Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Asie - Session Juin 2009

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
2 feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs \mathcal{F}_{1},~\mathcal{F}_{2}, et \mathcal{F}_{3}.
Dans l'entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.
La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur \mathcal{F}_{1}, le tiers par le fournisseur \mathcal{F}_{2} et le reste par le fournisseur \mathcal{F}_{3}.

Une étude statistique a montré que :
    5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur \mathcal{F}_{1} ont un défaut ;
    1,5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur \mathcal{F}_{2} ont un défaut ;
    sur l'ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussettes ont un défaut.

1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l'entreprise.
On considère les évènements F1, F2, F3 et D suivants :
    F1 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur \mathcal{F}_{1} » ;
    F2 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur \mathcal{F}_{2} » ;
    F3 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur \mathcal{F}_{3} » ;
    D : « La paire de chaussettes prélevée présente un défaut ».
    a) Traduire en termes de probabilités les données de l'énoncé en utilisant les évènements précédents.
Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cette expérience.
    b) Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur \mathcal{F}_{1} et présente un défaut.
    c) Calculer la probabilité de l'évènement F_{2} \cap \text{D}.
    d) En déduire la probabilité de l'évènement F_{3} \cap \text{D}.
    e) Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur \mathcal{F}_{3}, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ?

2. L'entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.
On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, succesifs avec remise.
    a) Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d'un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
    b) Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus une paire de chaussettes d'un lot présente un défaut est égale à 0,983.


5 points

exercice 2 - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O~;~\vec{u}~,\vec{v}).
On place dans ce repère, les points A d'affixe 1, B d'affixe bb est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.
On construit à l'extérieur du triangle OAB les carrés directs ODCA et OBEF comme indiqué sur la figure ci-dessous.

bac scientifique Asie Juin 2009 - terminale : image 1


1. Déterminer les affixes c et d des points C et D.

2. On note r la rotation de centre O et d'angle +\dfrac{\pi}{2}.
    a) Déterminer l'écriture complexe de r.
    b) En déduire que l'affixe f du point F est \text{i}b.
    c) Déterminer l'affixe e du point E.

3. On appelle G le point tel que le quadrilatère OFGD soit un parallélogramme.
Démontrer que l'affixe g du point G est égal à \text{i}(b -1).

4. Démontrer que \dfrac{e - g}{c - g} = \text{i} et en déduire que le triangle EGC est rectangle et isocèle.


5 points

exercice 2 - Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que \left\lbrace\begin{array}{l c l r} N&\equiv&5&(13)\\ N&\equiv &1&(17)\\ \end{array}\right.
    a) Vérifier que 239 est solution de ce système.
    b) Soit N un entier relatif solution de ce système.
Démontrer que N peut s'écrire sous la forme N = 1 + 17x = 5 + 13yx et y sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x - 13y = 4.
    c) Résoudre l'équation 17x - 13y = 4x et y sont des entiers relatifs.
    d) En déduire qu'il existe un entier relatif k tel que N = 18 + 221k.
    e) Démontrer l'équivalence entre N \equiv 18 \, (221) et \left\lbrace\begin{array}{l c l r} N&\equiv&5&(13)\\ N&\equiv &1&(17)\\ \end{array}\right..

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infruxtueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    a) Existe-t-il un entier naturel k tel que 10^k \equiv 1 \, (17) ?
    b) Existe-t-il un entier naturel l tel que 10^l \equiv 18 \, (221) ?


6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère l'équation notée (E) :  \ln x = -x.

Le but de l'exercice est de prouver que l'équation (E), admet une solution unique notée \alpha appartenant à l'intervalle ]0~;~ +\infty[ et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement.

Partie A : existence et unicité de la solution

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[ par f(x) = x + \ln x.

1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[.

2. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution notée \alpha appartenant à l'intervalle ]0~;~ +\infty[.

3. Vérifier que : \dfrac{1}{2} \leq \alpha \leq 1.

Partie B : encadrement de la solution \alpha

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[ par g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}.

1. Étude de quelques propriétés de la fonction g.
    a) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[.
    b) En déduire que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle \left[\dfrac{1}{2}~;~ 1\right],~ g(x) appartient à cet intervalle.
    c) Démontrer qu'un nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0~;~ +\infty[ est solution de l'équation (E) si et seulement si g(x) = x.

2. On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0} = \dfrac{1}{2} et pour tout entier naturel n, par u_{n+1} = g\left(u_{n}\right).
    a) En utilisant le sens de variation de la fonction g, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,~\dfrac{1}{2} \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1.
    b) En déduire que la suite \left(u_{n}\right) converge vers \alpha.

3. Recherche d'une valeur approchée de \alpha
    a) À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u_{10}, arrondie à la sixième décimale.
    b) On admet que u_{10} est une valeur approchée par défaut à 5 \times 10^{-4} près de \alpha.
En déduire un encadrement de \alpha sous la forme u \leq \alpha \leq vu et v sont deux décimaux écrits avec trois décimales.


4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

L'exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d'entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s'agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué.
Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.


1. Question 1
La solution f de l'équation différentielle y'+ 2y = 6 qui vérifie la condition initiale f(0) = 1 est définie sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par :
Réponse (1) : f(x) = -2\text{e}^{-2x} +3Réponse (2) : f(x) = - 2\text{e}^{2x} +3Réponse (3) : f(x) = -2\text{e}^{-2x}- 3


2. Question 2
On considère un triangle ABC et on note I le point tel que 2\overrightarrow{\text{IB}} + \overrightarrow{\text{IC}}= \vec{0}.
Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système :
Réponse (1) : {(A,1), (C,2)}Réponse (2) : {(A,1), (B,2), (C,2)}Réponse (3) : {(A,1), (B,2), (C,1)}


3. Question 3
Dans l'espace muni d'un repère orthononnal (O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}), on considère le plan \mathcal{P} d'équation cartésienne : x - 3y + 2z = 5 et le point A(2 ; 3 ; -1).
Le projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P} est le point :
Réponse (1) : H1(3 ; -1 ; 4)Réponse (2) : H2(4 ; -3 ; -4)Réponse (3) : H3(3 ; 0 ; 1)


4. Question 4
La valeur moyenne de la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 1] par f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} est égale à :
Réponse (1) : -\dfrac{\pi}{2}Réponse (2) : \dfrac{\pi}{4}Réponse (3) : \dfrac{\pi}{2}








exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) p(F_1) = \dfrac{1}{2}
p(F_2) = \dfrac{1}{3}\\ p(F_3) = 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \\ p_{F_1}(D) = 0,05 \\ p_{F_2}(D) = 0,015 \\ p(D)=0,035

1. b) p(F_1\cap D) = p(F_1)p_{F_1}(D) = \dfrac{1}{2} \times 0,05 = 0,025

1. c) p(F_2\cap D) = p(F_2)p_{F_2}(D) = \dfrac{1}{3} \times 0,015 = 0,005 = 0,5

1. d) p(F_3\cap D) = p(D) - p(F_1 \cap D) - p(F_2 \cap D) = 0,035 - 0,025 - 0,005 = 0,005

1. e) p_{F_3}(D) = \dfrac{p(F_3\cap D)}{p(F_3)} = 0,005 \times 6 = 0,03

2. a) Soit X la variable donnant le nombre de paires de chaussettes présentant un défaut dans le lot.
Le choix des paires de chaussettes étant assimilé à des tirages indépendants et le caractère défectueux représentant une épreuve de Bernoulli de "succès" p=p(D)=0,035, l'expérience est une expérience de Bernoulli.
X suit donc une loi binomiale de paramètres n=6 et p=p(D)=0,035.
alors p(X=2) = \dfrac{6!}{(6-2)!2!} \times 0,035^2 \times(1-0,035)^{6-2}=0,016

2. b) p(X\le 1)=p(X=0)+p(X=1)
or p(X=0)=(1-0,035)^6=0,807 et p(X=1)=\dfrac{6!}{5!1!}\times0,035\times(1-0,035)^5=0,176
donc p(X\le 1)=0,807+0,176=0,983




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Lecture graphique en utilisant le fait que ODCA est un carré direct: d=-i et c=1-i

2. a) L'écriture complexe d'une rotation de centre O et d'angle \theta s'écrit : z'=e^{i\theta}z
ici \theta = +\dfrac{\pi}{2} donc e^{i\theta}=e^{i\frac{\pi}{2}}=i
donc l'écriture complexe de r est z'=iz

2. b) OBEF est un carré direct donc F est l'image de B par la rotation r de centre O et d'angle +\dfrac{\pi}{2}
donc z_F=iz_B autrement dit f=ib

2. c) OBEF est un carré donc \overrightarrow{FE}=\overrightarrow{OB} donc z_{\overrightarrow{FE}}=z_{\overrightarrow{OB}}
donc e-f=b
donc e=b+f=b+ib=(1+i)b

3. OFGD est un parallélogramme donc \overrightarrow{FG}=\overrightarrow{OD} donc z_{\overrightarrow{FG}}=z_{\overrightarrow{OD}}
donc g-f=d
donc g=d+f=-i+ib=i(b-1)

4. \dfrac{e-g}{c-g} = \dfrac{(1+i)b-i(b-1)}{(1-i)-i(b-1)} = \dfrac{b+i}{1-ib} = \dfrac{i(-ib+1)}{1-ib} = i
Donc \dfrac{EG}{CG} = |\dfrac{e-g}{c-g}|=|i|=1 donc EG = CG donc EGC est isocèle en G
et (\overrightarrow{GC},\overrightarrow{GE})=\arg{\dfrac{e-g}{c-g}}=\arg{i}=\dfrac{\pi}{2} donc EGC est rectangle en G
donc EGC est rectangle et isocèle en G.




exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) 239=234+5=18\times13+5\equiv 5(13)
et 239=238+1=14\times17+1\equiv 1 (17)
donc 239 est solution du système.

1. b) N est solution du système donc :
N\equiv 5 (13) donc il existe un entier relatif y tel que N=13y+5
et N\equiv 1 (17) donc il existe un entier relatif x tel que N=17x+1
avec N=13y+5=17x+1 donc 17x-13y=4

1. c) 17x-13y=4=17-13
donc 17(x-1)=13(y-1)
donc 17|13(y-1) or 17 et 13 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss : 17|(y-1)
donc il existe un entier relatif k tel que y-1=17k donc y=17k+1
alors 17(x-1)=13\times17k donc x-1=13k donc x=13k+1.
Réciproquement, on vérifie que tous les couples de la forme (13k+1,17k+1)k est un entier relatif sont solutions de l'équation.
Conclusion : S={(13k+1,17k+1),k\in\mathbb{Z}}

1. d) N peut s'écrire sous la forme N=1+17x=5+13yx et y sont des entiers relatifs qui vérifient 17x-14y=4
donc d'après les résultats de la question précédentes, il existe un relatif k tel que x=13k+1
alors N=1+17(13k+1)=18+221k

1. e) On a montré dans les questions précédentes que si N est solution du système, alors il existe un entier relatif k tel que N=18+221k donc N\equiv18 (221)
Il s'agit à présent de démontrer la réciproque.
Si N\equiv 18 (221) alors il existe un entier relatif k tel que N=18+221k
donc N=18+221k=1+17+17\times13k=1+17\times(1+13k)\equiv 1 (17)
et N=18+221k=5+13+13\times17k=5+13(1+17k)\equiv 5 (13)
Conclusion : N\equiv18 (221) \, \Longleftrightarrow \, N\equiv5 (13) et N\equiv1 (17)}

2. a) 10^0=1\equiv 1 (17) donc OUI il existe un entier naturel k tel que 10^k\equiv 1 (17), par exemple k=0.

2. b) 10^l\equiv 18(221) \, \Longleftrightarrow \, 10^l\equiv 5 (13) et 10^l\equiv 1 (17).
pour l=0, 10^0=1\equiv 1 (13)
pour l=1, 10^1=10\equiv 10 (13)
pour l=2, 10^2=100\equiv 9 (13)
pour l=3, 10^3\equiv90\equiv 12 (13)
pour l=4, 10^4\equiv120\equiv 3 (13)
pour l=5, 10^5\equiv30\equiv 4 (13)
pour l=6, 10^6\equiv40\equiv 1 (13)
etc. la "suite" des congruences sera alors une succession de {1,10,9,12,3,4} sans jamais prendre la valeur 5 (on pourrait le montrer par récurrence).
Il n'existe donc pas de l tel que 10^l\equiv 5 (13)
donc a fortiori NON il n'existe par de l tel que 10^l\equiv 18 (221)




exercice 3 - Commun à tous les candidats


Partie A : existence et unicité de la solution

1. f(x)=x+ \ln x
La fonction f est dérivable sur ]0,+\infty[ et la dérivée vaut :
f'(x)=1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1+x}{x}
La dérivée est donc strictement positive sur ]0,+\infty[.
La fonction est donc strictement croissante sur ]0,+\infty[.

2. \displaystyle \lim_{x\to 0} \ln x=-\infty donc \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0-\infty=-\infty
et \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty+\infty=+\infty
donc f est strictement croissante de ]0,+\infty[ sur \mathbb{R} or 0\in\mathbb{R} donc d'après le théorème des bijections, l'équation f(x)=0 adment une unique solution notée \alpha sur ]0,+\infty[.

3. f \left(\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2} + \ln \dfrac{1}{2}=-0,193 \le f(\alpha) or f est strictement croissante donc \dfrac{1}{2}\le \alpha
f(1)=1+\ln 1=1\ge f(\alpha) or f est strictement croissante donc 1\ge \alpha
donc \dfrac{1}{2} \le \alpha \le 1

Partie B : encadrement de la solution

1. a) g est dérivable sur ]0,+\infty[ et sa dérivée vaut :
g'(x) = \dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{5x} = \dfrac{4x-1}{5x} du signe de 4x-1:
g'(x)=4x-1\ge 0 sur [\dfrac{1}{4},+\infty[ donc g est croissante sur [\dfrac{1}{4},+\infty[
g'(x)=4x-1\le 0 sur [0;\dfrac{1}{4}] donc g est décroissante sur [0;\dfrac{1}{4}]

1. b) g est croissante sur [\dfrac{1}{4},+\infty[ et [\dfrac{1}{2},1] \subset [\dfrac{1}{4},+\infty[ donc g est croissante sur [\dfrac{1}{2},1] donc :
pour tout nombre réel x appartenant à \left[\dfrac{1}{2},1\right], on a : g \left(\dfrac{1}{2} \right)\le g(x) \le g(1)
or g \left(\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{2 - \ln(\frac{1}{2}}{5}=0,538\ge \dfrac{1}{2} et g(1)=\dfrac{4-\ln 1}{5}=\dfrac{4}{5}=0,8\le 1
donc 0,5 \le g \left(\dfrac{1}{2} \right) \le g(x) \le g(1) \le 1
donc g(x)\in[\frac{1}{2},1]

1. c) Soit x\in]0,+\infty[, g(x)=x \Longleftrightarrow \dfrac{4x-\ln x}{5}=x \Longleftrightarrow 4x-\ln x=5x \Longleftrightarrow  \ln x =-x \Longleftrightarrow  x est solution de (E)

2. a) Démonstration par récurrence
au rang n = 0 : u_0=\dfrac{1}{2} et u_1 = g(u_0) = g \left(\dfrac{1}{2} \right) = 0,538 on a donc bien \dfrac{1}{2}\le u_0 \le u_1 \le 1
on suppose la propriété vraie au rang n : \dfrac{1}{2} \le u_n \le u_{n+1} \le 1
g est croissante sur \left[\dfrac{1}{2},1 \right] donc g \left(\dfrac{1}{2} \right) \le g(u_n) \le g(u_{n+1}) \le g(1) donc \dfrac{1}{2}\le 0,538\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 0,8 \le 1
donc la propriété est héréditaire
la propriété est vraie au rang n = 0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n : \dfrac{1}{2}\le u_n \le u_{n+1} \le 1

2. b) Pour tout entier naturel n, on a : \dfrac{1}{2} \le u_n \le u_{n+1} \le 1 donc la suite (u_n) est croissante et majorée par 1
or toute suite croissante et majorée est convergente, donc la suite (u_n) est convergente et sa limite vérifie g(\ell)= \ell
or g(\ell) = \ell \, \Longleftrightarrow \, \ell est solution de (E), d'après les résultats de la question 1. c)
or (E) admet une unique solution \alpha donc \ell = \alpha
La suite (u_n) converge vers \alpha.

3. a) En programmant la calculatrice, on détermine : u_{10}=0,567124

3. b) On a donc : 0,567124-0,0005\le \alpha \le 0,567124+0,0005 donc 0,566624\le \alpha \le 0,567624 donc 0,566\le \alpha \le 0,568




exercice 4 - Commun à tous les candidats

Quesion 1. Réponse 1
on peut éliminer la réponse 3 car dans ce cas f(0)=-3
dans le cas de la réponse 1 : f'(x)=4e^{-2x} donc f'(x)+2f(x)=6 OK
on peut vérifier que dans le cas de la question 2, f'(x)+2f(x)=-6e^{2x}+6\neq6

Question 2. Réponse 3
2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0} donc I est le barycentre de (B,2)(C,1)
dans le cas de la réponse 3, G barycentre de (A,1)(B,2)(C,1) donc (propriété des barycentres partiels) G barycentre de de (A,1)(I,3) donc A,G et I sont alignés.

Question 3. Réponse 3
on peut éliminer la réponse 1 car 3-3\times(-1)+4=3+3+4=10\neq5 donc H_1\notin P
\vec{n}=(1,-3,2) est normal à P et \overrightarrow{AH_2}=(2,-6,-3) non colinéaire à \vec{n} et \overrightarrow{AH_3}=(1,-3,2)=\vec{n} donc (AH_3) est orthogonale à P

Question 4. Réponse 2
on peut éliminer la réponse 1 car la fonction est strictement positive sur [0,1]
\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}dx= [\arctanc(x)]_0^1= \arctan(1)- \arctan(0)=\dfrac{\pi}{4}-0=\dfrac{\pi}{4}
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