v + u v'\right)(x)  = 2 e^{-x} - (2x+3)e^{-x} \\ \boxed{f'(x) = (-2x-1)e^{-x}}

4. Etude du signe de f'(x) et variations de la fonction f :
\begin{array}{c|ccccc}{x}&-\infty&&-0,5&&+\infty\\\hline {-2x-1}&&+&0&-&\\\hline {e^{-x}}&&+&&+&\\\hline {f^'(x)}&&+&0&-&\\\hline {} &&&f(-0,5)&&\\lbrace f(x)}&&\nearrow &&\searrow &\\lbrace }&-\infty &&&&1\end{array}

Valeur du maximum :
f(-0,5) = (2 \times (-0,5)+3)e^{0,5} + 1 \\f(-0,5) = 1 + 2\sqrt{e} \approx 4,3

5. Equation de la droite tangente au point d'abscisse 0 :
y = f'(0)(x - 0) + f(0)
avec : f'(0) = (-2 \times 0 - 1)e^0 = -1 et f(0) = 4
Equation de (T) : \boxed{y = -x + 4}

Partie C

1. La fonction dérivée s'annule pour x = -0,5 donc le coefficient directeur de la droite tangente au point d'abscisse -0,5 est égal à 0, donc la tangente est horizontale au point E.
Bac STI génie mécanique énergétqiue civil 2005 : image 5


2. Dérivée d'un produit, on pose :
u(x) = -2x-3 \hspace{25pt} v(x) = e^{-x} \\ u'(x) = -2 \hspace{50pt} v'(x) = -e^{-x}
Donc :
F'(x) = \left(u'v + u v'\right)(x) + 1 = -2 e^{-x} - (-2x-5)e^{-x} + 1\\  \boxed{F'(x) = (2x+3)e^{-x} + 1 = f(x)}
Donc F est une primitive de f sur \mathbb{R}.

3. La fonction f est positive entre -1 et 0, donc l'aire \scrA est donnée par :
\scrA = U.A. \times \displaystyle \int_{-1}^{0} \, f(x) dx
L'unité d'aire associée au repère est : 1 \, U.A. = 2 \times 2 = 4 \, cm^2, donc :
\scrA = 4 [F(x)]_{-1}^{0} \\ \scrA = 4 [F(0) - F(-1)] \\ \scrA = 4 [ ((-2 \times 0 - 5 )e^{0} + 0) - ((-2 \times (-1) - 5 )e^{1} - 1) ] \\ \scrA = 4 [ -5  - ( -3e - 1) ] \\ \boxed{\scrA = 12e - 16 \approx 16,62 \, cm^2}
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