Bac Scientifique
Polynésie Française - Session 2009
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n'est pas parfaite.
Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5 % des lecteurs MP3 fonctionnant correctement.
On note :
l'évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ;
l'évènement : « l'unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ».
1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2. a) Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.
b) On dit qu'il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu'il n'est pas défectueux, ou qu'il n'est pas rejeté alors qu'il est défectueux.
Calculer la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle.
3. Montrer que la probabilité qu'un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.
4. Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé.
Un lecteur MP3 est :
commercialisé avec le logo de l'entreprise s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs,
détruit s'il est rejeté au moins deux fois,
commercialisé sans le logo sinon.
Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50€.
Son prix de vente est de 120€ pour un lecteur avec logo et 6€ pour un lecteur sans logo.
On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
b) Calculer à 10-2 près l'espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.
On supposera connus les résultats suivants :
P[/tex]our tous points A, B et C du plan d'affixes respectives , et , avec A C et A B :
et arg où est un entier relatif ;
Soit un nombre complexe et soit un nombre réel :
si et seulement si et arg où est un entier relatif.
Démontrer que la rotation d'angle et de centre d'affixe est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe associe le point M' d'affixe telle que : .
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct , unité graphique 1 cm.
Soit l'application qui, à tout point M d'affixe associe le point M' d'affixe telle que :
.
1. a) Déterminer l'affixe du point tel que
b) Montrer que, pour tout nombre complexe on a : .
c) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de .
2. On note A et B les points d'affixes respectives et .
a) Placer les points A, B et sur une figure que l'on completera au fur et à mesure des questions.
b) Déterminer les affixes des points A' et B' images respectives des points A et B par .
3. On appelle et les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA'], [A'B], [BB'] et [B'A].
a) Déterminer . On admettra que et .
b) Démontrer que MNPQ est un parallélogramme.
c) Déterminer la forme algëbrique du nombre complexe .
En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.
4. Démontrer que les droites (B'A) et (N) sont perpendiculaires.
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.
On supposera connu le résultat suivant :
Une application du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si admet une écriture complexe de la forme où et .
Démontrer que si A, B, A' et B' sont quatre points teIs que A est distinct de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.
Partie B
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct , unité graphique 2 cm.
On note A, B, C, D et E les points d'affixes respectives
.
1. Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions.
2. Déterminer la nature du triangle ABC.
3. Soit la similitude plane directe telle que (A) = D et (B) = A.
a) Donner l'écriture complexe de .
b) Déterminer l'angle, le rapport et le centre de cette similitude.
c) Montrer que le triangle DAE est l'image du triangle ABC par la similitude .
d) En déduire la nature du triangle DAE.
4. On désigne par le cercIe de diamètre [AB] et par le cercle de diamètre [AD].
On note M le second point d'intersection du cercle et de la droite (BC), et N le second point d'intersection du cercle et de la droite (AE).
a) Déterminer l'image de M par la similitude .
b) En déduire la nature du triangle MN.
c) Montrer que MB NE = MCNA.
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
L'espace est muni d'un repère orthonormal .
On considère les points : A (1 ; -1 ; 3), B (0 ; 3 ; 1), C (6 ; -7 ; -1), D (2 ; 1 ; 3) et E (4 ; -6 ; 2).
1. a) Montrer que le barycentre du système {(A,2),(B,-1),(C,1)} est le point E.
b) En déduire l'ensemble des points de l'espace tels que
.
2. a) Montrer que les points A, B et D définissent un plan.
b) Montrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (ABD).
c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABD).
3. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).
b) Déterminer les coordonnées du point F intersection de la droite (EC) et du plan (ABD).
4.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation Montrer que le plan (ABD) et l'ensemble , déterminé à la question 1., sont sécants. Préciser les éléments caractéristiques de cette intersection.
6 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats.
Le plan est muni d'un repère orthogonal .
Partie A
La courbe , donnée en annexe, est la courbe représentative d'une fonction dérivable sur , de fonction dérivée continue sur .
La courbe passe par les points O et A et, sur [0 ; 1], elle est au dessus du segment [OA].
1. Montrer que .
2. Montrer que .
Partie B
On sait désormais que la fonction considérée dans la partie A est définie sur par :
.
1. Déterminer la limite de en . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2. On considère la fonction définie sur par : .
Établir que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle .
3. a) Montrer que pour tout de et sont de signes contraires.
b) En déduire les variations de sur .
4. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :
.
a) Montrer que pour tout de .
b) Montrer que pour tout entier naturel .
c) En déduire la limite de quand tend vers .
ANNEXE
Publié par TP/
le
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