Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Amérique du Nord - Session Juin 2009

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population.

Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours

Au début de l'épidémie on constate que 0,01 % de la population est contaminé.
Pour $t$ appartenant à [0 ; 30], on note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours.
On a donc $y(0) = 0,01$ .
On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur [0 ; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie : $y' = 0,05y(10 - y).$

1. On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle [0 ; 30] par $z = \dfrac{1}{y}$ .
Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions $\left \lbrace \begin{array}{lcl} y(0)& =& 0,01\\ y' & = & 0,05y(10 - y) \end{array} \right.$ si et seulement si la fonction $z$ satisfait aux conditions $\left \lbrace \begin{array}{lcl} z(0)&=&100\\ z' &=& - 0,5z + 0,05\\ \end{array} \right.$

2. a) En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$ .
b) Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.

Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92 % des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10 % des individus sont malades.
On choisit au hasard un individu dans cette population.

1. Montrer que la probabilité de l'évènement « l'individu n'est pas vacciné et tombe malade » est égale à 0,08.

2. Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n'est pas vacciné ?

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a; b]$ avec $a < b$ .
Si $u \geq 0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle \int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geq 0$ .
Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle \int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$ .

Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leq g(x)$ alors $\displaystyle \int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leq \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$ .

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$ et on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $\left \lbrace \begin{array}{l} u_{0} = \displaystyle \int_{0}^1 f(x) \: \text{d}x = \displaystyle \int_{0}^1 \text{e}^{-x^2} \: \text{d}x \\ \text{pour tout entier naturel } n \text{ non nul},~ u_{n} = \displaystyle \int_{0}^1 x^n f(x) \: \text{d}x = \displaystyle \int_{0}^1 x^n \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x \end{array}\right.$
1. a) Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1], $\dfrac{1}{\text{e}} \leq f(x) \leq 1.$
    b) En déduire que $\dfrac{1}{\text{e}} \leq u_{0} \leq 1$ .

2. Calculer $u_{1}$ .

3. a) Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leq u_{n}$ .
    b) Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
    c) En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.

4. a) Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leq \dfrac{1}{n+1}$ .
    b) En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.

Bac scientifique Amérique du Nord Juin 2009 - terminale : image 1

On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AE}}\right)$ .

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K dans ce repère.

2. Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.

3. a) Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).
    b) Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).
    c) Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).

4. Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G. Soit L le centre du carré DCGH.
    a) Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].
    b) Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que K est le barycentre des points A, D et G affectés de coefficients que l'on précisera.

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
Soit A le point d'affixe $a = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B le point d'affixe $b = 1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}$ .

Partie A : Etude d'un cas particulier

On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ .
On note C le point d'affixe $c$ image du point A par la rotation $r$ et D le point d'affixe $d$ image du point B par la rotation $r$ .
La figure est donnée ci-dessous.

Bac scientifique Amérique du Nord Juin 2009 - terminale : image 2

1. a) Exprimer $\dfrac{- a}{b - a}$ sous forme algébrique.
b) En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.

2. Démontrer que $c = -2$ . On admet que $d = -2 - 2\text{i}$ .

3. a) Montrer que la droite (AC) a pour équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2)$ .
b) Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

Partie B : étude du cas général

Soit $\theta$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~;~2\pi[$ .
On considère la rotation de centre O et d'angle $\theta$ .
On note A' le point d'affixe $a'$ , image du point A par la rotation $r$ , et B' le point d'affixe $b'$ , image du point B par la rotation $r$ .
La figure est donnée ci-dessous.

Bac scientifique Amérique du Nord Juin 2009 - terminale : image 3

L'objectif est de démontrer que la droite (AA') coupe le segment [BB'] en son milieu.

1. Exprimer $a'$ en fonction de $a$ et $\theta$ et $b'$ en fonction de $b$ et $\theta$ .

2. Soit P le point d'affixe $p$ milieu de [AA'] et Q le point d'affixe $q$ milieu de [BB'].
    a) Exprimer $p$ en fonction de $a$ et $\theta$ puis $q$ en fonction de $b$ et $\theta$ .
    b) Démontrer que $\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{- a}{b - a}$ .
    c) En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).
    d) Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA').

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit $A$ l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle [1 ; 46].

1. On considère l'équation $(E) : \quad 23x + 47y = 1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    a) Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$ .
    b) Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$ .
    c) En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que $23x \equiv 1\quad (47)$ .

2. Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
    a) Montrer que si $ab \equiv 0 \quad (47)$ alors $a \equiv 0 \quad (47)$ ) ou $b \equiv 0 \quad (47)$ .
    b) En déduire que si $a^2 \equiv 1 \quad (47)$ alors $a \equiv 1 \quad (47)$ ou a $a \equiv -1 \quad (47)$ .

3. a) Montrer que pour tout entier $p$ de $A$ , il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times q \equiv 1 \quad (47)$ .
Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$ , il existe un unique entier, noté $inv(p)$ , appartenant à $A$ tel que $p \times inv(p) \equiv 1 \quad (47)$ .
Par exemple :
$inv(1) = 1$ car $1 \times 1 \equiv 1 \quad (47),~ inv(2) = 24$ car $2 \times 24 \equiv 1 \quad (47),$ $inv(3) = 16$ car $3 \times 16=\equiv 1 \quad (47)$ .
    b) Quels sont les entiers $p$ de $A$ qui vérifient $p = inv (p)$ ?
    c) Montrer que $46 ! \equiv -1 \quad (47)$ .

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A - Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours

1. $z = \dfrac{1}{y}$ donc $y = \dfrac{1}{z}$ donc $y' = \left(\dfrac{1}{z} \right)'= - \dfrac{z}{z^2}$ :
$\left \lbrace \begin{array}{l} y(0)=0,01 \\ y'=0,05y(10-y) \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} \dfrac{1}{z(0)}=0,01 \\ -\dfrac{z'}{z^2}=0,05 \dfrac{1}{z} \left(10-\dfrac{1}{z} \right) \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} z(0)=100 \\ -z'=0,05(10z-1) \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} z(0)=100 \\ z'=-0,5z+0,05 \end{array} \right.$

2. a) Les solutions de l'équation $z'=-0,05z+0,05$ sont les fonctions de la forme $z(t)=ke^{-0,5t}+10$ où $k$ est une constante réelle.
Or $z(0)=100$ donc $k+10=100$ donc $k=90$
donc
$z(t)=90e^{-0,05t}+10$ et par suite $y(t)=\dfrac{1}{90e^{-0,05t}+10}$

2. b) $y(30)=\dfrac{1}{90e^{-0,05 \times 30}+10}=0,033$
donc après 30 jours, 4% de la population est infectée (arrondie à l'entier le plus proche).

Partie B - Étude sur l'efficacité d'un vaccin

1. On note les évènements : V = "l'individu est vacciné" et M = "l'individu est malade".
Les données de l'énoncé se traduisent alors :
le quart de la population est vacciné : $p(V) = \dfrac{1}{4} = 0,25$
sur la population vaccinée, 92% des individus ne tombent pas malades : $p_V(\overline{M})=0,92$
sur l'ensemble de la population, 10% sont malades : $p(M)=0,10$

On cherche $p(\overline{V} \cap M)$ .
$p(M)=p(V \cap M)+p(\overline{V} \cap M)=p(V)p_V(M)+p(\overline{V} \cap M)=p(V)[1-p_V(\overline{M})]+p(\overline{V} \cap M)$
donc $p(\overline{V} \cap M)=p(M)-p(V)[1-p_V(\overline{M})]=0,10-0,25\times(1-0,92)=0,10-0,25\times0,08=0,10-0,02=0,08$
donc la probabilité de l'évènement "l'individu n'est pas vacciné et tombe malade" est égale à 0,08.

2. $p_{\overline{V}}(M) = \dfrac{p(\overline{M} \capM)}{p(\overline{V})}=\dfrac{p(\overline{V} \cap M)}{1-p(V)}=\dfrac{0,08}{1-0,25}=\dfrac{0,08}{0,75}=0,107$
donc la probabilité de tomber malade pour un individu non vacciné est égale à 0,107.

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A - Restitution organisée de connaissances

1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et dérivables sur un intervalle $[a,b]$ avec $a<b$ .
Si : pour tout $x$ de $[a,b]$ on a : $f(x) \le g(x)$
alors : $g(x)-f(x) \ge 0$ donc $g - f \ge 0$ sur $[a,b]$ donc (d'après la 1^ère propriété) : $\displaystyle \int_a^b (g-f)(x) dx \ge 0$
or $\displaystyle \int_a^b (g-f)(x)dx=\int_a^b [g(x)-f(x)]dx=\int_a^bg(x)dx-\int_a^bf(x)dx$ (d'après la 2^ème propriété)
donc $\displaystyle \int_a^bg(x)dx-\int_a^bf(x)dx\ge 0$ donc $\displaystyle \int_a^bf(x)dx\le \int_a^bg(x)dx$

Partie B

1. a) $f$ est définie et dérivable sur [0;1] et sa dérivée est : $f'(x)=-2xe^{-x^2}\le 0$ sur [0;1]
NB: pour le calcul de la dérivée, on utilise la formule $(e^u)'=u'e^u$
donc $f$ est décroissante sur [0;1]
or $f(0)=e^0=1$ et $f(1)=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$
donc pour tout $x$ de [0;1], on a $\dfrac{1}{e}\le f(x)\le 1$

1. b) $u_0= \displaystyle \int_0^1f(x)dx$ or $\dfrac{1}{e}\le f(x)\le 1$ , donc (d'après la propriété démontrée dans la partie A) :
$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{e}dx\le \int_0^1f(x)dx\le \int_0^11dx$
donc $\dfrac{1}{e}\le u_0\le 1$

2. $u_1= \displaystyle \int_0^1xe^{-x^2}dx= \left(-\dfrac{1}{2} \right) \displaystyle \int_0^1(-2xe^{-x^2})dx= \left(-\dfrac{1}{2} \right) \displaystyle \int_0^1f'(x)dx= \left( - \dfrac{1}{2} \right)[f(1)-f(0)]= \left(-\dfrac{1}{2} \right) \left(\dfrac{1}{e}-1 \right)= \dfrac{e-1}{2e}$

3. a) On note $f_n$ la fonction définie sur [0;1] par $f_n(x)=x^ne^{-x^2}$ .
Pour tout $x$ de [0;1], on a : $f_n(x)\ge 0$
donc $u_n= \displaystyle \int_0^1f_n(x)dx\ge 0$ d'après la 1ère propriété de la partie A

3. b) $f_{n+1}(x) =x^{n+1}e^{-x^2}=x(x^ne^{-x^2})=xf_n(x)$
pour tout $x$ de [0;1] : $0\le x\le 1$ et $f_n(x)\ge 0$ donc $xf_n(x)\le f_n(x)$ donc $f_{n+1}(x)\le f_n(x)$
donc, d'après la propriété démontrée dans la partie A : $\displaystyle \int_0^1f_{n+1}(x)dx\le \int_0^1f_n(x)dx$
c'est-à-dire $u_{n+1}\le u_n$
donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

3. c) D'après les 2 questions précédentes, la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée, elle est donc convergente.

4. a) $u_n= \displaystyle \int_0^1x^nf(x)dx$
or pour tout $x$ de [0;1] on a : $f(x)\le 1$ (démontré dans la question 1. a)) donc $x^nf(x)\le f(x)$
donc $u_n= \displaystyle \int_0^1x^nf(x)dx\le \int_0^1x^ndx$
or $\displaystyle \int_0^1x^n dx= \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1= \dfrac{1}{n+1}$
donc $u_n\le \dfrac{1}{n+1}$

4. b) $0\le u_n\le \dfrac{1}{n+1}$
or $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}0=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+1}=0$
donc, d'après le théorème des gendarmes, $\lim (u_n)=0$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. I est milieu de la face ADHE donc les coordonnées de I sont $\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \right)$
J est milieu de la face ABCD donc les coordonnées de J sont $\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} ; 0 \right)$
K est milieu du segment [IJ] donc les coordonnées de K sont $\left(\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{4}\right)$

2. Les coordonnées de A sont (0;0;0) donc les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AK}$ sont $\left( \dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{4} \right)$
et les coordonnées de G sont (1;1;1) donc celles du vecteur $\overrightarrow{AG}$ sont (1;1;1)
donc les vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{AG}$ ne sont pas colinéaires
donc A, K et G ne sont pas alignés.

3. a) K milieu de [IJ] donc K appartient au plan médiateur de [IJ].
I milieu de la face ADHE et J milieu de la face ABCD donc AI et AJ sont égales à la longueur d'une demi-diagonale de face, donc AI = AJ donc A appartient au plan médiateur de [IJ].
les triangles IHG et JCG sont identiques, avec IH = JC(= demi-diagonale d'une face) et HG = CG (= 1) donc IG = JG, donc G appartient au plan médaiteur de [IJ].
Or A, K et G ne sont pas alignés, donc forment un plan.
Donc (AKG) est le plan médiateur de [IJ]

3. b) (AKG) est le plan médiateur de [IJ] donc le vecteur $\overrightarrow{IJ}$ est normal au plan (AKG).
Or les coordonnées de I sont $\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \right)$ et celles de J sont $\left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} ; 0 \right)$
Donc celles du vecteur $\overrightarrow{IJ}$ sont $\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; -\dfrac{1}{2} \right)$
Donc l'équation cartésienne de (AKG) est de la forme $\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}z+d = 0$ avec $d$ une constante réelle.
Or (AKG) passe par l'origine du repère A, donc $d = 0$
Donc l'équation cartésienne de (AKG) est $\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}z = 0$ ou encore $x-z=0$

4. a) L milieu de la face DCGH donc les coordonnées de L sont $\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; \dfrac{1}{2} \right)$
Or celles de K sont $\left(\dfrac{1}{4} ; 0 ; \dfrac{1}{4} \right)$ donc $\overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AK}$
Donc K est le milieu de [AL].

4. b) K est milieu de [AL] donc K est le barycentre de (A,2)(L,2).
Or L est le centre de la face DCGH donc le milieu de [DG] donc L est barycentre de (D,1)(G,1).
Donc, d'après les propriétés sur les barycentres partiels : K est barycentre de (A,2)(D,1)(G,1).

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A - Etude d'un cas particulier

1. a) $\dfrac{-a}{b-a} = \dfrac{-1-i \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + (1 + \sqrt{3})i - 1 - i\sqrt{3}} = \dfrac{-1 - i\sqrt{3}}{-\sqrt{3}+i} = \dfrac{(-1-i\sqrt{3})(-\sqrt{3}-i)}{3+1}=i$

1. b) $\dfrac{z_O-z_A}{z_B-z_A}=i$ donc $\dfrac{OA}{AB}=|i|=1$ donc OA = AB, OAB est isocèle en A
et $\left( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AO} \right) = \arg(i) = \dfrac{\pi}{2}$ donc OAB est rectangle en A.
Donc OAB est rectangle isocèle en A.

2. $r$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ , son écriture complexe est donc :
$z'=e^{i\frac{2\pi}{3}}z$ ou encore $z'=\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}z$
C est l'image de A par $r$ donc $z_C = \dfrac{-1+i\sqrt3}{2}z_A = \dfrac{-1+i\sqrt3}{2}\times(1+i\sqrt3) = \dfrac{-1-i\sqrt3+i\sqrt3-3}{2}=-2$
et D est l'image de B par r donc $z_D = \dfrac{-1+i\sqrt3}{2}z_B = \dfrac{-1+i\sqrt3}{2}\times[1-\sqrt3+(1+\sqrt3)i] = \dfrac{-1+\sqrt3-\sqrt3-3+i(-1-\sqrt3+\sqrt3-3)}{2}=-2-2i$

3. a) $z_{\overrightarrow{AC}} = c - a = -2 - 1 - i \sqrt{3} = -3 - i\sqrt{3}$ donc le coefficient directeur de la droite (AC) est $\dfrac{y}{x} = \dfrac{-\sqrt{3}}{-3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
donc l'équation de (AC) est de la forme $y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+k$ avec $k$ une constante réelle
or (AC) passe par C d'affixe c = -2 donc $0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(-2)+k$ donc $k={2\sqrt{3}}{3}$
donc l'équation de (AC) est $y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ou encore $y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$

3. b) Soit I le milieu de [BD].
$z_I = \dfrac{z_B+z_D}{2} = \dfrac{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i-2-2i}{2} = \dfrac{-1-\sqrt3+(-1+\sqrt3)i}{2}$
donc $\dfrac{\sqrt3}{3}(x_I+2)=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \left(\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}+2 \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}=y_I$
donc I appartient bien à (AC).
Le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

Partie B - Etude du cas général

1. L'écriture complexe de la rotation $r$ est $z'=e^{i\theta}z$
donc $a'=e^{i\theta}a$ et $b'=e^{i\theta}b$

2. a) P milieu de [AA'] donc $p = \dfrac{a+a'}{2} = \dfrac{(1+e^{i\theta})a}{2}$
et de même Q milieu de [BB'] donc $q = \dfrac{b+b'}{2} = \dfrac{(1+e^{i\theta})b}{2}$

2. b) $\dfrac{-p}{q-p} = \dfrac{- \dfrac{(1 + e^{i\theta})a}{2}}{\dfrac{(1 + e^{i\theta})b}{2} - \dfrac{(1 + e^{i\theta})a}{2}} = \dfrac{-a}{b-a}$

2. c) $\dfrac{-p}{q-p}=\dfrac{-a}{b-a}=i$ d'après le calcul effectué dans la partie A
donc $(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PO}) = \dfrac{\pi}{2}$ donc (OP) est perpendiculaire à (PQ).

2. d) A' = r(A) donc OA' = OA donc A appartient à la médiatrice de [AA'].
Or P est le milieu de [AA'] donc (OP) est la médiatrice de [AA'] donc (OP) est perpendiculaire à (AA').
Or (OP) est perpendiculaire à (PQ) donc (AA') et (PQ) sont parallèles.
Or P appartient à (AA') donc (PQ) et (AA') sont confondues.
Donc Q appartient à la droite (AA').

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $23 \times(-2)+47\times1=-46+47=1$ donc le couple (-2;1) est solution de (E).

1. b) (x ; y) solution de (E) $\Longleftrightarrow 23x-47y=1 \Longleftrightarrow 23x-47y=23\times(-2)+47\times1$ $\Longleftrightarrow 23(x+2)-47(y-1)=0$
$(x;y)$ solution de (E) $\Longleftrightarrow 23(x+2)=47(y-1)$
donc 23 divise $47(y-1)$ . Or 23 et 47 sont premiers entre eux, donc 23 divise $y-1,$ donc il existe un entier $k$ tel que $y-1=23k$ , $y=23k+1$
Dans ce cas, $23(x+2)=47(23k)$ donc $x+2=47k$ ou encore $x=47k-2$

On montre de même que tous les couples de la forme $(47k-2 ; 23k+1)$ avec $k$ entier relatif sont solutions de (E).
Conclusion : $(x;y)$ solution de (E) $\Longleftrigharrow$ il existe un entier relatif $k$ tel que $(x;y)=(47k-2;23k+1)$

1. c) $23 x \equiv 1[47] \Longleftrightarrow$ il existe un entier $y$ tel que $23x=47y+1$
$23x-47y=1$
Donc d'après les questions précédentes, $x$ est de la forme $x=47k-2,$ avec $k$ entier
La seule valeur de $k$ permettant d'obtenir $x$ dans A (entre 1 et 46) est $k=1$ pour lequel $x=45$
Conclusion : il existe un unique $x$ de A tel que $23x\equiv1[47]$ , c'est $x=45$

2. a) Si $ab\equiv0[47]$ alors 47 divise $ab$
Or 47 est premier donc 47 divise $a$ ou 47 divise $b$
Donc $a\equiv0[47]$ ou $b\equiv0[47]$

2. b) Si $a^2\equiv 1[47]$ alors $a^2-1\equiv0[47]$ alors $(a-1)(a+1)\equiv0[47]$
Donc, d'après la question précédente, $a-1\equiv0[47]$ ou $a+1\equiv0[47]$
Donc $a\equiv1[47]$ ou $a\equiv-1[47]$

3. a) Soit $p$ un entier de A, donc p est un entier compris entre 1 et 46.
Si $p = 1$ alors pour $q=1$ on a bien $pq\equiv1[47]$
Si $p \neq 1$ alors, comme 47 est premier, $p$ et 47 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Bezout :
il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $pu+47v=1$
donc $pu=1-47v\equiv1[47]$
on prend $q=u$
Conclusion : pour tout $p$ de A, il existe un entier relatif $q$ tel que $pq\equiv1[47]$

3. b) Si $p=inv(p)$ alors $p^2\equiv1[47]$ alors $p\equiv1[47]$ ou $p\equiv-1[47]$ (d'après la question 2. b))
donc $p=1$ ou $p=46$

3. c) Dans $46!$ , on peut donc associer 2 à 2 tous les $p$ de A avec leur inverse inv(p), sauf 1 et 46
On a donc $46!=1\times[2\times inv(2)]\times[3\times inv(3)]\times ... \times[13\times inv(13)]\times46$
Donc $46!\equiv1\times1\times1\times ... \times1\times46\equiv46\equiv-1[47]$

Publié par Cel/Aurelien_ le 01-07-2011

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