Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
2 feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs et .
Dans l'entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.
La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur , le tiers par le fournisseur et le reste par le fournisseur .
Une étude statistique a montré que :
5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur ont un défaut ;
1,5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur ont un défaut ;
sur l'ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussettes ont un défaut.
1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l'entreprise.
On considère les évènements F1, F2, F3 et D suivants :
F1 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur » ;
F2 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur » ;
F3 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur » ;
D : « La paire de chaussettes prélevée présente un défaut ».
a) Traduire en termes de probabilités les données de l'énoncé en utilisant les évènements précédents.
Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cette expérience. b) Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur et présente un défaut.
c) Calculer la probabilité de l'évènement .
d) En déduire la probabilité de l'évènement .
e) Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur , quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ?
2. L'entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.
On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, succesifs avec remise.
a) Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d'un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
b) Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus une paire de chaussettes d'un lot présente un défaut est égale à 0,983.
5 points
exercice 2 - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct .
On place dans ce repère, les points A d'affixe 1, B d'affixe où est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.
On construit à l'extérieur du triangle OAB les carrés directs ODCA et OBEF comme indiqué sur la figure ci-dessous.
1. Déterminer les affixes et des points C et D.
2. On note la rotation de centre O et d'angle .
a) Déterminer l'écriture complexe de .
b) En déduire que l'affixe du point F est .
c) Déterminer l'affixe du point E.
3. On appelle G le point tel que le quadrilatère OFGD soit un parallélogramme.
Démontrer que l'affixe du point G est égal à .
4. Démontrer que et en déduire que le triangle EGC est rectangle et isocèle.
5 points
exercice 2 - Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs tels que
a) Vérifier que 239 est solution de ce système.
b) Soit un entier relatif solution de ce système.
Démontrer que peut s'écrire sous la forme où et sont deux entiers relatifs vérifiant la relation .
c) Résoudre l'équation où et sont des entiers relatifs.
d) En déduire qu'il existe un entier relatif tel que .
e) Démontrer l'équivalence entre et .
2.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infruxtueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. a) Existe-t-il un entier naturel tel que ?
b) Existe-t-il un entier naturel tel que ?
6 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On considère l'équation notée (E) : .
Le but de l'exercice est de prouver que l'équation (E), admet une solution unique notée appartenant à l'intervalle et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement.
Partie A : existence et unicité de la solution
On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
1. Déterminer le sens de variation de la fonction sur l'intervalle .
2. Démontrer que l'équation admet une unique solution notée appartenant à l'intervalle .
3. Vérifier que : .
Partie B : encadrement de la solution
On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
1. Étude de quelques propriétés de la fonction .
a) Étudier le sens de variation de la fonction sur l'intervalle .
b) En déduire que pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle appartient à cet intervalle.
c) Démontrer qu'un nombre réel appartenant à l'intervalle est solution de l'équation (E) si et seulement si .
2. On considère la suite définie par et pour tout entier naturel , par .
a) En utilisant le sens de variation de la fonction , démontrer par récurrence que pour tout entier naturel .
b) En déduire que la suite converge vers .
3. Recherche d'une valeur approchée de
a) À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de , arrondie à la sixième décimale.
b) On admet que est une valeur approchée par défaut à près de .
En déduire un encadrement de sous la forme où et sont deux décimaux écrits avec trois décimales.
4 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
L'exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d'entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s'agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué.
Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
1.Question 1 La solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale est définie sur l'ensemble des nombres réels par :
Réponse (1) :
Réponse (2) :
Réponse (3) :
2.Question 2 On considère un triangle ABC et on note I le point tel que .
Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système :
Réponse (1) : {(A,1), (C,2)}
Réponse (2) : {(A,1), (B,2), (C,2)}
Réponse (3) : {(A,1), (B,2), (C,1)}
3.Question 3 Dans l'espace muni d'un repère orthononnal , on considère le plan d'équation cartésienne : et le point A(2 ; 3 ; -1).
Le projeté orthogonal du point A sur le plan est le point :
Réponse (1) : H1(3 ; -1 ; 4)
Réponse (2) : H2(4 ; -3 ; -4)
Réponse (3) : H3(3 ; 0 ; 1)
4.Question 4 La valeur moyenne de la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par est égale à :
2. a) Soit X la variable donnant le nombre de paires de chaussettes présentant un défaut dans le lot.
Le choix des paires de chaussettes étant assimilé à des tirages indépendants et le caractère défectueux représentant une épreuve de Bernoulli de "succès" , l'expérience est une expérience de Bernoulli.
X suit donc une loi binomiale de paramètres et .
alors
2. b) or et
donc
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. Lecture graphique en utilisant le fait que ODCA est un carré direct: et
2. a) L'écriture complexe d'une rotation de centre O et d'angle s'écrit :
ici donc
donc l'écriture complexe de r est
2. b) OBEF est un carré direct donc F est l'image de B par la rotation r de centre O et d'angle
donc autrement dit
2. c) OBEF est un carré donc donc
donc
donc
3. OFGD est un parallélogramme donc donc
donc
donc
4. Donc donc EG = CG donc EGC est isocèle en G
et donc EGC est rectangle en G
donc EGC est rectangle et isocèle en G.
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. a) et
donc 239 est solution du système.
1. b) N est solution du système donc :
donc il existe un entier relatif tel que
et donc il existe un entier relatif tel que
avec donc
1. c) donc
donc or 17 et 13 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss :
donc il existe un entier relatif tel que donc
alors donc donc .
Réciproquement, on vérifie que tous les couples de la forme où est un entier relatif sont solutions de l'équation.
Conclusion :
1. d) N peut s'écrire sous la forme où x et y sont des entiers relatifs qui vérifient
donc d'après les résultats de la question précédentes, il existe un relatif k tel que
alors
1. e) On a montré dans les questions précédentes que si N est solution du système, alors il existe un entier relatif k tel que donc
Il s'agit à présent de démontrer la réciproque.
Si alors il existe un entier relatif tel que
donc
et
Conclusion : et
2. a) donc OUI il existe un entier naturel k tel que , par exemple .
2. b) et .
pour ,
pour ,
pour ,
pour ,
pour ,
pour ,
pour ,
etc. la "suite" des congruences sera alors une succession de {1,10,9,12,3,4} sans jamais prendre la valeur 5 (on pourrait le montrer par récurrence).
Il n'existe donc pas de l tel que
donc a fortiori NON il n'existe par de l tel que
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A : existence et unicité de la solution
1. La fonction est dérivable sur et la dérivée vaut :
La dérivée est donc strictement positive sur .
La fonction est donc strictement croissante sur .
2. donc
et donc
donc est strictement croissante de sur or donc d'après le
théorème des bijections, l'équation adment une unique solution notée sur .
3. or est strictement croissante donc
or est strictement croissante donc
donc
Partie B : encadrement de la solution
1. a) est dérivable sur et sa dérivée vaut :
du signe de :
sur donc est croissante sur
sur donc est décroissante sur
1. b) est croissante sur et donc est croissante sur donc :
pour tout nombre réel appartenant à , on a :
or et
donc
donc
1. c) Soit , est solution de (E)
2. a) Démonstration par récurrence
au rang n = 0 : et on a donc bien
on suppose la propriété vraie au rang n :
est croissante sur donc donc
donc la propriété est héréditaire
la propriété est vraie au rang n = 0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n :
2. b) Pour tout entier naturel n, on a : donc la suite est croissante et majorée par 1
or toute suite croissante et majorée est convergente, donc la suite est convergente et sa limite vérifie
or est solution de (E), d'après les résultats de la question 1. c) or (E) admet une unique solution donc
La suite converge vers .
3. a) En programmant la calculatrice, on détermine :
3. b) On a donc : donc donc
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Quesion 1.Réponse 1 on peut éliminer la réponse 3 car dans ce cas
dans le cas de la réponse 1 : donc OK
on peut vérifier que dans le cas de la question 2,
Question 2.Réponse 3 donc I est le barycentre de (B,2)(C,1)
dans le cas de la réponse 3, G barycentre de (A,1)(B,2)(C,1) donc (propriété des barycentres partiels) G barycentre de de (A,1)(I,3) donc A,G et I sont alignés.
Question 3.Réponse 3 on peut éliminer la réponse 1 car donc
est normal à P et non colinéaire à et donc est orthogonale à P
Question 4.Réponse 2 on peut éliminer la réponse 1 car la fonction est strictement positive sur [0,1]
Publié par Cel/Aurélien
le
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