Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Polynésie Française - Session Juin 2005

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

10 points

exercice 1

On étudie l'évolution d'une culture bactérienne en fonction du temps. On estime que le nombre de bactéries en milliards par ml est donné, à chaque instant $t$ (exprimé en heures) par la fonction $f$ définie sur [0 ; 24] par $f(t) = (3t + 1)\text{e}^{-0,15t}$ . On note ( $\mathcal{C}$ ) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour une heure sur l'axe des abscisses et 2 cm pour un milliard par ml sur l'axe des ordonnées).

1. a) Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est telle que $f'(t) = (2,85 - 0,45t)\text{e}^{-0,15t}$ .
b) Étudier le signe de $f'(t)$ . Dresser le tableau de variations de $f$ .

2. a) Reproduire et compléter le tableau suivant (les résultats seront donnés à 10^-2 près).

$t$	0	2	4	6	8	10	12	16	20	24
$f(t)$

b) Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe ( $\mathcal{C}$ ) au point A d'abscisse 0.
c) Tracer T et ( $\mathcal{C}$ ) dans le repère donné.

3. À l'aide du graphique, et en faisant apparaître les constructions nécessaires, déterminer à une heure près les valeurs de $t$ pour lesquelles il y a 5 milliards de bactéries par ml.

10 points

exercice 2

On étudie la croissance d'une population de crustacés planctoniques dans un environnement limité.
On note $x$ le nombre des individus de cette population à l'instant $t$ exprimé en jours. Les résultats obtenus sont dans le tableau suivant :

$t_{i}$ (en jours)	0	2	4	6	8	10	12	14
$x_{i}$ (effectif)	15	59	199	448	631	697	715	719

1. Dans un repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ représenter le nuage des huit points de coordonnées $\left(t_{i} ; x_{i}\right)$ . On prendra comme unités graphiques 1 cm pour 1 jour en abscisses et 1 cm pour 50 individus en ordonnées. Un ajustement affine de ce nuage parait-il justifié ?
Dans la suite de l'exercice, toutes les valeurs seront arrondies à 10^-2 près.

2. On pose $y = \ln \left(\dfrac{x}{720 - x}\right)$ , où ln désigne la fonction logarithme népérien.
a) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

$t_{i}$	0	2	4	6	8	10	12	14
$y_{i}$	-3,85

    b) Calculer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ des 4 premiers points $M_{i}\left(t_{i} ; y_{i}\right)$ du nuage.
Calculer de même les coordonnées de $G_{2}$ , point moyen des 4 derniers points du nuage.
    c) Déterminer l'équation réduite de la droite $\left(G_{1} G_{2}\right)$ . On suppose que cette droite constitue un ajustement affine convenable du nuage de points $M_{i}\left(t_{i} ; y_{i}\right)$ .

3. On admet, dans cette question, que $t$ et $y$ sont reliés par la relation $y = 0,74t - 3,91$ .
    a) Montrer alors que $x = \dfrac{720}{1 + \text{e}^{-0,74t + 3,91}}$ ce qui détermine $x$ comme fonction de $t$ sur $[0 ; +\infty[$ .
    b) Sur le graphique de la question 1., quel phénomène semble apparaître lorsque $t$ devient suffisamment grand ?
    c) Calculer $\displaystyle \lim_{t \to + \infty} x(t)$ . Ce résultat théorique est-il cohérent avec la réalité expérimentale ?

Correction

exercice 1

1. a) Pour tout $t$ de [0 ; 24], on a :
$\begin{matrix} f'(t)&=&\left( (3t + 1)\text{e}^{-0,15t}\right)'&=&(3t+1)'\text{e}^{-0,15t}+(3t+1)\left(\text{e}^{-0,15t}\right)'\\ &=&3\text{e}^{-0,15t}-0,15(3t+1)\text{e}^{-0,15t}&=&\left(3-0,15(3t+1)\right)\text{e}^{-0,15t}&=&(3-0,45t-0,15)\text{e}^{-0,15t} \\ &=&\boxed{(2,85-0,45t)\text{e}^{-0,15t}}\end{matrix}$

1. b) Puisque pour tout $t$ de [0 ; 24] : $e^{-0,15t}>0$ , le signe de $f'(t)$ est donc celui de $2,85-0,45t$ .
Puisque $-0,45t+,.85$ s'annule en $\dfrac{2,85}{0,45}=\dfrac{19}{3}$ , on a :
$\boxed{f'(t)\geq 0 \text{ dans } \left[0 ; \dfrac{19}{3} \tight] \text{ et } f'(t)\leq 0 \text{ dans } \left[\dfrac{19}{3} ; 24 \right]}$
Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline t & 0 & & \dfrac{19}{3} & & 24 \\ \hline f'(t) & & + & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} f &f(0)=1 & \croit & f(\dfrac{19}{3}) & \decroit & f(24) \\ \hline \end{tabvar}$

2. a)

$t$	0	2	4	6	8	10	12	16	20	24
$f(t)$	1,00	5,19	7,13	7,72	7,53	6,92	6,12	4,45	3,04	1,99

2. b) Le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A$ d'abscisse 0 est :
$f'(0)=(2,85-0,45 \times 0)\text{e}^{-0,15\times 0}=\boxed{2,85}$

2. c)

bac STL biochimie et génie biologique Polynésie Française Juin 2005 : image 2

3. D'après le graphique, les instants à une heure près pour lesquelles il y a 5 milliards de bactéries par ml sont : $\boxed{t\approx 2h \text{ et } t\approx 15h}$

exercice 2

1. Nuage :

bac STL biochimie et génie biologique Polynésie Française Juin 2005 : image 1

2. a) Tableau de valeurs :

$t_i$	0	2	4	6	8	10	12	14
$y_i$	-3,85	-2,42	-0,96	0,50	1,96	3,41	4,96	6,58

2. b) Coordonnées du point $G_1$ :
$t_{G_1}=\dfrac{0+2+4+6}{4}=\dfrac{12}{4}=3$ et $y_{G_1}=\dfrac{-3,85-2,42-0,96+0,50}{4}\approx -1,68$ donc : $\boxed{G_1(3;-1,68)}$
Coordonnées du point $G_2$ :
$t_{G_2}=\dfrac{8+10+12+14}{4}=\dfrac{44}{4}=11$ et $y_{G_2}=\dfrac{1,96+3,41+4,96+6,58}{4}\approx 4,23$ donc : $\boxed{G_2(11;4,23)}$

2. c) Cherchons une équation de la droite $(G_1G_2)$ sous la forme : $y=mt+p$ , il s'agit de trouver les coefficients $m$ et $p$ .
On a :
$\begin{matrix}\begin{cases} G_1\in (G_1G_2)\\G_2\in (G_1G_2)\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases}-1,68=3m+p\\ 4,23=11m+p\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases}-1,68=3m+p\\4,23+1,68=11m-3m+p-p\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow& \begin{cases}-1,68=3m+p\\ 5,91=8m\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases}p=-3m-1,68\\ m=\dfrac{5,91}{8}\approx 0,74\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow& \begin{cases}p=-3\times 0,74-1,68=-3,9\\ m\approx 0,74\end{cases}\end{matrix}$
On en déduit : $\boxed{(G_1G_2) : y=0,74t-3,9}$

3 .a) On a $y = 0,74t - 3,91$ et $y = \ln \left(\dfrac{x}{720 - x}\right)$ , donc :
$\begin{matrix}y=\ln \left(\dfrac{x}{720 - x}\right)&\Longleftrightarrow& e^{y}=\dfrac{x}{720 - x}&\Longleftrightarrow& (720 - x)e^{y}=x \\ &\Longleftrightarrow& 720e^{y}-xe^{y}=x &\Longleftrightarrow& 720e^{y}=x(1+e^{y})&\Longleftrightarrow& x=\dfrac{720e^{y}}{1+e^{y}}\\ &\Longleftrightarrow &x=\dfrac{720e^{-y}}{e^{-y}\left(1+e^{y}\right)}&\Longleftrightarrow& x=\dfrac{720}{e^{-y}+1}\\ &\Longleftrightarrow&\boxed{x = \dfrac{720}{1 + \text{e}^{-0,74t + 3,91}}}\end{matrix}$

3. b) D'après le graphique, le nombre d'individus semble stagner aux environs de 720 pour $t$ assez grand.

3. c) Puisque $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}e^{-t}=0$ , donc : $\displaystyle \lim_{t\to+\infty}x(t)=\lim_{t\to+\infty} \dfrac{720}{1 + \text{e}^{-0,74t + 3,91}}=\dfrac{720}{1}=\boxed{720}$
Ce qui correspond parfaitement à ce qu'on constate graphiquement dans 3. b).

Publié par TP/dandave le 14-02-2014

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