Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Métropole - Session 2009

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n, u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4$ . On pose, pour tout nombre entier naturel $n, v_{n} = u_{n} - 6$ .
    a) Pour tout nombre entier naturel $n$ , calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ . Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
    b) Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$ .
    c) Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

2. On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \ge 1$ : $nw_{n} = (n + 1)w_{n-1} +1$ et $w_{0} = 1$ . Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

$w_{0}$	$w_{1}$	$w_{2}$	$w_{3}$	$w_{4}$	$w_{5}$	$w_{6}$	$w_{7}$	$w_{8}$	$w_{9}$
1	3	5	7	9	11	13	15	17	19

a) Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$ .
b) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$ . Calculer $w_{\nombre{2009}}$ .

6 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \ln \left(1 + x\text{e}^{-x}\right)$ . On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ .
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). ANNEXE 1
(À rendre avec la copie)

bac scientifique Métropole Juin 2009 - terminale : image 1

Partie I

1. Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ .

2. Justifier que pour tout nombre réel positif $x$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $1- x$ .

3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ .

Partie II

Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} f(x) \text{d}x$ . On se propose de majorer $\mathcal{A}(\lambda)$ à l'aide de deux méthodes différentes.

1. Première méthode
    a) Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est égale à $\mathcal{A}(\lambda)$ .
    b) Justifier que pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $\mathcal{A}(\lambda) \le \lambda \times f(1)$ .

2. Deuxième méthode
    a) Calculer à l'aide d'une intégration par parties $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ en fonction de $\lambda$ .
    b) On admet que pour tout nombre réel positif $u, \ln (1 + u ) \le u$ .
Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif,
$\mathcal{A}(\lambda) \le - \lambda \text{e}^{- \lambda} - \text{e}^{- \lambda} + 1$ .

3. Application numérique
Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de $\mathcal{A}(5)$ , arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où $\lambda = 5$ ?

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

I.

Cette question est une restitution organisée de connaissances.
On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \le n$ alors $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$ .

Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \le p \le n$ on a : $\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$ .

II.

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.

1. a) On note A l'évènement « obtenir deux jetons blancs ».
Démontrer que la probabilité de l'évènement A est égale à $\dfrac{7}{15}$ .
    b) On note B l'évènement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ».
Calculer la probabilité de B.
    c) Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
2. Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
    a) Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
    b) Calculer l'espérance mathématique de $X$ .

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d'un repère orthononnal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , on associe à tout point M d'affixe $z$ non nulle, le point M' milieu du segment [MM₁] où M₁ est le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$ .
Le point M' est appelé l'image du point M.

1. a) Montrer que les distances OM et OM₁ vérifient la relation OM × OM₁= 1 et que les angles $\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM_{1}}\right)$ et $\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right)$ vérifient l'égalité des mesures suivantes $\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM_{1}}\right) = - \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right)$ à $2\pi$ près.
b) Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2. ANNEXE 2
(À rendre avec la copie)

bac scientifique Métropole Juin 2009 - terminale : image 2

Construire le point A' image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

2. a) Justifier que pour tout nombre complexe $z$ non nul, le point M' a pour affixe $z' = \dfrac{1}{2}\left( z + \dfrac{1}{z}\right)$ .
b) Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les affixes des points B' et C' images respectives des points B et C.
c) Placer les points B, C, B' et C' sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).

3. Déterminer l'ensemble des points M tels que M' = M.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M' appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives -1 et 1.

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

1. a) Déterminer l'ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : $8x - 5y = 3$ .
    b) Soit $m$ un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple $(p,q)$ de nombres entiers vérifiant $m = 8 p + 1$ et $m = 5q + 4$ .
Montrer que le couple $(p,q)$ est solution de l'équation (E) et en déduire que $m \equiv 9$ (modulo 40).
    c) Déterminer le plus petit de ces nombres entiers $m$ supérieurs à 2 000.

2. a) Démontrer que pour tout nombre entier naturel $k$ on a : $2^{3k} \equiv 1$ (modulo 7).
    b) Quel est le reste dans la division euclidienne de $2^{2009}$ par 7 ?

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec $a \neq 0$ .
On considère le nombre $N = a \times 10^3 + b$ . On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme $N = \overline{a00b}$ .
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par 7.
    a) Vérifier que $10^3 \equiv -1$ (modulo 7).
    b) En déduire tous les nombres entiers $N$ cherchés.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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