Fiche de mathématiques
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Bac Littéraire
Enseignement de spécialité
Amérique du Nord - Session 2009

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Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.


5 points

exercice 1

On a réalisé une étude auprès d'une population étudiante d'une grande ville. Cette étude a permis d'établir que 60% des étudiants lisent un quotidien et que 50% des étudiants lisent un hebdomadaire. Parmi les étudiants lisant un quotidien, 75% lisent un hebdomadaire.
On choisit au hasard un étudiant de cette ville.
On note Q l'évènement «l'étudiant lit un quotidien» et H l'évènement «l'étudiant lit un hebdomadaire».

On pourra s'aider d'un tableau pour traiter l'exercice.
Dans tout l'exercice, on donnera les solutions sous forme de fractions irréductibles.

1. Calculer la probabilité de l'évènement «l'étudiant lit un quotidien et lit un hebdomadaire».

2. Montrer que la probabilité de l'évènement «l'étudiant lit un hebdomadaire et ne lit pas de quotidien» est égale à \dfrac{1}{20}.

3. Calculer la probabilité de l'évènement «l'étudiant lit un hebdomadaire ou lit un quotidien».

4. Calculer la probabilité que l'étudiant lise un quotidien sachant qu'il ne lit pas d'hebdomadaire.

5. Les événements Q et H sont-ils indépendants ?


5 points

exercice 2

Pour tout nombre entier naturel n, on pose A(n) = 5^n - 1.
Le but de l'exercice est d'étudier la divisibilité de A(n) par 13.

1. Calculer A(2),  A(3),  A(4). Sont-ils divisibles par 13 ?

2. On considère l'algorithme suivant :
 ENTRÉE : Saisir un nombre entier naturel non nul N.
 INITIALISATION : Affecter à m la valeur N.
 TRAITEMENT : Tant que m>6 affecter à m la valeur m-13.
 SORTIE : Afficher m.

    a) Faire fonctionner l'algorithme avec N=25 puis N=125.
    b) Qu'obtiendrait-on en sortie si on faisait fonctionner cet algorithme avec N=5^4 ?

3. a) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel k :
5^{4k}\equiv 1 modulo 13
5^{4k+1}\equiv 5 modulo 13
5^{4k+2}\equiv -1 modulo 13
5^{4k+3}\equiv -5 modulo 13
    b) Application : Quel est le reste dans la division euclidienne de 5^{2 009} - 1 par 13 ?
    c) Pour quelles valeurs de l'entier n, l'entier A(n) est-il divisible par 13 ?


4 points

exercice 3

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte.
Les questions sont indépendantes, on n'enlevera pas de point en cas de réponse fausse.
Pour chaque question, recopier la réponse exacte. Aucune justifiaction n'est demandée.

1. Sur le graphique ci-dessous sont représentées :
    la courbe \mathcal{C}_f représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle [-3\,;\,1];
    la tangente \mathcal{D} à la courbe \mathcal{C}_f au point d'abscisse -2.
Épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française juin 2009 - terminale : image 1
a) f'(-2)=2 b) f'(-2)=4 c) f(0)=-2,5 d) f(-2,5)=0


2. La fonction g, définie sur \mathbb{R} par g(x)=\dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}^x+1}, a pour dérivée la fonction g' définie sur \mathbb{R} par :
a) g'(x)=1 b) g'(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+1} c) g'(x)=\dfrac{2\text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2} d) g'(x)=\dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}^x+1}


3. La fonction h, définie sur \mathbb{R} par h(x)=\text{e}^{2x}+7\text{e}^x+6. L'image de \ln{3} par h est :
a) h(\ln{3})=6 b) h(\ln{3})=30+\text{e}^2 c) h(\ln{3})=0 d) h(\ln{3})=36


4. On note S l'ensemble des solutions dans \mathbb{R} de l'inéquation \ln{(x+2)}\le 1. On a :
a) S=]-2 ; \text{e}-2] b) S=]-\infty ; \text{e}-2] c) S=[\text{e}-2 ;+\infty [ d) S=[-2 ; \text{e}-2[



6 points

exercice 4

On a représenté en perspective cavalière un terrain de jeu carré horizontal et limité par deux murs verticaux. Le sol est pavé de dalles carrées et un lampadaire est positionné verticalement au centre du terrain.
Épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française juin 2009 - terminale : image 2
L'objectif de l'exercice est de représenter ce terrain en perspective centrale.
Toutes les constructions seront faites sur la feuille Annexe.
Le dessin devra être soigné et tous les traits de construction seront laissés apparents.

Sur la feuille annexe sont tracés :
    le segment [ab] représentant le côté [AB];
    la ligne d'horizon, le point de fuite principal \omega et un point de distance \delta.
On précise que la droite (ab) est parallèle à la ligne d'horizon.

1. Justifier que les droites (AD) et (BC) ont le même point de fuite.
Est-ce le point de fuite principal ? Si oui, pourquoi ?

2. Sur la feuille annexe, compléter la figure en représentant le sol du terrain ainsi que son pavage.

3. Sachant que la hauteur des murs est le tiers de la longueur du côté du terrain, représenter les murs.

4. Sachant que la hauteur du lampadaire est le double de la hauteur de celle du mur, représenter le lampadaire.

Épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française juin 2009 - terminale : image 3
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