Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Juin 2005

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L'utilisation des calculatrices est autorisée. Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Deux feuilles de papier millimétré sont mises à la disposition du candidat.
Coefficient : 4     Durée : 3 heures
5 points

exercice 1

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument \frac{\pi}{2}.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) d'unité graphique 1 cm.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique : z² + 3z + 3 = 0.

2. On considère les nombres complexes z_1 = -\frac32 + \frac{\sqrt{3}}{2}i \text{ et } z_2 = \bar{z_1}.
   a) Ecrire z1 sous forme trigonométrique.
   b) Construire avec précision dans le repère (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) les points A et B d'affixes respectives z1 et z2.
On laissera apparents les traits de construction.

3. On appelle D le point d'affixe z_3 = \frac72 - \frac{\sqrt{3}}{2}i et K le point d'affixe z4 = 1.
   a) Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle \mathcal{C} de centre K.
   b) Montrer que le point K est le milieu du segment [AD].
   c) Dans le repère (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), placer les points K et D, et tracer le cercle \mathcal{C}.
Déterminer la nature du triangle ABD.


4 points

exercice 2

Une urne contient trois boules indiscernables au toucher, numérotées respectivement 1, 2 et 3.
Le jeu proposé est le suivant : on verse d'abord 10 euros, puis on effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise et on obtient ainsi un nombre à trois chiffres en notant dans l'ordre les trois numéros obtenus.
Par exemple, si on tire successivement 2, 3 et 1 on obtient le nombre 231.

Si les trois chiffres sont identiques, on reçoit 25 euros.
Si les trois chiffres sont tous différents, on reçoit 15 euros.
Si la somme des trois chiffres vaut 7, on reçoit 13 euros.
Dans tous les autres cas, on ne reçoit rien.

1. En s'aidant d'un arbre comme ci-dessous, donner la liste des 27 tirages possibles.
sujet national du bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2005 : image 1


2. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque nombre à trois chiffres obtenu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire la différence : somme reçue moins le versement initial).
   a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
   b) Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
   c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.


11 points

probleme

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire g

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0; +\infty[ par : g(x) = \ln x - 2x^2 - 1.
1. Soit g' la fonction dérivée de la fonction g.
Calculer g'(x). Etudier le signe de g'(x) sur l'intervalle ]0; +\infty[.
Dresser le tableau de variations de la fonction g dans lequel on précisera la valeur exacte de l'extremum (aucune limite n'est demandée).

2. Déduire du 1. que la fonction g est négative sur l'intervalle ]0; +\infty[.

Partie B : Etude d'une fonction f

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +\infty[ par f(x) = 1 - 2x - \dfrac{\ln x}{x}.
On appelle \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) d'unité graphique 2 cm.

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en +\small \infty.
    b) Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. Soit \mathcal{D} la droite d'équation y = 1 - 2x.
    a) Démontrer que la droite \mathcal{D} est asymptote à la courbe \mathcal{C}.
    b) Etudier la position de la courbe \mathcal{C} par rapport à la droite \mathcal{D}.

3. a) Soit f ' la fonction dérivée de la fonction f.
Démontrer que, pour tout x de l'intervalle ]0; +\small \infty[, f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}.
    b) En utilisant la partie A, déduire le signe de f '(x) sur l'intervalle ]0; +\small \infty[ et dresser le tableau de variations de la fonction f.

4. Tracer la droite \mathcal{D} et la courbe \mathcal{C} dans le repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).

Partie C : Calcul d'une aire

On considère la fonction h définie sur l'intervalle ]0; +\small \infty[ par h(x) = \frac12\left(\ln x\right)^2.

1. On désigne par h' la fonction dérivée de la fonction h.
Calculer h'(x) pour tout réel x de l'intervalle ]0; +\small \infty[.

2. On désigne par A la mesure, exprimée en cm², de l'aire de la partie du plan comprise entre la droite \mathcal{D}, la courbe \mathcal{C} et les droites d'équations x = 1 et x = e.
   a) Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
   b) Calculer la valeur exacte du nombre réel A.



exercice 1

1. Résolvons dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation z² + 3z + 3 = 0 :
Calculons le discriminant : \Delta = 3² - 4 × 1 × 3 = 9 - 12 = -3
L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées : \dfrac{-3 - i\sqrt{3}}{2} \text{ et } \dfrac{-3 + i\sqrt{3}}{2}

2. a) z1 sous forme trigonométrique :
|z_1| = \sqrt{\left(-\frac32\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac94 + \frac34} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}
Notons \theta_1 un argument de z1. On a :
\cos \theta_1 = \frac{-\frac32}{\sqrt{3}} = -\frac32 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ et } \sin \theta_1 = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac12
Donc : \theta_1 = \frac{5\pi}{6}(2\pi)
D'où : z_1 = \sqrt{3}\left(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}\right)

2. b) cf graphique
Construction du point A :
On peut trace le cercle de centre O et de rayon 1. On sait qu'un argument de z1 est \frac{5\pi}{6}, on place donc sur ce cercle le point A1 d'abscisse négative et d'ordonnée \frac12.
De plus, on sait que l'abscisse du point A est égale à -\frac32. On trace la droite d'équation x = -\frac32. Le point A est à l'intersection de cette droite et de la droite (OA1).

Construction du point B :
On sait que z2 = \bar{z_1}, donc le point B est le symétrique du point A par rapport à l'axe des abscisses.

3. a) Montrons que les points A, B et D appartiennent à un cercle \mathcal{C} de centre K :
KA = |z1 - z4| = \left|-\frac32 + \frac{\sqrt{3}}{2}i - 1\right| = \left|-\frac52 + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right| = \sqrt{\left(-\frac52\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac34} = \frac{\sqrt{28}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}
KB = |z2 - z4| = \left|-\frac32 - \frac{\sqrt{3}}{2}i - 1\right| = \left|-\frac52 - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right| = \sqrt{\left(-\frac52\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{7}
KD = |z3 - z4| = \left|\frac72 - \frac{\sqrt{3}}{2}i - 1\right| = \left|\frac52 - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right| = \sqrt{\left(\frac52\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7}

3. b) Montrons que le point K est le milieu du segment [AD] :
Déterminons l'affixe du milieu du segment [AD] : \frac{z_1 + z_3}{2} = \frac{-\frac32 + \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac72 - \frac{\sqrt{3}}{2}i}{2} = \frac{\frac42}{2} = \frac44 = 1 = z_K
D'où : le point K est le milieu du segment [AD].

3. c) cf graphique
K est le centre du cercle de diamètre [AD]. B est un point de ce cercle.
On en déduit alors que le triangle ABD est rectangle en B.

sujet national du bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2005 : image 2

Graphique 1
4 points

exercice 2

1. Liste des 27 tirages possibles :
Les trois boules sont indiscernables au toucher, nous sommes dans une situation d'équiprobabilité.
111-112-113-121-122-123-131-132-133
211-212-213-221-222-223-231-232-233
311-312-313-321-322-323-331-332-333

2. a) Valeurs prises par la varible aléatoire X :
Si les trois chiffres sont identiques, le gain algébrique est de 25 - 10 = 15.
Si les trois chiffressont tous différents, le gain algébrique est de 15 - 10= 5.
Si la somme des trois chiffres vaut 7, le gain algébrique est de 13 - 10 = 3.
Dans tous les autres cas, le gain algébrique est de 0 - 10 = -10
La variable aléatoire X peut prendre les valeurs suivantes : -10; 3; 5; 15.

2. b) Loi de probabilité de la variable aléatoire X :
x -10 3 5 15
p(X = x) \frac{12}{27} = \frac49 \frac{6}{27} = \frac29 \frac{6}{27} = \frac29 \frac{3}{27} = \frac19

On peut vérifier que la somme des probabilités est bien égale à 1.

2. c) Espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X :
E(X) = -10 \times \frac49 + 3 \times \frac29 + 5 \times \frac29 + 15 \times \frac19\\ \hspace{30pt}= \frac{-40}{9} + \frac{6}{9} + \frac{10}{9} + \frac{15}{9}\\ \hspace{30pt}= -1




probleme

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire g

1. g'(x) = \dfrac{1}{x} - 4x = \dfrac{1 - 4x^2}{x} = \frac{(1 - 2x)(1 + 2x)}{x}
Pour tout réel x de l'intervalle ]0; +\infty[, x > 0 et 1 + 2x > 0.
Donc, g '(x) est du signe de 1 - 2x sur ]0; +\small \infty[.
Or, 1 - 2x > 0 si x < \frac12
D'où : g '(x) est positive si x appartient à l'intervalle \left]0; \frac12 \right] et g '(x) est négative si x appartient à l'intervalle \left[\frac12; +\infty \right[

On en déduit alors que la fonction g est croissante sur \left]0; \frac12 \right] et décroissante sur \left[\frac12; +\infty \right[.

Tableau de variations de la fonction g :
\begin{array}{|c|lcccr|} \hline  x&0&&\frac12&&+\infty\\ \hline  g'(x)&&+&0&-&\\ \hline  \hspace{1pt}&&&-\ln2 - \frac32&&\\ g&&\nearrow&&\searrow&\\ \hspace{1pt}&&&&&\\ \hspace{1pt}&&&&&\\ \hline \end{array}

g\left(\frac12\right) = \ln \frac12 - 2 \times \left(\frac12\right)^2 - 1

2. De la question précédente, en on déduit que la fonction g admet un maximum atteint en \frac12 et ce maximum est strictement négatif.
On en déduit alors que la fonction g est négative sur l'intervalle ]0; +\small \infty[.

Partie B : Etude d'une fonction f

1. a) Limite de f en +\infty :
\left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (1 - 2x) = -\infty\\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0} \end{array} \right \rbrace  \hspace{5pt} \text{ Donc par soustraction : } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 - 2x - \frac{\ln x}{x} \right) = -\infty
D'où : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

1. b) Limite de f en 0 :
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 0} \ln x = -\infty\\\displaystyle \lim_{x \to^{x > 0} 0} \frac{1}{x} = +\infty \end{array} \right \rbrace  \hspace{5pt} \text{ Donc par multiplication : } \displaystyle \lim_{x \to 0} -\left(\frac{\ln x}{x}\right) = +\infty\\ \text{et } \displaystyle \lim_{x \to 0} (1 - 2x) = 1
D'où, par addition, on en conclut que : \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = +\infty

2. a) Montrons que la droite \mathcal{D} est asymptote à la courbe \mathcal{C} :
On a :
f(x) - (1 - 2x) = 1 - 2x - \frac{\ln x}{x} - 1 + 2x = - \frac{\ln x}{x}
Or, \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(- \frac{\ln x}{x}\right) = 0.
Donc : \displaystyle \lim_{x \to 0} [f(x) - (1 - 2x)] = 0. On en déduit alors que la droite \mathcal{D} est asymptote oblique à la courbe \mathcal{C} au voisinage de +\small \infty.

2. b) Position de la courbe \mathcal{C} par rapport à la droite \mathcal{D} :
Etudions le signe de f(x) - (1 - 2x), c'est-à-dire le signe de \left(- \frac{\ln x}{x}\right).
Pour tout réel x de l'intervalle ]0; +\small \infty[, x > 0.
\left(- \frac{\ln x}{x}\right) est donc du signe de - ln x sur ]0; +\small \infty[.
Or, \ln x \geq 0 \text{ si } x \geq 1; \hspace{15pt} \ln x \leq 0 \text{ si } 0 < x \leq 1.
Donc : f(x) - (1 - 2x) \geq 0 \text{ si } 0 < x \leq 1 \text{ et } f(x) - (1 - 2x)\leq 0 \text{ si } x \geq 1
D'où : \mathcal{C} est au-dessus de la droite \mathcal{D} sur ]0; 1] et \mathcal{C} est en-dessous de la droite \mathcal{D} sur [1; +\small \infty[

3. a) Pour tout x de l'intervalle ]0; +\small \infty[, on a :
f'(x) = -2 - \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2}\\ \hspace{10pt}= \frac{-2x^2 - 1 + \ln x }{x^2}\\ \hspace{10pt}= \frac{g(x)}{x^2}

3. b) Signe de f '(x) sur l'intervalle ]0; +\small \infty[ :
Pour tout réel x de l'intervalle ]0; +\small \infty[, x² > 0.
f '(x) est donc du signe de g(x) sur ]0; +\small \infty[.
Or, d'après la question A.2, on sait que g(x) est négative sur l'intervalle ]0; +\small \infty[.
On en conclut que f '(x) est négative sur l'intervalle ]0; +\small \infty[.
La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle ]0; +\small \infty[.

Tableau de variations de la fonction f :
\begin{array}{|c|lcr|} \hline  x&0&&+\infty\\ \hline  \hspace{1pt}&+\infty&&\\ f&&\searrow&\\ &&&-\infty\\ \hline \end{array}

4. cf graphique

Partie C : Calcul d'une aire

1. Pour tout réel x de l'intervalle ]0; +\small \infty[ :
h'(x) = \frac12 \times 2 \ln x \times \frac{1}{x}\\ \hspace{10pt}= \frac{\ln x}{x}

2. a) cf graphique

2. b) Sur [1; e], la droite D est au-dessus de la courbe C, on a donc :
A = \displaystyle \int_1^e [(1 - 2x) - f(x)] dx
\displaystyle \int_1^e [(1 - 2x) - f(x)] dx = \int_1^e \frac{\ln x}{x} dx\\  = \left[h(x)\right]_1^e\\  = h(e) - h(1)\\  = \frac12 (\ln e)^2 - \frac12 (\ln 1)^2\\  = \frac12 \times 1\\  = \frac12 \text{ u.a.}
D'où : A= \frac12 \times 2^2 = 2 cm².

sujet national du bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2005 : image 3

Graphique 2

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