Fiche de mathématiques
> >

Bac Technologique 2005 - Sciences et Techniques de Laboratoire - Biochimie, Génie Biologique

Partager :
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen est autorisé.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures
10 points

exercice 1

Une épidémie due au virus Ebola sévit dans une région composée de 125 000 habitants. On estime que 18 750 personnes sont contaminées par ce virus.
Une stratégie de dépistage, à l'aide d'un test biologique, est mise en place.
On observe les résultats suivants :
quand la personne est contaminée par le virus Ebola, le test est positif dans 99,6% des cas.
quand la personne n'est pas contaminée par ce virus, le test est négatif dans 97,6% des cas.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
  Nombre de personnes contaminées Nombre de personnes non contaminées Total
Test positif      
Test négatif      
Total     125 000


Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à 10-4 près.

2. On choisit au hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.
On considère les événements :
A : "La personne est contaminée par le virus Ebola"
B : "La personne a un test positif"
      a) Calculer la probabilité de chacun des événements A et B.
      b) Ecrire à l'aide d'une phrase l'événement A \cap B et calculer sa probabilité.
Ecrire à l'aide des événements A et B l'événement : "la personne est contaminée par le virus Ebola ou a un test positif" et calculer sa probabilité.
      c) Calculer la probabilité p1 que la personne ait un test positif et ne soit pas contaminée par le virus Ebola.
Calculer la probabilité p2 que la personne ait un test négatif et soit contaminée par le virus Ebola.
Calculer la probabilité p3 que le test donne un résultat faux.

3. On choisit maintenant au hasard une personne ayant un test négatif, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.
Quelle est la probabilité qu'elle soit contaminée par le virus Ebola ? 10 points

exercice 2

On considère la fonction f définie sur [0; +\small \infty[ par f(x) = \displaystyle \frac{3exp^{4x} - 1}{exp^{4x} + 1}.
\mathcal{C} est sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique : 5 cm).

1. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation sur [0; +\small \infty[.
2. Calculer la limite de f en +\small \infty (on pourra montrer que f(x) = \frac{3 - exp^{-4x}}{1 + exp^{-4x}}).
3. Donner les valeurs approchées à 10-2 près de f(x) pour les valeurs suivantes de x : 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2 et 1,4.
4. Déterminer le coefficient directeur de la tangente \mathcal{T} à \mathcal{C} au point d'abscisse 0.
5. Tracer la courbe \mathcal{C} et sa tangente \mathcal{T}.
6. Montrer que f(x) = \frac{3exp^{3x} - exp^{-x}}{exp^{3x} + exp^{-x}}.
On considère la fonction F, définie sur [0; +\small \infty[ par F(x) = \ln(exp^{3x} + exp^{-x}) + 1.
Expliquer pourquoi F est une primitive de f sur [0; +\small \infty[.



exercice 1



1.
Nombre de personnes contaminées Nombre de personnes non contaminées Total
Test positif 18 675 2 550 21 225
Test négatif 75 103 700 103 775
Total 18 750 106 250 125 000


Quand la personne est contaminée par le virus Ebola, le test est positif dans 99,6% des c as. Il y a 18 750 personnes contaminées.
Le test est donc positif pour \frac{99,6}{100} \times 18750 = 18 675 personnes.

Quand la personne n'est pas contaminée par le virus Ebola, le test est négatif dans 97,6% des cas. Il y a 106 250 personnes non contaminées.
Le test est donc négatif pour \frac{97,6}{100} \times 106250 = 103 700 personnes.

2. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.

2. a) Probabilité de l'événement A :
\text{p(A) = \frac{nombre de personnes contaminees par le virus Ebola}{nombre total de personnes}} = \frac{18 750}{125 000} = 0,15

Probabilité de l'événement B :
\text{p(B) = \frac{nombre de personnes ayant un test positif}{nombre total de personnes}} = \frac{21225}{125000} = 0,1698

2. b) Evénement A \cap B :
A \cap B : "la personne est contaminée par le virus Ebola et a un test positif".
\text{p(A \cap B)} = \frac{18675}{125000} = 0,1494

       L'événement : "la personne est contaminée par le virus Ebola ou a un test positif" s'écrit A \cup B, et on a :
\text{p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)}\\ \hspace{55pt}= 0,15 + 0,1698 - 0,1494 = 0,1704

2. c) Probabilité p1 :
p1 = \text{p(\bar{A} \cap B)} = \frac{2 550}{125 000} = 0,0204

       Probabilité p2 :
p2 = \text{p(A \cap \bar{B})} = \frac{75}{125 000} = 0,0006

       Probabilité p3 :
Le test donne un résultat faux si la personne a un test positif et n'est pas contaminée par le virus Ebola ou si la personne a un test négatif et est contaminée par le virus Ebola. Ces deux événements sont incompatibles. Donc :
p3 = p1 + p2 = 0,0204 + 0,0006 = 0,021

3. On choisit au hasard une personne ayant un test négatif. Toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.
Probabilité p que cette personne soit contaminée par le virus Ebola :
\text{p = \frac{nombre de personnes contaminees par le virus Ebola}{nombre de personnes ayant un test negatif}} = \frac{75}{103 775} \approx 0,0007

exercice 2

1. Variations de la fonction f :
La fonction f est dérivable sur [0; +\small \infty[.
f est de la forme \frac{u}{v} avec u = 3e4x - 1   et   v = e4x + 1
Donc : u' = 12 e4x   et   v' = 4 e4x
Pour tout réel x de [0; +\small \infty[, on a :
f'(x) = \frac{12e^{4x}(e^{4x} + 1) - (3e^{4x} - 1) \times 4e^{4x}}{(e^{4x} + 1)^2}\\ \hspace{30pt}= \frac{4e^{4x}(3e^{4x} + 3 - 3e^{4x} + 1)}{(e^{4x} + 1)^2}\\ \hspace{30pt}= \frac{4e^{4x} \times 4}{(e^{4x} + 1)^2}\\ \hspace{30pt}= \frac{16e^{4x}}{(e^{4x} + 1)^2}
Pour tout réel de [0; +\small \infty[, 16e4x > 0   et   (e4x + 1)² > 0.
On en déduit que pour tout réel x de l'intervalle [0; +\small \infty[, f '(x) > 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur [0; +\small \infty[.

Tableau de variations de la fonction f :
\begin{array}{|c|lcr|} \hline  x&0&\hspace{25pt}&+\infty \\  \hline  f'(x)&&+&\\  \hline  \hspace{1pt}&&&3\\ \text{Variations de f}&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&1&&\\  \hline  \end{array}

f(0) = \frac{3e^{4 \times 0} - 1}{e^{4 \times 0} + 1} = \frac{3 \times 1 - 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1

2. Limite de f en +\small \infty :
Pour tout réel x de l'intervalle [0; +\small \infty[, on a :
f(x) = \frac{3e^{4x} - 1}{e^{4x} + 1}\\ \hspace{20pt}= \displaystyle \frac{e^{4x}\left(3 - \frac{1}{e^{4x}}\right)}{e^{4x}\left(1 + \frac{1}{e^{4x}}\right)} \hspace{25pt} \normalsize{\text{en factorisant par  }} e^{4x}\\ \hspace{20pt}= \frac{3 - e^{-4x}}{1 + e^{-4x}}

Etudions la limite en +\small \infty :
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-4x} = 0, donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (3 - e^{-4x}) = 3\\ \text{et } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (1 + e^{-4x}) = 1
Par division, on en déduit que : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3

3.

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
f(x) 1 1,76 2,33 2,67 2,84 2,93 2,97 2,99


4. Coefficient directeur de la tangente à \mathcal{T} à \mathcal{C} au point d'abscisse 0 :
f'(0) = \frac{16 \times e^{4 \times 0}}{(4^{4 \times 0} + 1)^2} = \frac{16}{4} = 4

Donnons une équation de la tangente \mathcal{T} à \mathcal{C} au point d'abscisse 0 :
Equation de la forme y = f '(0)(x - 0) + f(0).
D'où : \mathcal{T} : y = 4x + 1

5.
sujet national du bac STL biochimie et génie biologique 2005 : image 1

Graphique


6. Pour tout réel x de l'intervalle [0; +\small \infty[, on a :
\frac{3e^{3x} - e^{-x}}{e^{3x} + e^{-x}} = \frac{e^{-x}\left(3e^{3x} \times e^x - 1\right)}{e^{-x}\left(e^{3x} \times e^x + 1\right)}\\ \hspace{60pt}= \frac{3e^{4x} - 1}{e^{4x} + 1} = f(x)
D'où : pour tout réel x de l'intervalle [0; +\small \infty[, f(x) = \frac{3e^{3x} - e^{-x}}{e^{3x} + e^{-x}}

F est dérivable sur [0; +\small \infty[ et pour tout réel x de l'intervalle [0; +\small \infty[, ona :
F'(x) = \frac{3e^{3x} - e^{-x}}{e^{3x} + e^{-x}} = f(x)
On en déduit alors que la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle [0; +\small \infty[.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1336 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !