Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Liban - Session 2009

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des trois questions. une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.


1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité p.
On sait que p(A \cup B) = \dfrac{4}{5} et p\left(\overline{A}\right) =  \dfrac{3}{5}.
La probabilité de l'évènement B est égale à :
a) \dfrac{2}{5}b) \dfrac{2}{3}c) \dfrac{3}{5}d) \dfrac{1}{2}


2. On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda = 0,04.
On rappelle que pour tout réel t positif, la probabilité de l'évènement (X \leqslant t), notée p(X \leqslant t), est donnée par p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x.
La valeur approchée de p(X > 5) à 10-2 près par excès est égale à :
a) 0,91b) 0,18c) 0,19d) 0,82


3. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre.
S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à \dfrac{1}{10} ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à \dfrac{9}{10}.
Je sors mon chien ; la probabilité qu'il ne pleuve pas est égale à :
a) \dfrac{9}{10}b) \dfrac{27}{40}c) \dfrac{3}{4}d) \dfrac{27}{28}



8 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \ln \left(1 +\text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x.
La courbe (\mathcal{C}) représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
Bac scientifique Liban Juin 2009 - terminale : image 1


Partie A

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.
    b) Montrer que la droite (D) d'équation y = \dfrac{1}{3}x est asymptote à la courbe (\mathcal{C}). Tracer (D).
    c) Étudier la position relative de (D) et de (\mathcal{C}).
    d) Montrer que pour tout réel x,~ f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x.
    e) En déduire la limite de f en -\infty.

2. a) On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que pour tout x réel, f'(x) =  \dfrac{\text{e}^x - 2}{3\left(\text{e}^x + 1\right)}.
    b) En déduire les variations de la fonction f.

Partie B

Soit n un entier naturel non nul. On appelle d_{n}, l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe (\mathcal{C}), la droite (D) d'équation y =\dfrac{1}{3}x et les droites d'équations x = 0 et x = n.

1. Justifier que pour tout entier naturel n non nul, d_{n} = \displaystyle\int_{0}^n \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x.

2. On admet que pour tout réel x,~ \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right) \leqslant  \text{e}^{-x}.
Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, d_{n} \leqslant  1.

3. La suite \left(d_n\right)_{n \geq 1} est-elle convergente ?

Partie C

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe (\mathcal{C}).
On note (T) la tangente à la courbe (\mathcal{C}) au point d'abscisse 0.

1. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soient M et N deux points de la courbe (\mathcal{C}) d'abscisses non nulles et opposées.
Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (T).


4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.
Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right).
Bac scientifique Liban Juin 2009 - terminale : image 2


1. a) Déterminer les coordonnées des points I et J.
    b) Vérifier que le vecteur \vect{\text{DJ}} est un vecteur normal au plan (BGI).
    c) En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).
    d) Calculer la distance du point F au plan (BGI).

2. On note (\Delta) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
    a) Donner une représentation paramétrique de la droite (\Delta).
    b) Montrer que la droite (\Delta) passe par le centre K de la face ADHE.
    c) Montrer que la droite (\Delta) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées \left(\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{6}~;~ \dfrac{5}{6}  \right).
    d) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ?


5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; \vec{u},\vec{v}) (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d' affixes respectives :  z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}, z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} } et z_{\text{C}} = - 3.

Partie A

1. Écrire les nombres complexes z_{\text{A}} et z_{\text{B}} sous forme exponentielle.

2. Placer les points A, B et C.

3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

Partie B

Soit f l'application qui, à tout point M du plan d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2.
On note O', A', B' et C' les points respectivement associés par f aux points O, A, B et C.

1. a) Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A', B' et C'.
    b) Placer les points A', B' et C' .
    c) Démontrer l'alignement des points O, A et B' ainsi que celui des points O, B et A'.

2. Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G' le point associé à G par f.
    a) Déterminer les affixes des points G et G'.
    b) Le point G' est-il l'isobarycentre des points O', A', B' et C' ?

3. Démontrer que si M appartient à la droite (AB) alors M' appartient à la parabole d'équation y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}. (On ne demande pas de tracer cette parabole)


5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel n dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que n^3 \equiv  2009 \mod \nombre{10000}.

Partie A

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de \nombre{2009}^2 par 16.

2. En déduire que \nombre{2009}^{\nombre{8001}} \equiv  \nombre{2009} \;\mod 16.

Partie B

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie sur \mathbb{N} par :
u_{0} = \nombre{2009}^2 - 1 et, pour tout entier naturel n,~ u_{n+1} = \left(u_{n} + 1\right)^5 -1.

1. a) Démontrer que u_{0} est divisible par 5.
    b) Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n,  u_{n+1} = u_{n}\left[{u_{n}}^4 + 5\left({u_{n}}^3 + 2{u_{n}}^2 +2u_{n} + 1\right)\right].
    c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,~u_{n} est divisible par 5^{n+1}.

2. a) Vérifier que u_{3} = \nombre{2009}^{250} -1 puis en déduire que \nombre{2009}^{250} \equiv  1 \mod 625.
    b) Démontrer alors que \nombre{2009}^{\nombre{8001}} \equiv  \nombre{2009} \mod 625.

Partie C

1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 20098001 - 2009 est divisible par 10 000.

2. Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009.







exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Réponse b)
A et B sont indépendants donc p(A\cap B)=p(A)p(B)
or p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(A)p(B)=p(A)+(1-p(A))p(B)=1-p(\bar A)+p(\bar A)p(B)
donc p(B)=\dfrac{p(A\cup B)-1+p(\bar A)}{p(\bar A)} = \dfrac{\dfrac{4}{5}-1+\dfrac{3}{5}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{2}{3}

2. Réponse d)
p(X > 5)=1-p(X\le 5)=1 - \displaystyle \int_0^5 0,04e^{-0,04x}dx=1-[-e^{-0,04x}]_0^5=1-(-e^{-0,20}+e^{0})=e^{-0,2}=0,82

3. Réponse d)
p(P)=\dfrac{1}{4}, p_P(C)=\dfrac{1}{10} et p_{\bar P}(C)=\dfrac{9}{10}. On cherche p_C(\bar P)
p(\bar P\cap C)=p(\bar P)p_{\bar P}(C)=(1-p(P))p_{\bar P}(C)= \(1-\dfrac{1}{4}\) \times \dfrac{9}{10}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{9}{10}=\dfrac{27}{40}
on a aussi p(\bar P \cap C)=p(C)^p_C(\bar P) or p(C)=p(P\cap C)+p(\bar P\cap C)=p(P)p_P(C)+p(\bar P\cap C)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{10}+\dfrac{27}{40}=\dfrac{28}{40}=\dfrac{7}{10}
d'où p_C(\bar P)=\dfrac{p(\bar P\cap C)}{p(C)}=\dfrac{27}{40}\times\dfrac{10}{7}=\dfrac{27}{28}




exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a) \displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=\lim_{X\to-\infty}e^X=0 donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln(1+e^{-x})=\ln 1 =0
et \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{3}x=+\infty donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0+\infty=+\infty

1. b) On détermine \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)-y(x) :
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)-y(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln(1+e^{-x})=0 d'après les calculs déjà effectués dans la question a).
donc la droite (D) d'équation y=\dfrac{1}{3}x est asymptote à la courbe (C) au voisinage de +\infty.

1. c) On détermine le signe de f(x)-y(x) :
f(x)-y(x)=\ln(1+e^{-x})
or pour tout réel x, on a : e^{x}>0 donc 1+e^{-x}>1 donc \ln(1+e^{-x})>\ln 1=0 car la fonction ln est strictement croissante
donc pour tout réel x, f(x)-y(x)>0 ou encore f(x)>y(x)
La courbe (C) est donc au-dessus de la droite (D)

1. d) Pour tout réel x, f(x)=\ln(1+e^{-x})+\dfrac{1}{3}x=\ln(e^{-x}(e^x+1))+\dfrac{1}{3}x=\ln(e^{-x})+\ln(e^x+1)+\dfrac{1}{3}x=-x+\ln(e^x+1)+\dfrac{1}{3}x=\ln(e^x+1)-\dfrac{2}{3}x
(en utilisant les formules \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) avec a>0 et b>0 et \ln(e^a)=a avec a\in\mathbb{R})

1. e) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x=0 donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x+1=1 donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\ln (e^x+1)=\ln 1 = 0
et \displaystyle \lim_{x\to-\infty}-\frac{2}{3}x=+\infty donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0+\infty=+\infty

2. a) En utilisant les formules (\ln u)'=\frac{u'}{u} et (u+v)'=u'+v' et en partant de l'écriture f(x)=\ln(e^x+1)-\dfrac{2}{3}x:
f'(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3e^{x}-2e^x-2}{3(e^x+1)}=\dfrac{e^x-2}{3(e^x+1)}

2. b) Pour tout réel x, e^x>0 donc e^x+1>1>0 donc f'(x) est du signe de e^x-2:
f'(x)>0 \Longleftrightarrow e^x-2>0 \Longleftrightarrow e^x>2 \Longleftrightarrow x>\ln 2
f'(x)<0 \Longleftrightarrow x<\ln 2
donc f est décroissante sur ]-\infty,\ln 2] et croissante sur [\ln 2,+\infty[

Partie B

1. D'après les résultats de la question A. 1 .c), la courbe (C) est au-dessus de la droite (D) donc l'aire du domaine d_n est donnée par d_n = \displaystyle \int_0^n(f(x)-y(x))dx= \displaystyle \int_0^n(\ln(1+e^{-x})+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}x)dx= \displaystyle \int_0^n\ln(1+e^{-x})dx

2. Pour tout réel x, on admet que \ln(1+e^{-x})\le e^{-x}, donc, d'après les propriétés de linéarité de l'intégrale, on a :
\displaystyle \int_0^n\ln(1+e^{-x})dx\le \int_0^ne^{-x}dx[ \\ d_n\le [-e^{-x}]_0^n \\ d_n\le -e^n+1
or une exponentielle est toujours positive donc 1-e^n\le 1 donc d_n\le 1

3. Par construction, la suite (d_n) est croissante car d_n représente l'aire d'un domaine et le domaine s'agrandit lorsque n augmente.
or d'après la question précédente, pour tout entier naturel n d_n\le 1 donc la suite est majorée
or toute suite croissante et majorée converge, donc la suite (d_n)_{n\ge1} est convergente..

Partie C

1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est f'(0)
or f'(x)=\dfrac{e^x-2}{3(e^{x}+1)} donc f'(0)=\dfrac{1-2}{3(1+1)}=-\dfrac{1}{6}
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est -\dfrac{1}{6}.

2. Soit a l'abscisse de M (a positif non nul), alors l'abscisse de N est -a.
Le coeefficient directeur de la droite (MN) est donné par :
d=\dfrac{y_M-y_N}{x_M-x_N}=\dfrac{f(a)-f(-a)}{2a}
or f(a)-f(-a)=\ln(e^a+1)-\dfrac{2}{3}a-\ln(e^{-a}+1)-\dfrac{2}{3}a=\ln \(\dfrac{e^a+1}{e^{-a}+1}\)-\dfrac{4}{3}a=\ln \(\dfrac{e^a(1+e^{-a})}{e^{-a}+1}\)-\dfrac{4}{3}a=\ln(e^a)-\dfrac{4}{3}a=a-\dfrac{4}{3}a=-\dfrac{1}{3}a
donc d=\dfrac{-\dfrac{1}{3}a}{2a}=-\dfrac{1}{6}
Les droites (MN) et (T) ont donc le même coefficient directeur, elles sont dont parallèles.




exercice 3 - Commun à tous les candidats


1. a) On peut déterminer facilement E=(0,0,1) et F=(1,0,1)
or I est milieu de [EF] donc I=\(\dfrac{1}{2},0,1\).
J symétrique de E par rapport à F donc F est milieu de [EJ] d'où J=(2,0,1)

1. b) D=(0,1,0) et J=(2,0,1) donc \overrightarrow{DJ}=(2,-1,1)
B=(1,0,0) et G=(1,1,1) donc \overrightarrow{BG}=(0,1,1) donc \overrightarrow{DJ} \cdot \voverrightarrow{BG}=2\times0-1\times1+1\times1=0
donc les vecteurs \vec{DJ} et \vec{BG} sont orthogonaux.
B=(1,0,0) et I=\(\dfrac{1}{2},0,1\) donc \overrightarrow{BI}= \(-\dfrac{1}{2},0,1\) donc \overrightarrow{DJ} \cdot \overrightarrow{BI}=2\times\ (-\dfrac{1}{2}\)-1\times0+1\times1=0
donc les vecteurs \overrightarrow{DJ} et \overrightarrow{BI} sont orthogonaux.
\overrightarrow{DJ} est orthogonal aux vecteurs \overrightarrow{BG} et \overrightarrow{BI} donc \overrightarrow{DJ} est normal au plan (BGI)

1. c) L'équation cartésienne du plan (BGI) est donc de la forme 2x-y+z+d=0 avec d un réel à déterminer.
Le plan passe par B donc 2-0-0+d=0 donc d=-2
L'équation du plan (BGI) est donc 2x-y+z-2=0

1. d) La distance du point F(1,0,1) au plan BGI s'obtient par la formule :
d_{F,(BGI)}=\dfrac{|2x_F-y_F+z_F-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\dfrac{|2-0+1-2|}{\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{6}

2. a) (\Delta) est orthogonale à (BGI) de vecteur normal \overrightarrow{DJ}=(2,-1,1) donc \overrightarrow{DJ} est un vecteur directeur de la droite
Son écriture paramétrique est donc :
\begin{cases}  & x=x_F+x_{\overrightarrow{DJ}}t  \\   & y=y_F+y_{\overrightarrow{DJ}}t  \\   & z=z_F+z_{\overrightarrow{DJ}}t   \end{cases}     soit     \begin{cases} & x=1+2t \\ & y=-t \\ & z=1+t \end{cases}

2. b) K a pour coordonnées \(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\)
or dans l'écriture paramétrique de (\Delta), pour t=-\dfrac{1}{2} on a : x=0=x_K, y=\dfrac{1}{2}=y_K et z=\dfrac{1}{2}=z_K
donc (\Delta) passe par K.

2. c) On cherche le point d'intersection L(x_L,y_L,z_L) (s'il existe) de (\Delta) et (BGI) :
L\in(\Delta) donc il existe un réel t tel que x_L=1+2t, y_L=-t et z_L=1+t
L\in(BGI) donc 2x_L-y_L+z_L-2=0 donc 2(1+2t)-(-t)+(1+t)-2=0 donc 6t-1=0 donc t=-\dfrac{1}{6}
d'où x_L=1+2\dfrac{-1}{6}=\dfrac{2}{3}, y_L=- \(-\dfrac{1}{6}\)=\dfrac{1}{6} et z_L=1+\(-\dfrac{1}{6}\)=\dfrac{5}{6}

2. d)
\overrightarrow{BL}= \(\dfrac{2}{3}-1,\dfrac{1}{6},\dfrac{5}{6}\)= \(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{6},\dfrac{5}{6}\) et \overrightarrow{GI} = \(\dfrac{1}{2}-1,-1,1-1\)=\(-\dfrac{1}{2},-1,0\)
donc \overrightarrow{BL} \cdot \overrightarrow{GI}= \(-\dfrac{1}{3}\)\times \(-\dfrac{1}{2}\)+\dfrac{1}{6}\times(-1)+\dfrac{5}{6}\times0=0 donc (BL) et (GI) sont orthogonales.
\overrightarrow{GL}= \(\dfrac{2}{3}-1,\dfrac{1}{6}-1,\dfrac{5}{6}-1\) = \(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{5}{6},-\dfrac{1}{6}\) et \overrightarrow{BI}= \(\dfrac{1}{2}-1,0,1\) = \(-\dfrac{1}{2},0,1\)
donc \overrightarrow{GL} \cdot \overrightarrow{BI} = \(-\dfrac{1}{3}\) \times \(-\dfrac{1}{2}\) + \(-\dfrac{5}{6}\) \times 0 + \(-\dfrac{1}{6}\)\times1=0 donc (GL) et (BI) sont orthogonales
`\overrightarrow{IL} = \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{6} , \dfrac{5}{6}- 1\) = \(\dfrac{1}{6} , \dfrac{1}{6} , -\dfrac{1}{6} \) et \overrightarrow{GB}=(1-1,-1,-1)=(0,-1,-1)
donc \overrightarrow{IL} \cdot \overrightarrow{GI} = \(\dfrac{1}{6}\) \times 0 + \dfrac{1}{6} \times (-1) - \dfrac{1}{6} \times (-1) = 0 donc (IL) et (GB) sont orthogonales.
donc L est l'orthocentre du triangle BGI




exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. |z_A| = \sqrt{\(-\dfrac{3}{2}\)^2+\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{\dfrac{12}{4}}=\sqrt3

alors z_A = \sqrt{3} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i \dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{3} \(\cos\(\dfrac{5\pi}{6}\)+\sin\(\dfrac{5\pi}{6}\)\)=\sqrt3e^{i\frac{5\pi}{6}

z_B=\overline{z_A}=\overline{\sqrt3e^{i\frac{5\pi}{6}}}=\sqrt3e^{-i\frac{5\pi}{6}}

2.
Bac scientifique Liban Juin 2009 - terminale : image 3


3. AB=|z_A-z_B|=|z_A-\bar{z_A}|=|2Im(z_A)|=\sqrt3

AC=|z_A-z_C|= \left|-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}+3\right| = \left|\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2} \right|=\sqrt3

BC=|z_B-z_C|=|\overline{z_A}-z_C|=|\overline{z_A}-\overline{z_C}|=|\overline{z_A-z_C}|=|z_A-z_C|=AC=\sqrt3

donc AB = BC = AC donc ABC est équilatéral

Partie B


1.a) z_A'=\dfrac{1}{3}i \(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\)^2 = \dfrac{1}{3}i \(\dfrac{9}{4}-2i\dfrac{3\sqrt3}{4}-\dfrac{3}{4}\) = \dfrac{1}{3}i \(\dfrac{3}{2}-i\dfrac{3\sqrt3}{2}\) = \dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2}
z_B' = \dfrac{1}{3}i \(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\)^2 = \dfrac{1}{3}i \(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\) = -\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2}
z_C'=\dfrac{1}{3}i(-3)^2=3i

1. c) z_B' = -\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt3} \(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\) = \dfrac{1}{\sqrt3}z_A donc O, A et B' sont alignés.
z_A' = \dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt3} \(-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt3}{2}\) = -\dfrac{1}{\sqrt3}z_B donc O, B et A' sont alignés.

2. a) G isobarycentre de O, A, B, C donc z_G = \dfrac{1}{4}(z_O+z_A+z_B+z_C) = \dfrac{1}{4}(2Re(z_A)-3) = \dfrac{1}{4}{-3-3} = -\dfrac{3}{2}
z_G'=\dfrac{1}{3}i \(-\dfrac{3}{2}\)^2=\dfrac{3}{2}i

2. b) Soit G_2 l'isobarycentre de O,A',B',C' alors z_{G_2} = \dfrac{1}{4}(z_O+z_A'+z_B'+z_C') = \dfrac{1}{4} \(\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2}+3i\) = i
donc G_2\neq G', G' n'est pas l'isobarycentre de O, A', B', C'.

3. Soit M un point de la droite (AB), alors x_M=-\dfrac{3}{2}, autrement dit z_M est de la forme z_M=-\dfrac{3}{2}+iy
z_M'=\dfrac{1}{3}i \(-\dfrac{3}{2}+iy\)^2 = \dfrac{1}{3}i \(\dfrac{9}{4}-y^2-3iy\) = y+i \(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}y^2\)
donc x_M' = y et y_M' = -\dfrac{1}{3}y+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{3}x_M'+\dfrac{3}{4}
donc M' appartient à la parabole d'équation y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{3}{4}

NB (non demandé): on peut vérifier en tracant la parabole qu'elle passe par les points A' et B'




exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. 2009 \equiv 9 [16] donc 2009^2\equiv81\equiv1 [16]
Le reste de la division euclidienne de 2009^2 par 16 est donc 1

2. On montre alors par récurrence que pour tout entier naturel k, on a : 2009^{2k}=1 :
pour k = 0, 2009^{2k}=2009^0=1 \equiv 1[16] donc la propriété est vraie au rang 0
on suppose la propriété vraie au rang k : 2009^{2k}\equiv1[16]
alors 2009^{2(k+1)}=2009^{2k+2}=2009^{2k}\times2009^2 or 2009^{2k}\equiv1[16] et 2009^2\equiv1[16] donc 2009^{2(k+1)}\equiv1[16] donc la propriété est héréditaire
la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel k
donc 2009^{8001}=2009^{8000}\times2009\equiv1\times2009\equiv2009 [16]

Partie B

1. a) u_0=2009^2-1=(2009-1)(2009+1)=2008\times2010=2008\times402\times5 donc u_0 est divisible par 5

1. b) u_{n+1}=(u_n+1)^5-1=u_n^5+5u_n^4+10u_n^3+10u_n^2+5u_n+1-1=u_n^5+5u_n^4+10u_n^3+10u_n^2+5u_n
=u_n(u_n^4+5u_n^3+10u_n^2+10u_n^1+5)=u_n[u_n^4+5(u_n^3+2u_n^2+2u_n+1)]

1. c) Démonstration par récurrence
pour n=0, u_n=u_0 est divisible par 5^{n+1}=5 comme démontré précédemment, donc la propriété est vraie au rang 0
on suppose que la propriété est vraie au rang n : u_n est divisible par 5^{n+1}
u_{n+1}=u_n[u_n^4+5(u_n^3+2u_n^2+2u_n+1)]
or 5^{n+1}|u_n
et 5^{n+1}|u_n donc 5|u_n, et 5|5(u_n^3+2u_n^2+2u_n+1) donc 5|u_n^4+5(u_n^3+2u_n^2+2u_n+1)
donc 5^{n+2}|u_{n+1}
la propriété est héréditaire
la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n : u_n est divisible par 5^{n+1}

2. a) u_0=2009^2-1
u_1=(u_0+1)^5-1=(2009^2-1+1)^5-1=2009^{10}-1 \\ u_2=(u_1+1)^5-1=(2009^{10}-1+1)^5-1=2009^{50}-1 \\ u_3=(u_2+1)^5-1=(2009^{50}-1+1)^5-1=2009^{250}-1
Or on a montré dans la question précédente que pour tout entier naturel n, u_n est divisible par 5^{n+1} donc u_3 est divisible par 5^4=625
donc u_3\equiv0[625] donc 2009^{250}-1\equiv0[625] donc 2009^{250}\equiv1[625]

2. b) 2009^{8001}=2009^{8000}\times2009=(2009^{250})^4\times2009
or 2009^{250}\equiv1[625] donc (2009^{250})^4\equiv1[625] donc (2009^{250})^4\times2009\equiv2009[625]
donc 2009^{8001}\equiv2009[625]

Partie C

1. d'après la question A.2. 2009^{8001}\equiv2009[16] donc 16|2009^{8001}-2009
d'après la question B.2.b) 2009^{8001}\equiv2009[625] donc 625|2009^{8001}-2009
or 16=2^4 et 625=5^4 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss : 16\times625=10000|2009^{8001}-2009

2.10000|2009^{8001}-2009 donc 2009^{8001}-2009\equiv0[10000] donc 2009^{8001}\equiv2009[10000]
or 8001=2667\times3 donc 2009^{8001}=(2009^{2667})^3 et alors (2009^{2667})^3\equiv2009[10000]
L'entier N=2009^{2667} répond donc au problème : c'est un entier dont l'écriture du cube se termine par 2009.
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