Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Pondichéry - Session Avril 2009

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

7 points

exercice 1 - Commun à tous candidats

Bac scientifique Pondichéry Avril 2009 - terminale : image 1

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0, + $\infty$ [ par : $f(x)=xe^{-x^2}$ On désigne par $\matcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i} , \vec{j})$ du plan. Cette courbe est représentée ci-contre.

Partie A

1. a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ .
(On pourra écrire, pour $x$ différent de 0 : $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} \times \frac{x^2}{e^{x^2}}$ ).
b) Démontrer que $f$ admet un maximum en $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et calculer ce maximum.

2. Soit $a$ un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de $a$ , l'aire $F(a)$ de la partie du plan limitée par la courbe $\matcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = a$ . Quelle est la limite de $F(a)$ quand a tend vers + $\infty$ ?

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $\displaystyle u_n=\int_n^{n+1} f(x) dx$ .
On ne cherchera pas à expliciter $u_n$ .
1. a) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ différent de 0 et de 1, $f(n+1) \le u_n \le f(n)$
    b) Quel est le sens de variation de la suite $$u_n$_{n\ge2}$ ?
    c) Montrer que la suite $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite ?

2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif $n$ , $\displaystyle F(n) = \sum_{k=0}^{n-1}u_k$ .
    b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On donne ci-dessous les valeurs de $F(n)$ obtenues à l'aide d'un tableur, pour $n$ entier compris entre 3 et 7.

$n$	3	4	5	6	7
$F(n)$	0,4999382951	0,4999999437	0,5	0,5	0,5

Interpréter ces résultats.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u} , \vec{v})$ . On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A, B et C les points d'affixes respectives :
a = 3 - i , b = 1 - 3i et c = -1 - i. 1. a) Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
    b) Quelle est la nature du triangle ABC ?
    c) Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on calculera le rayon.

2. Soit M un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et N le point d'affixe notée $n$ , image de A dans la rotation r de centre M et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$ .
    a) Donner l'écriture complexe de la rotation r.
    b) En déduire une expression de $n$ en fonction de $m$ .

3. On appelle Q le milieu du segment [AN] et $q$ son affixe.
    Montrer que : $q=\dfrac{(1-i)m}{2}+2+i$ .

4. Dans cette question, M est un point du cercle $\Gamma$ .
    a) Justifier l'existence d'un réel $\theta$ tel que : $m=\sqrt{10}e^{i\theta}$ .
    b) Calculer $|q -2 -i|$ . Quel est le lieu $\Gamma'$ de Q lorsque M décrit le cercle $\Gamma$ ?

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u} , \vec{v})$ . On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A et B les points d'affixes respectives $z_A = i$ et $z_B = 1 + 2i$ .

1. Justifier qu'il existe une unique similitude directe $S$ telle que : $S(O) = A$ et $S(A)= B$ .

2. Montrer que l'écriture complexe de $S$ est: $z'=(1-i)z+i$ .
Préciser les éléments caractéristiques de $S$ (on notera $\Omega$ le centre de $S$ ).
On considère la suite de points $(A_n)$ telle que:
$A_0$ est l'origine du repère et,
pour tout entier naturel $n$ , $A_{n+l} = S$A_n$$ .
On note $z_n$ , l'affixe de $A_n$ (On a donc $A_0=O$ , $A_1=A$ et $A_2=B$ ).

3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $z_n = 1-(1-i)^n$
b) Déterminer, en fonction de $n$ , les affixes des vecteurs $\overrightarrow{\Omega A_n}$ et $\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ .
Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l'angle $\overrightarrow{\Omega A_n},\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ .
c) En déduire une construction du point $A_{n+l}$ connaissant le point $A_n$ .
Construire les points $A_3$ et $A_4$ .

4. Quels sont les points de la suite $A_n$ appartenant à la droite $\Omega B$ ?

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Dans un repère orthononné de l'espace $(O ; \vec{i} , \vec{j} , \vec{k})$ on considère les points :
A de coordonnées (1,1,0) ,B de coordonnées (2,0,3) , C de coordonnées (0,-2,5) et D de coordonnées (1,-5,5).
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse :

Proposition 1 : L'ensemble des points M de coordonnées $(x,y,z)$ tels que $y = 2x +4$ est une droite.
Proposition 2 : La transfonnation qui, à tout point M de l'espace associe le point M' tel que $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}$ est l'homothétie de centre G, où G désigne le barycentre du système {(A,1), (B,1), ( C,2)} , et de rapport 3.
Proposition 3 : A, B, C et D sont quatre points coplanaires.
Proposition 4 : La sphère de centre $\Omega$ de coordonnées(3,3,0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : $2x+2y+z+3 = 0$ .

4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à $\dfrac{1}{3}$ .
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
    a) Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
    b) Quelle est son espérance ?
    c) Calculer P(X = 2).

2. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
On considère les événements D et A suivants:
   D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
   A : « obtenir exactement deux 6 ».
    a) Calculer la probabilité des événements suivants :
   « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
   « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité).
    b) En déduire que: p(A) = $\dfrac{7}{48}$ .
    c) Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?

3. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $n$ fois de suite ( $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2). On note $B_n$ l'événement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».
    a) Déterminer, en fonction de $n$ , la probabilité $p_n$ de l'événement $B_n$ .
    b) Calculer la limite de la suite $p_n$ . Commenter ce résultat.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a) $f(x)=xe^{-x^2}=\dfrac{1}{x}\times\dfrac{x^2}{e^{x^2}}$
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2}}{x^2}= \displaystyle \lim_{X\to+\infty}\frac{e^X}{X}=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^{x^2}}=0$
donc $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x) = 0 \times 0 = 0}$

1. b) La fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et sa dérivée s'obtient en utilisant la formule de dérivation d'un produit :
$f=u\times v$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x^2}$
alors $f'=u'v+uv'$ , avec :
$u'(x)=1$
$v'(x)=-2x e^{-x^2}$ en utilisant la formule de dérivation d'une fonction exponentielle composée.
donc $f'(x)=1\times e^{-x^2}+x\times (-2x e^{-x^2})=(1-2x^2)e^{-x^2}$

On dresse alors le tableau de signe de la dérivée et de variations de la fonction sur $[0,+\infty[$ :
une exponentielle est toujours strictement positive donc $f'(x)$ est du signe de $1-2x^2$
un trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines
$1-2x^2=0 \Longleftrightarrow x^2=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow x=+\sqrt{\dfrac{1}{2}}=+\dfrac{\sqrt2}{2}$ ou $x=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$

d'où le tableau:
$\begin{array}{c|ccccc}x&0&&x_0&&+\infty\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\\end{array}$ avec $x_0=\dfrac{\sqrt2}{2}$

donc la fonction admet un maximum en $\dfrac{\sqrt2}{2}$ et ce maximum vaut : $f$\dfrac{\sqrt2}{2}$=\dfrac{\sqrt2}{2}e^{-\frac{1}{2}}$

2. Par définition, $F(a)= \displaystyle \int_0^a f(x)dx = \displaystyle \int_0^a xe^{-x^2}dx = \displaystyle \int_0^a $-\dfrac{1}{2}$ \times -2xe^{-x^2}dx=-\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_0^a -2xe^{-x^2}dx$
$F(a) = -\dfrac{1}{2}[e^{-x^2}]_0^a = -\dfrac{1}{2}(e^{-a^2}-1)$
$F(a) = \dfrac{1-e^{-a^2}}{2}$ en unités d'aires

$\displaystyle \lim_{a\to+\infty}F(a) = \displaystyle \lim_{a\to+\infty}\frac{1-e^{-a^2}}{2} = \dfrac{1}{2} u.a.$ car $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x=0$

L'aire du domaine délimité par la courbe et les axes des abscisses et des ordonnées est donc de $\dfrac{1}{2} \text{ u.a.}$ (non demandé)

Partie B

1. a) Pour tout entier naturel n différent de O et 1, donc pour tout entier naturel n > 1, on a :
$f$ est décroissante sur $[n,n+1]$ (car $f$ est décroissante sur $[1,+\infty[$ )
donc pour tout $x\in[n,n+1]$ : $f(n)\ge f(x) \ge f(n+1)$
donc d'après les propriétés des intégrales : $\displaystyle \int_n^{n+1}f(n)dx \ge \displaystyle \int_n^{n+1}f(x)dx \ge \displaystyle \int_n^{n+1}f(n+1)dx$
donc $(n+1-n)f(n)\ge u_n \ge (n+1-n)f(n+1)$
donc $\boxed{ f(n)\ge u_n\ge f(n+1)}$

1. b)Pout tout $n \ge 2$ , d'après le résultat précédent on a :
$f(n+1)\le u_n\le f(n)$ et $f(n+2)\le u_{n+1}\le f(n+1)$
donc $u_{n+1} \le f(n+1) \le u_n$
donc la suite $(u_n)_{n \ge 2}$ est décroissante.

1. c) Pour tout $n\ge 2$ on a : $f(n+1)\le u_n\le f(n)$
or $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}f(n+1) = \displaystyle \lim_{n\to+\infty}f(n) = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
donc d'après le théorème des gendarmes la suite $(u_n)$ converge et sa limite est 0.

2. a) Démonstration par récurrence.
pour n = 1, on a : $F(1) = \displaystyle \int_0^1 f(x)dx = u_0 = \displaystyle \sum_{k=0}^{1-1}u_k$
donc la propriété est vraie au départ
on suppose la propriété vraie au rang n : $F(n) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}u_k$
$F(n+1) = \displaystyle \int_0^{n+1} f(x)dx = \displaystyle \int_0^n f(x)dx + \displaystyle \int_n^{n+1}f(x)dx=F(n)+u_n= \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}u_k+u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{(n+1)-1}u_k$
donc la propriété est héréditaire
la propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\ge 1$ :
pour tout entier naturel $n\ge 1$ , on a : $\boxed{F(n)=\sum_{k=0}^{n-1}u_k}$

2. b) Le tableau confirme que la limite de $F$ est 0,5 (résultat démontré en 1. c) et indique que cette limite est "atteinte" à 10^-10 près à au rang 5.
L'aire du domaine délimité par la courbe et les 2 axes est de 0,5 unités d'aire.

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1.a)

Bac scientifique Pondichéry Avril 2009 - terminale : image 2

1. b) Le triangle ABC est isocèle et rectangle en B :
$\text{AB } = |z_B-z_A|=|1-3i-3+i|=|-2-2i|=2\sqrt2$ et $\text{BC} = |z_C-z_B|=|-1-i-1+3i|=|-2+2i|=2\sqrt2$
donc AB = BC donc ABC est isocèle en B
$\text{AC} = |z_C-z_A|=|-1-i-3+i|=|-4|=4$ donc $\text{AC}^2 =16=8+8=(2\sqrt2)^2 +(2\sqrt2)^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2$
donc ABC est rectangle en B (théorème de Pythagore)

1. c) $\text{OA} = |z_A|=|3-i|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ et $\text{OB} = |z_B|=|1-3i|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ donc OA = OB
donc A et B appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon $\sqrt{10}$

2. a) La rotation de centre M et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ qui transforme un point d'affixe z en un point d'affixe z' s'écrit :
$z'-z_M = e^{i\frac{\pi}{2}}(z-z_M)$
$\boxed{z'-m=i(z-m)}$

1. b) Or cette rotation transforme A d'affixe 3-i en N d'affixe n, donc :
$n-m=i(3-i-m)$ d'où $\boxed{n=(m+1)+i(3-m)}$

3. Q est le milieu de [AN] donc $z_Q=\dfrac{z_A+z_N}{2}$
$q=\dfrac{3-i+m+1+i(3-m)}{2}=\dfrac{4+m+2i-im}{2}=\dfrac{(1-i)m}{2}+2+i$

4. a) Tout nombre complexe peut s'écrire sous forme exponentielle : $z_M=re^{i\theta}$ où r est un réel positif (appelé module) et $\theta \in[0;2\pi[$ (appelé argument)
or M appartient au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon $\sqrt{10}$ donc $r=|z_M|=\sqrt{10}$
$m=z_M$ s'écrit donc sous la forme $m=\sqrt{10}e^{i\theta}$ où $\theta$ est un réel compris entre 0 et $2\pi$

4. b) $|q-2-i| = \left|\dfrac{(1-i)m}{2}\right|$
Si $M\in \Gamma$ alors $|q-2-i|= \left|\dfrac{(1-i)\sqrt{10}e^{i\theta}}{2}\right|=\sqrt{10} \left|\dfrac{1-i}{2}\right|=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\times\sqrt{2}=\sqrt{5}$
Q appartient au cercle $\Gamma '$ de centre $\Omega$ d'affixe 2+i et de rayon $\sqrt5$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Par application du cours : O,A,B sont tels que O $\neq$ A et A $\neq$ B donc il existe une unique similitude directe S qui transforme O en A et A en B.

2. Toute similitude directe transformant M d'affixe z en M' d'affixe z' admet une écriture complexe du type : $z'=az+b$ où a et b sont des complexes.
$S(O)=A$ donc $i=a\times 0+b$ donc $b=i$
$S(A)=B$ donc $1+2i=ai+i$ donc $a=\dfrac{1+i}{i}=-i(1+i)=1-i$
l'écriture complexe de S est donc $\boxed{z'=(1-i)z+i}$

Caractéristiques de S :
le centre $\Omega$ de S est le seul point invariant. Son affixe $\omega$ vérifie donc
$\omega=(1-i)\omega+i \Longleftrightarrow i\omega=i \Longleftrightarrow \omega=1 \\ \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=\dfrac{(1-i)z+i-1}{z-1}=\dfrac{(1-i)(z-1)}{z-1}=1-i \\ k = \left|\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right|=|1-i|=\sqrt2 \\ \theta = \arg{\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}}=\arg{(1-i)}=-\dfrac{\pi}{4}$
S est donc la similitude de centre $\Omega$ d'affixe 1, de rapport $\sqrt2$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{4}$

3. a) Démonstration par récurrence :
pour n = 0, $z_0=0$ et $1-(1-i)^0=1-1=0$ donc $z_n=1-(1-i)^n$
La propriété est vraie au rang 0.
on suppose la propriété vraie pour un rang n : $z_n=1-(1-i)^n$
$A_{n+1}=S(A_n}$ donc $z_{n+1}=(1-i)z_n+i=(1-i)(1-(1-i)^n)+i=1-i-(1-i)^{n+1}+i=1-(1-i)^{n+1}$
La propriété est donc héréditaire
la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n :
Pour tout entier naturel n, on a : $\boxed{z_n=1-(1-i)^n}$

3. b) $z_{\vec{\Omega A_n}}=z_{A_n}-\omega=z_n-1=-(1-i)^n$
$z_{\overrightarrow{A_n A_{n+1}}}=z_{A_{n+1}}-z_{A_n}=z_{n+1}-z_n=1-(1-i)^{n+1}-1+(1-i)^n=(1-i)^n\times(-1+i+1)=i(1-i)^n$

On a donc $|\overrightarrow{\Omega A_n}|=|-(1-i)^n|=\sqrt2^n$ et $|\overrightarrow{A_n A_{n+1}}|=|i(1-i)^n|=\sqrt2^n$
donc $|\overrightarrow{\Omega A_n}|=|\overrightarrow{A_n A_{n+1}}|$

D'autre part $\arg{\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_n-\omega}}=\arg{\dfrac{i(1-i)^n}{-(1-i)^n}}=\arg{(-i)}=-\dfrac{\pi}{2}$
donc une mesure de l'angle $(\overrightarrow{\Omega A_n},\overrightarrow{A_n A_{n+1}})$ est $-\dfrac{\pi}{2}$

3. c) Pour construire $A_{n+1}$ à partir de $A_n$ , il suffit donc de tracer le cercle de centre $A_n$ passant par $\Omega$ et d'y reporter le point $A_{n+1}$ tel que $(\overrightarrow{\Omega A_n},\overrightarrow{A_n A_{n+1}})=-\dfrac{\pi}{2}$ (ou encore $(\overrightarrow{A_n\Omega},\overrightarrow{A_n A_{n+1}})=\dfrac{\pi}{2}$ )
Construction de $A_3$ et $A_4$ :

Bac scientifique Pondichéry Avril 2009 - terminale : image 3

4. La droite $(\Omega B)$ est la droite d'équation $x = 1$ .
$A_n\in(\Omega B) \Longleftrightarrow Re(z_n)=1 \Longleftrightarrow z_n-1$ est imaginaire pur
$z_n-1=-(1-i)^n=-(\sqrt2e^{-i\frac{\pi}{4}})^n=-\sqrt2^n e^{-in\frac{\pi}{4}}\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow n\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi (k\in\mathbb{N}) \\ \Longleftrightarrow n=2+4k (k\in\mathbb{N})$
Autrement dit : tous les 4 tours à partir de B. On peut vérifier la première itération en construisant A₆.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Proposition 1. FAUX
Il s'agit d'un plan : les points de coordonnées (0,4,0) (0,4,1) et (1,6,0) appartiennent à cete ensemble mais ne sont pas alignés.

Proposition 2. FAUX
G barycentre de (A,1)(B,1)(C,2) donc pour tout point M de l'espace $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}$
donc $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$ $\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow{MM'}=4\overrightarrow{MG}$ $\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GM'}=4\overrightarrow{MG}$ $\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow{GM'}=-3\overrightarrow{GM}$
Cela caractérise l'homothétie de centre G et de rapport -3.

Proposition 3. FAUX
Déterminons l'équation du plan (ABC). Elle est du type $ax+by+cz+d=0$
$A\in(ABC)$ donc $a+b+d=0$ (1)
$B\in(ABC)$ donc $2a+3c+d=0$ (2)
$C\in(ABC)$ donc $-2b+5c+d=0$ (3)
(1): $d=-a-b$
dans (2): $a-b+3c=0$
dans (3): $-a-3b+5c=0$
(2)-(3): $-4b+8c=0$ donc $b=2c$
dans (2): $a-2c+3c=0$ donc $a=-c$
dans (1): $d=c-2c=-c$
donc l'équation du plan s'écrit $-cx+2cy+cz-c=0$ ou encore $x-2y-z+1=0$
Pour le point D : 1+10-5+1=7 donc D n'appartient pas au plan (ABC)

Proposition 4. VRAI
Déterminons la distance du plan au point $\Omega$ en appliquant la formule : $d=\dfrac{|ax_\omega+by_\omega+cz_\omega+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
$d = \dfrac{|2 \times 3 + 2 \times 3 + 1 \times 0 + 3|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \dfrac{15}{\sqrt{9}}=\dfrac{15}{3}=5$
donc le plan est tangent à la sphère (la distance est bien égale à 5)

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a) Le lancer du dé équilibré est une épreuve de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{6}$ car la probabilité d'obtenir 6 avec ce dé est de $\dfrac{1}{6}$ .
Le lancer de ce dé 3 fois de suites constitue une succession de 3 fois cette épreuve de Bernoulli. La variable aléatoire X désignant le nombre de succès (succès = obtenir un 6) suit donc une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{6}$ .

1. b) Son espérance est donc $n\times p=3\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$

1. c) La loi binomiale s'exprime ainsi : pour tout entier k entre 0 et n, $p(X=k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^k (1-p)^{n-k}$
donc $p(X=2)=\dfrac{3!}{2!1!}$\dfrac{1}{6}$^2$\dfrac{5}{6}$=\dfrac{5}{72}$

2. a)E : "choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6"
$E=D\cap A$ donc $p(E)=p(D\cap A)=p(D)\times p_D(A)$
$p(D)=\dfrac{1}{2}$ puisque le choix des dés est équiprobable
$p_D(A)=\dfrac{5}{72}$ d'après les résultats précédents
donc $p(E)=\dfrac{5}{144}$

F : "choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6"
$F=\bar D\cap A$ donc $p(F)=p(\bar D\cap A)=p(\bar D)\times p_{\barD}(A)$
$p(\bar D)=\dfrac{1}{2}$ puisque le choix des dés est équiprobable
$p_{\bar D}(A)=\dfrac{2}{9}$ en appliquant le même raisonnement que dans la question 1 mais avec $p=\dfrac{1}{3}$
donc $p(F)=\dfrac{1}{9}$

2. b) $A=E\cup F$ et les évènements E et F sont disjoints, donc $p(A)=p(E)+p(F)$
$p(A)=\dfrac{5}{144}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{5+16}{144}=\dfrac{21}{144}=\dfrac{7}{48}$

2. c) On cherche $p_A(\bar D)$
$p(F)=p(\bar D\cap A)=p(A)\times p_A(\bar D)$ donc $p_A(\bar D)=\dfrac{p(F)}{p(A)}=\dfrac{1}{9}\times \dfrac{48}{7}=\dfrac{16}{21}$

3. a) $\bar{B_n}$ = obtenir aucun 6 parmi ces n lancers successifs.
D : "le dé choisi est le dé bien équilibré
$\bar{p_n}=p(X=0)=p(D\cap \bar{B_n})+p(\bar D\cap \bar {B_n})=p(D)p_D(\bar{B_n})+p(\bar D)p_{\bar D}(\bar{B_n})$ avec :
$p(D)=p(\bar D)=\dfrac{1}{2}$
dans le cas du dé équilibré, la variable aléatoire X(= nb de 6 tirés) suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = \dfrac{1}{6}$ donc $p_D(\bar {B_n})=p_D(X=0)=$\dfrac{5}{6}$^n$
dans le cas du dé truqué, la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{1}{3}$ donc $p_{\bar D}(\bar {B_n})=p_{\bar D}(X=0)=$\dfrac{2}{3}$^n$
donc $\bar{p_n}=\dfrac{1}{2}\times$\dfrac{5}{6}$^n+\dfrac{1}{2}\times$\dfrac{2}{3}}$^n$
donc $p_n=1-\dfrac{1}{2}$\(\dfrac{5}{6}$^n+$\dfrac{2}{3}$^n \right)$

3. b) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} p_n=1-(0+0)=1$
Lorsque le nombre de lancers est très élevé, la probabilité d'obtenir au moins une fois un 6 tend vers 1 : c'est logique, pour être sûr d'obtenir au moins une fois un 6, il faut lancer le dé un très grand nombre de fois.

Publié par Pascal/Aurélien le 28-02-2010

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