Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Juin 2005

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

8 points

exercice 1

Un restaurateur a fait une étude statistique sur 8 000 clients ayant séjourné dans son restaurant et ayant choisi l'une des trois formules proposées :
    Formule $F_1$ : buffet et dessert
    Formule $F_2$ : buffet et plat
    Formule $F_3$ : plat et dessert

Il constate que :
    4 500 clients sont des femmes,
    43 % des femmes ont choisi $F_1$ ,
    1 575 femmes ont choisi $F_2$ ,
    3 clients sur 10 ont choisi $F_3$ ,
    32 % des clients ont choisi $F_1$ .

1. Reproduire et compléter le tableau :

	$F_1$	$F_2$	$F_3$	Total
Femmes
Hommes
Total				8 000

2. On sélectionne un client au hasard.
Déterminer les probabilités des événements suivants (arrondies à 10^-2 près).
    A : "le client a choisi $F_2$ ",
    B : "le client est une femme",
    C : "le client est un homme qui a choisi $F_1$ ".

3. Définir par une phrase, puis déterminer les probabilités des événements : $A\cap B$ ; $A\cup B$ ; $\overline A$

4. On sélectionne une femme au hasard.
Déterminer la probabilité de l'événement D :
    D : "la cliente a choisi une formule comprenant un plat".

12 points

exercice 2

Partie A

On considère les deux fonctions $U$ et $C$ définies sur [10 ; 80] par $U(x)=0,4 x^2+1$ et $C(x)=\ln (0,4 x^2+1)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. a) Calculer la dérivée $U'$ de la fonction $U$ .
b) En déduire que pour tout $x \in$ [10 ; 80], $C'(x)=\dfrac{0,8 x}{0,4 x^2+1}$ .

2. Étudier sur [10 ; 80] le signe de $C'(x)$ . En déduire le tableau de variations de la fonction $C$ .

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant les résultats arrondis à 10^-1 près.

$x$	10	15	20	25	30	40	60	80
$C(x)$								7,8

4. a) On munit le plan d'un repère orthogonal :
    1 cm pour 5 unités sur l'axe des abscisse,
    1 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.

Tracer dans ce repère la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $C$ .
    b) Dans le même repère, tracer la droite $\Delta$ d'équation $y=7,5$ .

Partie B

Un industriel envisage la production de 10 à 80 fauteuils pour un hôtel. Le coût de production de $x$ fauteuils est égal, en dizaines de milliers d'euros, à $C(x)=\ln (0,4 x^2+1)$ pour $x$ compris entre 10 et 80.

1. Déterminer, à l'aide du graphique précédent, le nombre maximum de fauteuils que l'industriel peut produire avec un budget de 75 000 euros.
Justifier la réponse.

2. Le prix de vente à l'hôtel d'un fauteuil est de 1 500 euros.
    a) Donner l'expression $R(x)$ du chiffre d'affaires de l'industriel exprimé en dizaines de milliers d'euros.
    b) Représenter la fonction $R$ définie sur [10 ; 80] par : $R(x)= 0,15 x$ dans le même repère que précédemment.
    c) L'hôtel passe une commande de 40 fauteuils. Est-ce rentable pour l'industriel ? Justifier par un calcul puis graphiquement (on fera apparaître les traits de construction).
    d) Quel est le nombre minimal de fauteuils à vendre pour que l'opération soit rentable pour l'industriel ?

Correction

exercice 1

1. Tableau de valeurs :

	$F_1$	$F_2$	$F_3$	Total
Femmes	1 935	1 575	990	4 500
Hommes	625	1 465	1 410	3 500
Total	2 560	3 040	2 400	8 000

2. Directement : $P(A)=\dfrac{3040}{3000}=\boxed{0,38} \text{ , } P(B)=\dfrac{4500}{8000}\approx\boxed{0,56} \text{ et } P(C)=\dfrac{625}{8000}\approx \boxed{0,08}$

3. Soit A et B deux événements liés à une même expérience aléatoire.
L'événement $A\cap B$ , qui se lit " $A \text{ inter } B$ " ou encore " $A \text{ et } B$ " est formé des issues qui réalisent à la fois $A$ et $B$ .
L'événement $A \cap B$ est : Le client est une femme qui a choisi F₂.
$P(A\cap B)= \dfrac{1575}{8000}\approx \boxed{0,2}$
L'événement $A\cup B$ , qui se lit " $A \text{ union } B$ " ou encore " $A \text{ ou } B$ " est formé des issues qui réalisent soit $A$ soit $B$ soit les deux.
L'événement $A\cup B$ est : Le client est une femme ou le client a choisi la formule F₂.
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\approx 0,38+0,56-0,2$
$P(A\cup B)\approx \boxed{0,75}$
L'évènement $\bar{A}$ est formé de toutes les issues qui ne réalisent pas $A$ . C'est l'événement contraire de A.
L'événement $\bar{A}$ est : Le client n'a pas choisi F₂.
$P(\bar{A}) = 1-P(A)=1-0,38=\boxed{0,62}$
4. $P(D)=\dfrac{1575+990}{4500}=\boxed{0,57}$

exercice 2

Partie A

1. a) Pour tout $x$ appartenant à [10 ; 80] : $U'(x)=\left(0,4 x^2+1\right)'=2\times 0,4x = \boxed{0,8x}$

1. b) On a pour tout $x$ de [10 ; 80] : $C(x)=\ln U(x)$
Donc : $C'(x)=\left(\ln U(x)\right)'=\dfrac{U'(x)}{U(x)}=\boxed{\dfrac{0,8x}{0,4x^2+1}}$

2. Sur [10 ; 80] on a : $0,4x^2+1>0$ et $0,8x>0$ , donc $C'(x)>0$ sur [10 ; 80].
Tableau de variation :
$\begin{tabvar}{|C|CCC|}\hline x& 10 & & 80 \\\hline C'(x) & &+ &\\\hline\niveau{2}{3} C& \ln(41)& \croit& \ln(2561) \\\hline\end{tabvar}$
$C(10)=\ln(0,4\times 10^2+1)=\ln(41)$ et $C(80)=\ln(0,4\times 80^2+1)=\ln(2561)$

3. Tableau d'image :

$x$	10	15	20	25	30	40	60	80
$C(x)$	3,7	4,5	5,1	5,5	5,9	6,5	7,3	7,8

4. a) et 4. b)

Bac hôtellerie Métropole 2005 - terminale : image 1

Partie B

1. Puisque le budget est de 75 000 euros, la courbe $\Gamma$ ne doit pas dépasser la droite $\Delta$ , donc le nombre maximum correspond à $\boxed{x=67\text{ fauteuils}}$

2. a) Puisque le chiffre d'affaires est égal au prix de vente multiplié par le nombre de fauteuils vendus, et puisqu'il est demandé de l'exprimer en dizaines de milliers d'euros, alors :
$R(x)=\dfrac{1500}{10000}x=\boxed{0.15x}$
2. b) Voir figure ci-dessus.

2. c) Le coût de 40 fauteuils est : $C(40)\approx 6.5$ (Voir tableau de la question 3.) tandis que le chiffre d'affaires pour 40 fauteuils est : $R(40)=0,15 \times 40=\boxed{6}$ , donc $R(40)<C(40)$ ce qui montre que l'opération n'est pas rentable.
Graphiquement, on peut déduire la même chose puisque au point $x=40$ , la courbe $\Gamma$ (correspondant à la fonction $C$ ) est au-dessus de la courbe de la fonction $R$ .

2. d) D'après le graphique, on constate qu'à partir $x\approx 44,5$ , la courbe de $R$ passe au-dessus de $\Gamma$ , ce qui montre qu'à partir de 44,5, l'opération devient rentable.
Or, le nombre de fauteuils doit évidemment être entier naturel, le nombre minimal de fauteuils à vendre pour que l'opération soit rentable est : 45 fauteuils

Publié par TP/dandave le 04-12-2013

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