Fiche de mathématiques

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Bac Technologique 2005 - Sciences et Techniques de Laboratoire - Biochimie, Génie Biologique

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen est autorisé.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

10 points

exercice 1

Une épidémie due au virus Ebola sévit dans une région composée de 125 000 habitants. On estime que 18 750 personnes sont contaminées par ce virus.
Une stratégie de dépistage, à l'aide d'un test biologique, est mise en place.
On observe les résultats suivants :
quand la personne est contaminée par le virus Ebola, le test est positif dans 99,6% des cas.
quand la personne n'est pas contaminée par ce virus, le test est négatif dans 97,6% des cas.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

	Nombre de personnes contaminées	Nombre de personnes non contaminées	Total
Test positif
Test négatif
Total			125 000

Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à 10^-4 près.

2. On choisit au hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.
On considère les événements :
A : "La personne est contaminée par le virus Ebola"
B : "La personne a un test positif"
a) Calculer la probabilité de chacun des événements A et B.
b) Ecrire à l'aide d'une phrase l'événement A $\cap$ B et calculer sa probabilité.
Ecrire à l'aide des événements A et B l'événement : "la personne est contaminée par le virus Ebola ou a un test positif" et calculer sa probabilité.
c) Calculer la probabilité p₁ que la personne ait un test positif et ne soit pas contaminée par le virus Ebola.
Calculer la probabilité p₂ que la personne ait un test négatif et soit contaminée par le virus Ebola.
Calculer la probabilité p₃ que le test donne un résultat faux.

3. On choisit maintenant au hasard une personne ayant un test négatif, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.
Quelle est la probabilité qu'elle soit contaminée par le virus Ebola ? 10 points

exercice 2

On considère la fonction f définie sur [0; + $\small \infty$ [ par $f(x) = \displaystyle \frac{3exp^{4x} - 1}{exp^{4x} + 1}$ .
$\mathcal{C}$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique : 5 cm).

1. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation sur [0; + $\small \infty$ [.
2. Calculer la limite de f en + $\small \infty$ (on pourra montrer que $f(x) = \frac{3 - exp^{-4x}}{1 + exp^{-4x}}$ ).
3. Donner les valeurs approchées à 10^-2 près de f(x) pour les valeurs suivantes de x : 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2 et 1,4.
4. Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
5. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et sa tangente $\mathcal{T}$ .
6. Montrer que $f(x) = \frac{3exp^{3x} - exp^{-x}}{exp^{3x} + exp^{-x}}$ .
On considère la fonction F, définie sur [0; + $\small \infty$ [ par $F(x) = \ln(exp^{3x} + exp^{-x}) + 1$ .
Expliquer pourquoi F est une primitive de f sur [0; + $\small \infty$ [.

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exercice 1

	Nombre de personnes contaminées	Nombre de personnes non contaminées	Total
Test positif	18 675	2 550	21 225
Test négatif	75	103 700	103 775
Total	18 750	106 250	125 000

Quand la personne est contaminée par le virus Ebola, le test est positif dans 99,6% des c as. Il y a 18 750 personnes contaminées.
Le test est donc positif pour $\frac{99,6}{100} \times 18750$ = 18 675 personnes.

Quand la personne n'est pas contaminée par le virus Ebola, le test est négatif dans 97,6% des cas. Il y a 106 250 personnes non contaminées.
Le test est donc négatif pour $\frac{97,6}{100} \times 106250$ = 103 700 personnes.

2. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.

2. a) Probabilité de l'événement A :
$\text{p(A) = \frac{nombre de personnes contaminees par le virus Ebola}{nombre total de personnes}} = \frac{18 750}{125 000} = 0,15$

Probabilité de l'événement B :
$\text{p(B) = \frac{nombre de personnes ayant un test positif}{nombre total de personnes}} = \frac{21225}{125000} = 0,1698$

2. b) Evénement A $\cap$ B :
A $\cap$ B : "la personne est contaminée par le virus Ebola et a un test positif".
$\text{p(A \cap B)} = \frac{18675}{125000} = 0,1494$

L'événement : "la personne est contaminée par le virus Ebola ou a un test positif" s'écrit $A \cup B$ , et on a :
$\text{p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)}\\ \hspace{55pt}= 0,15 + 0,1698 - 0,1494 = 0,1704$

2. c) Probabilité p₁ :
p₁ = $\text{p(\bar{A} \cap B)} = \frac{2 550}{125 000} = 0,0204$

Probabilité p₂ :
p₂ = $\text{p(A \cap \bar{B})} = \frac{75}{125 000} = 0,0006$

Probabilité p₃ :
Le test donne un résultat faux si la personne a un test positif et n'est pas contaminée par le virus Ebola ou si la personne a un test négatif et est contaminée par le virus Ebola. Ces deux événements sont incompatibles. Donc :
p₃ = p₁ + p₂ = 0,0204 + 0,0006 = 0,021

3. On choisit au hasard une personne ayant un test négatif. Toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.
Probabilité p que cette personne soit contaminée par le virus Ebola :
$\text{p = \frac{nombre de personnes contaminees par le virus Ebola}{nombre de personnes ayant un test negatif}} = \frac{75}{103 775} \approx 0,0007$

exercice 2

1. Variations de la fonction f :
La fonction f est dérivable sur [0; + $\small \infty$ [.
f est de la forme $\frac{u}{v}$ avec u = 3e^4x - 1 et v = e^4x + 1
Donc : u' = 12 e^4x et v' = 4 e^4x
Pour tout réel x de [0; + $\small \infty$ [, on a :
$f'(x) = \frac{12e^{4x}(e^{4x} + 1) - (3e^{4x} - 1) \times 4e^{4x}}{(e^{4x} + 1)^2}\\ \hspace{30pt}= \frac{4e^{4x}(3e^{4x} + 3 - 3e^{4x} + 1)}{(e^{4x} + 1)^2}\\ \hspace{30pt}= \frac{4e^{4x} \times 4}{(e^{4x} + 1)^2}\\ \hspace{30pt}= \frac{16e^{4x}}{(e^{4x} + 1)^2}$
Pour tout réel de [0; + $\small \infty$ [, 16e^4x > 0 et (e^4x + 1)² > 0.
On en déduit que pour tout réel x de l'intervalle [0; + $\small \infty$ [, f '(x) > 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur [0; + $\small \infty$ [.

Tableau de variations de la fonction f :
$\begin{array}{|c|lcr|} \hline x&0&\hspace{25pt}&+\infty \\ \hline f'(x)&&+&\\ \hline \hspace{1pt}&&&3\\ \text{Variations de f}&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&1&&\\ \hline \end{array}$

$f(0) = \frac{3e^{4 \times 0} - 1}{e^{4 \times 0} + 1} = \frac{3 \times 1 - 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$

2. Limite de $f$ en + $\small \infty$ :
Pour tout réel x de l'intervalle [0; + $\small \infty$ [, on a :
$f(x) = \frac{3e^{4x} - 1}{e^{4x} + 1}\\ \hspace{20pt}= \displaystyle \frac{e^{4x}\left(3 - \frac{1}{e^{4x}}\right)}{e^{4x}\left(1 + \frac{1}{e^{4x}}\right)} \hspace{25pt} \normalsize{\text{en factorisant par }} e^{4x}\\ \hspace{20pt}= \frac{3 - e^{-4x}}{1 + e^{-4x}}$

Etudions la limite en + $\small \infty$ :
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-4x} = 0$ , donc : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (3 - e^{-4x}) = 3\\ \text{et } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (1 + e^{-4x}) = 1$
Par division, on en déduit que : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$

x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4
f(x)	1	1,76	2,33	2,67	2,84	2,93	2,97	2,99

4. Coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 :
$f'(0) = \frac{16 \times e^{4 \times 0}}{(4^{4 \times 0} + 1)^2} = \frac{16}{4} = 4$

Donnons une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 :
Equation de la forme y = f '(0)(x - 0) + f(0).
D'où : $\mathcal{T}$ : y = 4x + 1

5.

sujet national du bac STL biochimie et génie biologique 2005 : image 1

Graphique

6. Pour tout réel x de l'intervalle [0; + $\small \infty$ [, on a :
$\frac{3e^{3x} - e^{-x}}{e^{3x} + e^{-x}} = \frac{e^{-x}\left(3e^{3x} \times e^x - 1\right)}{e^{-x}\left(e^{3x} \times e^x + 1\right)}\\ \hspace{60pt}= \frac{3e^{4x} - 1}{e^{4x} + 1} = f(x)$
D'où : pour tout réel x de l'intervalle [0; + $\small \infty$ [, $f(x) = \frac{3e^{3x} - e^{-x}}{e^{3x} + e^{-x}}$

F est dérivable sur [0; + $\small \infty$ [ et pour tout réel x de l'intervalle [0; + $\small \infty$ [, ona :
$F'(x) = \frac{3e^{3x} - e^{-x}}{e^{3x} + e^{-x}} = f(x)$
On en déduit alors que la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle [0; + $\small \infty$ [.

Publié par Tom_Pascal le 08-07-2005

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