Fiche de mathématiques
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Bac Technologique 2005 - Sciences et Technologies Tertiaires
Action et Communication Administratives - Action et Communication Commerciales

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L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures
11 points

exercice 1

Monsieur DUPRE, PDG d'une société fabriquant du mobilier urbain, s'intéresse au coût unitaire de production, en euros, ainsi qu'au bénéfice réalisé pendant une semaine.
On considère qu'il fabrique par semaine x lots de mobilier urbain où x est un entier compris entre 0 et 100.

Partie A

La courbe donnée en annexe 1 représente le coût unitaire de production f(x) en fonction du nombre x de lots fabriqués.
On fera figurer sur le graphique tous les tracés utiles.

1. Déterminer graphiquement le coût unitaire de production lorsque Monsieur DUPRE fabrique 70 lots.
Quelle autre quantité de lots fabriqués donne le même coût unitaire de production ?

2. Déterminer graphiquement la quantité de lots que l'entreprise doit produire pour que le coût unitaire soit minimal et préciser la valeur de ce coût.

3. On admet que f(x) a pour expression f(x) = x² + bx + 5000.
Déterminer le réel b sachant que le coût unitaire pour 100 lots est de 6600 euros.

Partie B

1. Montrer que le coût de production C(x) pour x lots produits est C(x) = x³ - 84x² + 5000x.

2. Chaque lot étant vendu 5000 euros, justifier que le bénéfice, exprimé en euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x lots est donné par la fonction B définie par :
B(x) = -x³ + 84x².

3. Vérifier que B(x) = x²(84 - x) et en déduire les valeurs de x pour lesquelles B(x) est strictement négatif.
Que va en déduire Monsieur Dupré pour sa production ?

4. a) Déterminer B'(x) où B' désigne la fonction dérivée de la fonction B, puis montrer que B'(x) = 3x(56 - x).
    b) Etudier le signe de B'(x) pour tout x élément de [0; 100] et dresser le tableau de variations de B sur [0; 100].
    c) En déduire le nombre xM de lots que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal BM.

sujet national du bac STT ACA ACC 2005 : image 1

Annexe 1
9 points

exercice 2

Le tableau suivant donne la répartition en 2005 des 270 employés de l'entreprise de Monsieur DUPRE suivant leur sexe et leur salaire mensuel en milliers d'euros.
Pour simplifier, les salaires ont été regroupés en classes.

Sexe \ Salaire S 1 \leq S < 2 2 \leq S < 3 3 \leq S < 4
Femme 150 40 30
Homme 10 20 20


1. a) On considère au hasard une employée travaillant dans cette entreprise, toutes les employées ayant la même probabilité d'être choisies.
Quelle est la probabilité qu'elle ait un salaire compris entre 3000 et 4000 euros ?
On arrondira le résultat au centième.
    b) On considère un salarié de cette entreprise disposant d'un salaire supérieur ou égal à 3000 euros. Quelle est la probabilité que ce salarié soit une femme ?

2.Pour les calculs de moyennes on prendra les centres des classes.
    a) Vérifier que le salaire moyen des femmes est 1955 euros (à un euro près).
    b) Calculer (à un euro près) le salaire moyen des hommes et le salaire moyen dans l'entreprise.

3. On considère maintenant l'entreprise de Monsieur DUCHAMP.
Le tableau suivant donne la répartition en 2005 des 270 employés de l'entreprise de Monsieur DUCHAMP suivant leur sexe et leur salaire mensuel en milliers d'euros. Pour simplifier, les salaires ont été regroupés en classes.

Sexe \ Salaire S 1 \leq S < 2 2 \leq S < 3 3 \leq S < 4
Femme 15 3 2
Homme 130 70 50


    a) Calculer la proportion (en pourcentage) des femmes dans chaque entreprise.
    b) Les salaires moyens de l'entreprise de Monsieur DUCHAMP ont été calculés (il est inutile de les vérifier) :
Le salaire moyen des femmes est 1850 euros.
Le salaire moyen des hommes est 2180 euros.
Le salaire moyen dans l'entreprise est 2156 euros.

Monsieur DUCHAMP déclare à Monsieur DUPRE : "En moyenne, mes salariés sont mieux payés que les vôtres".
Monsieur DUPRE répond : "Je ne suis pas d'accord. Dans mon entreprise, les femmes sont mieux payées que dans la vôtre et les hommes aussi sont mieux payés".
Ces deux déclarations sont-elles exactes ? Justifier.

    c) Comment peut s'expliquer le fait que ces deux déclarations semblent contradictoires ?



exercice 1

Partie A

sujet national du bac STT ACA ACC 2005 : image 2


1. Graphiquement, pour x = 70, on trouve f(x) = 4000 (tracé rouge).
Le coût unitaire de production lorsque Monsieur DUPRE produit 70 lots est donc de 4000 €.
On observe sur le graphique (tracé bleu) que cette valeur peut également être atteinte lorsque x = 14, donc lorsque Monsieur DUPRE produit 14 lots.

2. Graphiquement (tracé vert), on détermine que le minimum est atteint lorsque x = 42 et qu'alors f(x) = 3250.
Le coût unitaire de production est donc minimal si l'on produit 42 lots ; il vaut alors 3250 €.

3. Il s'agit de résoudre l'équation : f(100) = 6600.
f(100) = 6600 \\ \Longleftrightarrow \, 100^2 + b\times 100 + 5000 = 6600 \\ \Longleftrightarrow \, 10000 + 100 b + 5000 = 6600 \\ \Longleftrightarrow \, 100 b = 6600 - 15000 \\ \Longleftrightarrow \, 100 b = -8400 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{b = -84}

Partie B

1. Le coût unitaire de production est alors : f(x) = x^2 - 84x + 5000.
Le coût de production de x unités est donc : C(x) = x\times f(x)=x(x^2-84x+5000) = x^3-84x^2+5000x

2. La recette réalisée en vendant x unités au prix de 5000 €/unité est : R(x)=5000x.
Par définition, le bénéfice réalisé est la différence entre la recette réalisée et le coût de production, donc :
B(x)=R(x)-C(x)=5000x-(x^3-84x^2+5000x)=5000x-x^3+84x^2-5000x=-x^3+84x^2

3. x^2(84-x) = 84x^2-x^3=-x^3+84x^2 = B(x)
Or un carré est toujours positif ou nul, donc pour x\neq0, B(x) est du signe de 84 - x.
Sur ]0 ; 84], x \le 84 donc -x \ge -84 donc 84-x\ge0
Sur ]84 ; 100], x > 84 donc -x < -84 donc 84 - x < 0
S = ]84 ; 100]
Monsieur DUPRE ne doit donc pas produire plus de 84 lots, s'il ne vaut pas réaliser de pertes.

4. a) B est dérivable sur [0 ; 100] et pour tout x de [0 ; 100] : B(x) = -x^3+84x^2 donc
B'(x)=-3x^2+84\times2x=-3x^2+168x
Or 3x(56-x)=168x-3x^2 donc B'(x)=3x(56-x)

4. b) Pour x = 0, B(x) = B(0) = 0, B est nulle.
Pour x \neq 0, 3x > 0 donc B(x) est du signe de 56-x :
Sur ]0 ; 56[, x < 56, donc -x > -56 donc 56 - x > . B est positive.
Pour x = 56, 56 - x = 0. B est nulle.
Sur ]56 ; 100[, x > 56, donc -x < -56, donc 56 - x < 0. B est négative.
Tableau de variations :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x&0&&56&&100\\ \hline  {B'(x)}&0&+&0&-& \\ \hline  \hspace{1pt} &&&87808&&\\ {B(x)}&&\nearrow&&\searrow&\\ \hspace{1pt} &0&&&&-160000\\ \hline  \end{array}

4. c) D'après ce tableau de variations, le maximum de bénéfices est atteint pour xM =56 lots produits, et alors ce bénéfice s'élève à B(56) = -563 + 84 × 56² = 87 808 €.

exercice 2

1. a) Sur les 150 + 40 + 30 = 220 employées femmes, 30 ont un salaire compris entre 3000 et 4000 €, donc : p_F (3 \le S < 4) = \frac{30}{220} = \frac{3}{22} \approx 0,14

1. b) Sur les 30 + 20 = 50 salariés ayant un salaire supérieur ou égal à 3000 €, 30 sont des femmes, donc : p_{3 \le S < 4} (F) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0,6

2. a) Le salaire moyen des femmes est de : \bar {S_F} = \frac{150\times1500 + 40\times2500 + 30\times3500}{150 + 40 + 30} = \frac{430000}{220} = 1955

2. b) Le salaire moyen des hommes est de : \bar{S_H} = \frac{10\times1500+20\times2500+20\times3500}{10+20+20} = \frac{135000}{50}=2700
Le salaire moyen de l'ensemble des employés est de : \bar S = \frac{220\times1955+50\times2700}{220+50} = \frac{565000}{270}=2093

3. a) Chez Monsieur DUPRE, on a 220 femmes sur 270 employés donc p_F(\text{Dupre}) = \frac{220}{270}=81,48\%
Chez Monsieur DUCHAMP, elles sont 15 + 3 + 2 = 20 sur 270 employés donc p_F(\text{Duchamp}) = \frac{20}{270}=7,41\%

3. b) Le salaire moyen est de 2156 € chez Monsieur DUCHAMP contre 2093 € chez Monsieur DUPRE, la première déclaration est donc exacte : les salariés de Monsieur DUCHAMP sont en moyenne mieux payés que ceux de Monsieur DUPRE.
Le salaire moyen des femmes est de 1850 € chez Monsieur DUCHAMP contre 1955 € chez Monsieur DUPRE, donc les femmes sont en moyenne mieux payées chez Monsieur DUPRE. De même, le salaire moyen des hommes est de 2700 € chez Monsieur DUPRE contre 2180 € chez Monsieur DUCHAMP, donc les hommes sont en moyenne mieux payés chez Monsieur DUPRE. La deuxième déclaration est donc exacte.

3. c) Les deux déclarations sont donc exactes même si elles semblent contradictoires. Cela est du à la faible proportion de femmes chez Monsieur DUCHAMP par rapport à chez Monsieur DUPRE, et à la différence de salaire entre les hommes et les femmes.
Remarque : en statistiques, ce "paradoxe" est appelé "l'effet de structure".
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Aurelien_
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