Fiche de mathématiques
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Bac Sciences et Technologies Tertiaires 2005 - Pondichéry

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Action et Communication Administratives - Action et Communication Commerciales
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures
10 points

exercice 1

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.



Partie 1

Dans une station balnéaire, on a intérrogé 600 touristes, français ou étrangers, sur leur séjour.
Tous ont répondu être, soit au camping, soit à l'hôtel, soit en location.
10 % des touristes sont logés à l'hôtel.
40% des touristes étrangers sont dans un camping.
40% des touristes étrangers ont choisi une location.
il y a deux fois plus de touristes français en camping qu'en location.

1. a) Sachant que 48 touristes étrangers sont à l'hôtel, montrer que le nombre de touristes étrangers interrogés est 240. En déduire le nombre de touristes français interrogés.
  b) Montrer que le nombre de touristes français en location est 116.
  c) Montrer que le nombre de touristes en camping est 328.
  d) Reproduire et compléter le tableau suivant :
CampingLocationHôtelTotal
Français    
Etrangers  48 
Total   600

2. Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
On choisit au hasard une personne parmi les 600 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.
On considère les évènements :
    A : "La personne interrogée est un touriste étranger".
    B : "La personne interrogée séjourne dans un camping".
a) Calculer les probabilités p(A) et p(B) des événements A et B.
b) Calculer la probabilité p(C) de l'événement C : "La personne interrogée est un touriste étranger et séjourne dans un camping".
c) Calculer la probabilité p(A \small \cup B) de l'évènement A \small \cup B.
d) On sait que la personne interrogée est en location. Calculer la probabilité qu'elle soit un touriste français.



Partie 2

Durant l'année 2004, le nombre de familles qui ont loué un emplacement au "camping de la plage" est 500.
Le directeur prévoit pour l'avenir une augmentation annuelle de 5%.
On désigne par :
u0 le nombre de familles reçues au camping en 2004 (u0 = 500),
u1 le nombre de familles reçues au camping en 2005,
u2 le nombre de familles reçues au camping en 2006,
...
un le nombre de familles reçues au camping en 2004 + n.

1. Calculer u1 et u2.
2. Exprimer un + 1 en fonction de un.
Quelle est la nature de la suite (un) ? Préciser sa raison.
3. En supposant que la tendance se poursuive, combien de familles le directeur peut-il espérer pour l'année 2011 ? 10 points

exercice 2

Une entreprise a conçu un logiciel de gestion de camping. Pour décider du prix de vente de ce logiciel, elle a effectué une enquête auprès de 100 campings susceptibles de l'acheter.
Le résultat est donné dans le tableau suivant où x désigne le prix de vente proposé, en euros, et y le nombre de campings qui acceptent d'acheter le logiciel à ce prix.

xi 600 650 700 750 800 850 900 990
yi 76 70 65 61 55 49 45 39


1. a) Ainsi, par exemple, 39 campings achèteraient le logiciel s'il était vendu 990 euros.
Quel serait, dans ce cas, le chiffre d'affaires ?
  b) Parmi les 8 prix proposés, quel est celui qui permettrait à l'entreprise de réaliser le meilleur chiffre d'affaires ?

Dans les questions suivantes, on étudie une amélioration du résultat précédent.
2. a) Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points Mi(xi; yi).
Unités graphiques :
axe des abscisses : 2 cm pour 100 euros et commencer les graduations à partir de 500,
axe des ordonnées : 2 cm pour 10 campings.
  b) On appelle G le point moyen associé au nuage de points.
Calculer les coordonnées de G. Placer ce point sur le graphique.
  c) Déterminer une équation de la droite \small \Delta passant par G de coefficient directeur -0,1.
Construire cette droite sur le graphique.
3. On choisit la droite \small \Delta comme droite d'ajustement du nuage.
a) Pour un prix de vente du logiciel de x euros, quel serait le nombre y de logiciels que l'ont peut espérer vendre ?
b) En déduire que le chiffre d'affaires correspondant est -0,1x² + 135,5 x.
4. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [500; 1 000] par : f(x) = -0,1 x² + 135,5 x
a) Calculer f'(x) où f' désigne la dérivée de la fonction f.
b) Etudier le signe de f'(x), puis construire le tableau de variations de f.
c) Déterminer le nombre de logiciels à vendre et le prix de vente de ce logiciel afin d'obtenir le meilleur chiffre d'affaires. Donner également la valeur de ce chiffre d'affaires.



exercice 1

Partie 1

1. a) Nombre de touristes étrangers interrogés :
On sait que 40% des touristes étrangers sont dans un camping et que 40% des touristes étrangers ont choisi une location.
20% des touristes étrangers sont donc logés à l'hôtel. Or, on sait que 48 touristes sont à l'hôtel.

nombre de touristes étrangers logés à l'hôtel 20 48
nombre total de touristes étrangers 100  

Le nombre de touristes étrangers interrogés est donc \frac{48 \times 100}{20} = 240

Nombre de touristes français interrogés :
600 touristes sont interrogés. Parmi eux, 240 sont étrangers.
600 - 240 = 360 touristes français sont donc interrogés.

1. b) Nombre de touristes français en location :
On sait que 10% des touristes interrogés sont logés à l'hôtel, soit 600 \times \frac{10}{100} = 60 personnes.
Parmi ces 60 personnes, 48 sont des touristes étrangers.
IL y a donc 60 - 48 = 12 touristes français logés à l'hôtel.
Soit x le nombre de touristes français en location. On a alors :
12 + x + 2x = 360
(12 touristes français logés à l'hôtel, x touristes français en location, 2x touristes français en camping et 360 touristes français au total).
3x + 12 = 360
3x = 348
x = 348/3
x = 116
Il y a donc 116 touristes français en location.

1. c) Il y a 2 × 116 = 232 touristes français en camping.
Il y a 40% des touristes étrangers en camping, soit \frac{40}{100} \times 240 = 96 touristes.
Il y a donc 232 + 96 = 328 touristes en camping.

1. d) 40% des touristes étrangers sont en location, soit \frac{40}{100} \times 240 = 96 touristes.
CampingLocationHôtelTotal
Français23211612360
Etrangers969648240
Total32821260600


2. a) Il y a équiprobabilité pour chaque personne parmi les 600 d'être interrogée.
p(A) = \text{\frac{nombre de touristes etrangers}{nombre total de touristes}} = \frac{240}{600} = \frac25
p(B)= \text{\frac{nombre de touristes en camping}{nombre total de touristes}} = \frac{328}{600} = \frac{41}{75}

2. b) p(C) = p(A \small \cap B) = \text{\frac{nombre de touristes etrangers et en camping}{nombre total de touristes}} = \frac{96}{600} = \frac{4}{25}

2. c) p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = \frac25 + \frac{41}{75} - \frac{4}{25} = \frac{59}{75}

2. d) Probabilité pour que la personne interrogée résidant en location soit un touriste français :
p = \frac{116}{212} = \frac{29}{53}



Partie 2

1. Nombre de familles reçues au camping en 2005 :
u_1 = 500 + 500 \times \frac{5}{100}\\ \hspace{5pt} = 1,05 \times 500 (=1,05 \times u_0)\\ \hspace{5pt} = 525

Nombre de familles reçues au camping en 2006 :
u_2 = 525 + 525 \times \frac{5}{100}\\ \hspace{5pt} = 1,05 \times 525 (=1,05 \times u_1)\\ \hspace{5pt} \approx 551

2. u_{n + 1} = u_n + u_n \times \frac{5}{100} = 1,05 \times u_n
(un) est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme u0 = 500.
Donc : un = (1,05)n × u0 = (1,05)n × 500.

3. Pour l'année 2011 :
2 011 = 2 004 + 7
Donc : u7 = (1,05)7 × 500 \approx 703
Si la tendance se poursuit, le directeur peut espérer accueillir 703 familles dans son camping.

exercice 2

1. a) Si le logigiel était vendu 990 euros, alors 39 campings l'achèteraient.
Dans ce cas, le chiffre d'affaires serait de : 39 × 990 = 38 610 euros.

1. b) Si le logiciel est vendu 600 euros, le chiffre d'affaires serait de 76 × 600 = 45 600 €.
Si le logiciel est vendu 650 euros, le chiffre d'affaires serait de 70 × 650 = 45 500 €.
Si le logiciel est vendu 700 euros, le chiffre d'affaires serait de 65 × 700 = 45 500 €.
Si le logiciel est vendu 750 euros, le chiffre d'affaires serait de 61 × 750 = 45 750 €.
Si le logiciel est vendu 800 euros, le chiffre d'affaires serait de 55 × 800 = 44 000 €.
Si le logiciel est vendu 850 euros, le chiffre d'affaires serait de 49 × 850 = 41 650 €.
Si le logiciel est vendu 900 euros, le chiffre d'affaires serait de 45 × 900 = 40 500 €.
Si le logiciel est vendu 990 euros, le chiffre d'affaires serait de 39 × 990 = 38 610 €.
Donc, si l'entreprise vend son logiciel 750 €, elle réaliserait le meilleur chiffre d'affaires.

2. a)
sujet de bac 2005 -	Pondichéry : image 1


2. b) Coordonnées du point moyen G :
x_G = \frac{600 + 650 + 700 + 750 + 800 + 850 + 900 + 990}{8} = 780\\ y_G = \frac{76 + 70 + 65 + 61 + 55 + 49 + 45 + 39}{8} = 57,5
D'où : G(780; 57,5)

2. c) La droite \Delta a pour coefficient directeur -0,1. Son équation est donc de la forme y = -0,1x + b.
G appartient à la droite \Delta, donc :
y_G = -0,1 x_B + b\\ 57,5 = -0,1 \times 780 + b\\ b = 57,5 + 78\\ b = 135,5
D'où : \small \Delta a pour équation y = -0,1 x + 135,5.

3. a) Pour un prix de vente du logiciel de x euros, le nombre y de logiciels que l'on peut espérer vendre est égal à -0,1x + 135,5.

3. b) On vend -0,1x + 135,5 logiciels à x euros. Le chiffre d'affaires correspondant est donc : -0,1x² + 135,5x.

4. a) f est dérivable sur [500; 1 000] et :
f'(x) = -0,1 × 2x + 135,5 = -0,2x + 135,5.

4. b) Signe de f'(x) :
f'(x) \geq 0 \Longleftrightarrow -0,2x + 135,5 \geq 0\\ \hspace{70pt} -0,2x \geq -135,5\\ \hspace{70pt} x \leq \frac{135,5}{0,2}\\ \hspace{70pt} x \leq 677,5
D'où : f'(x) \geq 0 \text{ si } x \leq 677,5\\ f' \leq 0 \text{ si } x \geq 677,5
Donc : f est croissante sur [500; 677,5] et f est décroissante sur [677,5; 1 000].

Tableau de variations de f :
\begin{array}{|c|llcll|} \hline  x & 500 & & 677,5 & & 1000 \\ \hline  f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline  \hspace{1pt} & & & \approx 45 900 & & \\ f(x)& & \nearrow & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & 42 750 & & & & 35 500 \\ \hline  \end{array}

4. c) D'après le tableau de variations, la fonction f admet un maximum pour x = 677,5 et f(677,5) environegal 45 900.
Le nombre de logiciels à vendre est y = -0,1x + 135,5 = -0,1 × 677,5 + 135,5 = 67,75, soit 68.
Dans ce cas là, le prix de vente de ce logiciel est de x = \frac{68 - 135,5}{-0,1} = 675 €.
Le chiffre d'affaires est : 675 × 68 = 45 900 €.
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