Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session de remplacement Mars 2009

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = 3 + 4\text{i}$ .
Soit C et D les points d'affixes respectives $z_{\text{C}} = 2\sqrt{3} + \text{i}(- 2 - \sqrt{3})$ et $z_{\text{D}} = -2\sqrt{3} + \text{i}( -2 + \sqrt{3})$ .
L' objet de l'exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.

1. a) Montrer que l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ est le point D.
    b) En déduire que les points B et D sont sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre A dont on déterminera le rayon.

2. Soit F, l'image du point A par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{3}{2}$ .
    a) Montrer que l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F est $-2\text{i}$ .
    b) Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].
    c) Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}} = - \text{i}\sqrt{3}$ . En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}}$ .
Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].

3. Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l 'évaluation.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . On considère les points: $\text{A}(4 ; 0 ; 0), \quad \text{B}(0 ; 2 ; 0),\quad \text{C}(0 ; 0 ; 3)\quad \text{et E}\left(\dfrac{2}{3} ; - \dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{9}\right)$ On se propose de déterminer de deux façons la distance $\delta_{\text{E}}$ du point E au plan (ABC).

RAPPEL :

Soit ( $\mathcal{P}$ ) un plan d'équation $ax+by+cz+d = 0$ où $a, b, c$ et $d$ sont des nombre réels avec, $a, b$ et $c$ non tous nuls et $M$ un point de coordonnées $\left(x_{M} ; y_{M} ; z_{M}\right)$ la distance $\delta_{\text{M}}$ du point $M$ au plan ( $\mathcal{P}$ ) est égale à : $\dfrac{\left|ax_{M} + by_{M} +cz_{M} + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

1. a) Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.
    b) Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4).
Montrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
    c) Montrer qu'une équation du plan (ABC) est : $3x+ 6y + 4z - 12 = 0$ .
    d) Déduire des questions précédentes la distance $\delta_{\text{E}}$ .

2. a) Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique: $\left\lbrace\begin{array}{l} x = 1 +t \\ y = 2t \\ z=\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{3}t \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$ , est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E.
    b) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC).
    c) Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance $\delta_{\text{E}}$ .

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$ .
Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est $\dfrac{3}{4}$ .
Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$ .
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :
    $A_{n}$ l'évènement : «la $n$ -ième cible est atteinte».
    $\overline{A_{n}}$ l'évènement : «la $n$ -ième cible n'est pas atteinte».
    $a_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$
    $b_{n}$ la probabilité de l'évènement $\overline{A_{n}}$ .

1. Donner $a_{1}$ et $b_{1}$ .
Calculer $a_{2}$ et $b_{2}$ . On pourra utiliser un arbre pondéré.

2. Montrer que, pour tout $n \in \N, n \ge 1 : a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}b_{n}$ ,
puis : $a_{n+1} = \dfrac{1}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}$

3. Soit $(U_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par $U_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$ .
    a) Montrer que la suite $(U_{n})$ est une suite géométrique.
On précisera la raison et le premier terme $U_{1}$ .
    b) En déduire l'expression de $U_{n}$ en fonction de $n$ , puis l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$ .
    c) Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ .
    d) Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que : $a_{n} \ge 0,6665$ .

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ une fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = (1+ x)\text{e}^{- x}$ .
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 1 cm.

1. a) Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
    b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ .
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .
    c) On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Calculer, pour tout nombre réel $x$ , $f'(x)$ .
En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    d) Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur J'intervalle [-2 ; 5].

2. On note $(I_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $\displaystyle I_{n} = \int_{-1}^n f(x)\:\text{d}x$ . Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_{n}$ en fonction de $n$ .
    a) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N} : I_{n} \ge 0$ .
    b) Montrer que la suite $(I_{n})$ est croissante.

3. a) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ : $\displaystyle \int_{a}^b f(x)\:\text{d}x = (-2 -b)\text{e}^{-b} + (2 + a)\text{e}^{-a}$ .
    b) En déduire l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ .
    c) Déterminer : $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} I_{n}$ .
    d) Donner une interprétation graphique de cette limite.

4. Déterminer $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : $\displaystyle \int_{-1}^{\alpha} f(x)\:\text{d}x = \text{e}$ .
Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d'aire ?

Publié par TP/ le 30-11--0001

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