Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Pour chacune des trois questions. une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.
1. On désigne par et deux évènements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité .
On sait que et .
La probabilité de l'évènement est égale à :
a)
b)
c)
d)
2. On note une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre .
On rappelle que pour tout réel positif, la probabilité de l'évènement , notée , est donnée par .
La valeur approchée de à 10-2 près par excès est égale à :
a) 0,91
b) 0,18
c) 0,19
d) 0,82
3. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre.
S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à .
Je sors mon chien ; la probabilité qu'il ne pleuve pas est égale à :
a)
b)
c)
d)
8 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
On considère la fonction définie sur par La courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
Partie A
1. a) Déterminer la limite de la fonction en .
b) Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe . Tracer .
c) Étudier la position relative de et de .
d) Montrer que pour tout réel .
e) En déduire la limite de en .
2. a) On note la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que pour tout réel, .
b) En déduire les variations de la fonction .
Partie B
Soit un entier naturel non nul. On appelle , l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe , la droite d'équation et les droites d'équations et .
1. Justifier que pour tout entier naturel non nul, .
2. On admet que pour tout réel .
Montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, .
3. La suite est-elle convergente ?
Partie C
Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe .
On note la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
1. Calculer le coefficient directeur de puis construire sur le graphique.
2.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Soient M et N deux points de la courbe d'abscisses non nulles et opposées.
Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite .
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.
Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal .
1. a) Déterminer les coordonnées des points I et J.
b) Vérifier que le vecteur est un vecteur normal au plan (BGI).
c) En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).
d) Calculer la distance du point F au plan (BGI).
2. On note la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
a) Donner une représentation paramétrique de la droite .
b) Montrer que la droite passe par le centre K de la face ADHE.
c) Montrer que la droite et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées .
d)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ?
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d' affixes respectives : et
Partie A
1. Écrire les nombres complexes et sous forme exponentielle.
2. Placer les points A, B et C.
3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
Partie B
Soit l'application qui, à tout point M du plan d'affixe , associe le point M' d'affixe .
On note O', A', B' et C' les points respectivement associés par aux points O, A, B et C.
1. a) Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A', B' et C'.
b) Placer les points A', B' et C' .
c) Démontrer l'alignement des points O, A et B' ainsi que celui des points O, B et A'.
2. Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G' le point associé à G par .
a) Déterminer les affixes des points G et G'.
b) Le point G' est-il l'isobarycentre des points O', A', B' et C' ?
3. Démontrer que si M appartient à la droite (AB) alors M' appartient à la parabole d'équation . (On ne demande pas de tracer cette parabole)
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que .
Partie A
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .
2. En déduire que .
Partie B
On considère la suite définie sur par :
et, pour tout entier naturel .
1. a) Démontrer que est divisible par 5.
b) Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel est divisible par .
2. a) Vérifier que puis en déduire que .
b) Démontrer alors que .
Partie C
1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 20098001 - 2009 est divisible par 10 000.
2. Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009.
1. Réponse b) A et B sont indépendants donc or donc
2. Réponse d)
3. Réponse d) , et . On cherche on a aussi or d'où
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. a) donc et donc
1. b) On détermine :
d'après les calculs déjà effectués dans la question a).
donc la droite d'équation est asymptote à la courbe au voisinage de .
1. c) On détermine le signe de :
or pour tout réel , on a : donc donc car la fonction ln est strictement croissante
donc pour tout réel , ou encore La courbe est donc au-dessus de la droite
1. d) Pour tout réel , (en utilisant les formules avec et et avec
1. e) donc donc et donc
2. a) En utilisant les formules et et en partant de l'écriture :
2. b) Pour tout réel , donc donc est du signe de :
donc est décroissante sur et croissante sur
Partie B
1. D'après les résultats de la question A. 1 .c), la courbe est au-dessus de la droite donc l'aire du domaine est donnée par
2. Pour tout réel , on admet que , donc, d'après les propriétés de linéarité de l'intégrale, on a :
or une exponentielle est toujours positive donc donc
3. Par construction, la suite est croissante car représente l'aire d'un domaine et le domaine s'agrandit lorsque n augmente.
or d'après la question précédente, pour tout entier naturel n donc la suite est majorée
or toute suite croissante et majorée converge, donc la suite est convergente..
Partie C
1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est or donc Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est .
2. Soit a l'abscisse de M (a positif non nul), alors l'abscisse de N est -a.
Le coeefficient directeur de la droite (MN) est donné par :
or donc Les droites (MN) et ont donc le même coefficient directeur, elles sont dont parallèles.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. a) On peut déterminer facilement et or I est milieu de [EF] donc .
J symétrique de E par rapport à F donc F est milieu de [EJ] d'où
1. b) et donc et donc donc donc les vecteurs et sont orthogonaux.
et donc donc donc les vecteurs et sont orthogonaux.
est orthogonal aux vecteurs et donc est normal au plan (BGI)
1. c) L'équation cartésienne du plan (BGI) est donc de la forme avec d un réel à déterminer.
Le plan passe par B donc donc L'équation du plan (BGI) est donc
1. d) La distance du point F(1,0,1) au plan BGI s'obtient par la formule :
2. a) est orthogonale à (BGI) de vecteur normal donc est un vecteur directeur de la droite
Son écriture paramétrique est donc :
soit
2. b) K a pour coordonnées or dans l'écriture paramétrique de , pour on a : , et donc passe par K.
2. c) On cherche le point d'intersection (s'il existe) de et (BGI) :
donc il existe un réel tel que , et donc donc donc donc d'où , et
2. d) et donc donc (BL) et (GI) sont orthogonales.
et donc donc (GL) et (BI) sont orthogonales
` et donc donc (IL) et (GB) sont orthogonales.
donc L est l'orthocentre du triangle BGI
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1.
alors
2.
3.
donc AB = BC = AC donc ABC est équilatéral
Partie B
1.a)
1. c) donc O, A et B' sont alignés.
donc O, B et A' sont alignés.
2. a) G isobarycentre de O, A, B, C donc
2. b) Soit l'isobarycentre de O,A',B',C' alors donc , G' n'est pas l'isobarycentre de O, A', B', C'.
3. Soit M un point de la droite (AB), alors , autrement dit est de la forme donc et donc M' appartient à la parabole d'équation
NB (non demandé): on peut vérifier en tracant la parabole qu'elle passe par les points A' et B'
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. donc Le reste de la division euclidienne de par 16 est donc 1
2. On montre alors par récurrence que pour tout entier naturel k, on a : :
pour k = 0, donc la propriété est vraie au rang 0
on suppose la propriété vraie au rang k : alors or et donc donc la propriété est héréditaire
la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel k
donc
Partie B
1. a) donc est divisible par 5
1. b)
1. c) Démonstration par récurrence
pour n=0, est divisible par comme démontré précédemment, donc la propriété est vraie au rang 0
on suppose que la propriété est vraie au rang n : est divisible par or et donc , et donc donc la propriété est héréditaire
la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n : est divisible par
2. a) Or on a montré dans la question précédente que pour tout entier naturel n, est divisible par donc est divisible par donc donc donc
2. b) or donc donc donc
Partie C
1. d'après la question A.2. donc d'après la question B.2.b) donc or et sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss :
2. donc donc or donc et alors L'entier répond donc au problème : c'est un entier dont l'écriture du cube se termine par 2009.
Publié par Cel/Aurélien
le
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