Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Antilles Guyane - Session de remplacement Septembre 2009

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

VRAI OU FAUX
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

Partie A

Soit (u_{n}) la suite définie pour tout n \in \mathbb{N}^* par u_{n} = (-1)^n.

1. La suite (u_{n}) est bornée.

2. La suite (u_{n}) converge.

3. La suite de terme général \dfrac{u_{n}}{n} converge.

4. Toute suite (v_{n}) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.

Partie B

1. Si A et B sont deux évènements indépendants avec P(B) \neq 0 et P(B) \neq 1, alors P( A \cap B) = P_{B}(A).

2. Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alors P(X \in [0,1 ; 0,6]) = 0,6.

3. Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et \dfrac{1}{3}, alors P(X \ge 1)= 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}.


5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

L'espace est muni d'un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}).
On considère les points A(1 ; -1 ; 4), B(7 ; -1 ; -2) et C(1 ; 5 ; -2).

1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AC}} et \overrightarrow{\text{BC}}.
    b) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
    c) Montrer que le vecteur \vec{n}(1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).
    d) En déduire que x + y + z - 4 = 0 est une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soit \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique
\left\lbrace\begin{array}{l} x = -2t \\ y = -2t-2 \\ z = -2t-3 \end{array}\right.     où t \in \mathbb{R}.

    a) Montrer que la droite \mathcal{D} est perpendiculaire au plan (ABC).
    b) Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite \mathcal{D} et du plan (ABC) sont (3 ; 1 ; 0).
    c) Montrer que G est l'isobarycentre des points A, B et C.

3. Soit \mathcal{S} la sphère de centre G passant par A.
    a) Donner une équation cartésienne de la sphère \mathcal{S}.
    b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection E et F, de la droite \mathcal{D} et de la sphère \mathcal{S}.


5 points

exercice 2 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

L'annexe est à rendre avec la copie
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}).
On considère la surface S_{1} d'équation z = x^2 + y^2, et la surface S_{2} d'équation z = xy + 2x.
Bac scientifique Antilles Guyane Septembre 2009 - terminale : image 1


Partie A

On note \mathcal{P} le plan d'équation x = 2, E_{1} l'intersection de la surface S_{1} et du plan \mathcal{P} et E_{2} l'intersection de la surface S_{2} et du plan \mathcal{P}.
En annexe, le plan \mathcal{P} est représenté muni du repère (\text{A}  ; \vec{j}, \vec{k}) où A est le point de coordonnées (2 ; 0 ; 0).

1. a) Déterminer la nature de l'ensemble E_{1}.
    b) Déterminer la nature de l'ensemble E_{2}.

2. a) Représenter les ensembles E_{1} et E_{2} sur la feuille annexe.
    b) Dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}) donner les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles E_{1} et E_{2}.

Partie B

On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante :
«soient a, b et c des entiers avec a premier. Si a divise bc alors a divise b ou a divise c



L'objectif de cette partie est de déterminer les points d'intersection M(x ; y ; z) des surfaces S_{1} et S_{2}y et z sont des entiers relatifs et x un nombre premier.
On considère un tel point M(x ; y ; z).

1. a) Montrer que y(y - x) = x(2 - x).
    b) En déduire que le nombre premier x divise y.

2. On pose y = kx avec k \in  \mathbb{Z}.
    a) Montrer que x divise 2, puis que x = 2.
    b) En déduire les valeurs possibles de k.

3. Déterminer les coordonnées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la partie A, question 2. b).


5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; \vec{u},\vec{v}) d'unité graphique 1 cm.
Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions.

1. Placer les points A, B et C d'affixes respectives
z_{\text{A}} = -11 + 4\text{i}   ,    z_{\text{B}} = -3 - 4\text{i}    et    z_{\text{C}} = 5 + 4\text{i}.

2. Calculer le module et un argument du quotient \dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}} et en déduire la nature du triangle ABC.

3. Soit E l'image du point C par la rotation \mathcal{R} de centre B et d'angle \dfrac{\pi}{4}.
Montrer que l'affixe de E vérifie z_{\text{E}} = -3 + (8\sqrt{2} - 4 )\text{i}.
Placer le point E.

4. Soit D l'image du point E par l'homothétie \mathcal{H} de centre B et de rapport \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Placer le point D .

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soit \mathcal{D} la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d'intersection de la droite \mathcal{D} et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].
Montrer que B, I et J sont alignés.


6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; 1] par :
f(x) = 1 + x\ln x.
On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; 1].
\mathcal{C} est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}).
T est la droite d'équation y = x.
La courbe \mathcal{C} et la droite T sont représentées sur le schéma ci-dessous.
Bac scientifique Antilles Guyane Septembre 2009 - terminale : image 2


1. a) Justifier que \displaystyle \lim_{x \to 0} f( x) = 1.
    b) En utilisant le signe de x \ln x sur ]0 ; 1], montrer que, pour tout nombre réel x \in  ]0 ; 1] , on a f(x) \le 1.

2. a) Calculer f'(x) pour tout nombre réel x \in ]0 ; 1].
    b) Vérifier que la droite T est tangente à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 1.

3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel x \in ]0 ; 1] par
g(x) = 1 + x \ln x - x.

    a) Étudier les variations de g sur l'intervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de variation de g.
On ne cherchera pas la limite de g en 0.
    b) En déduire les positions relatives de la courbe \mathcal{C} et de la droite T.

4. Soit \alpha un nombre réel tel que 0 < \alpha < 1.
On pose \displaystyle I(\alpha) = \int_{\alpha}^1 \left[1 - f(x)\right]\:\text{d}x.
    a) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que I(\alpha) = \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha + \dfrac{1}{4} - \dfrac{\alpha^2}{4}.
    b) Déterminer \displaystyle \lim_{\alpha \to 0} I(\alpha).
    c) Interpréter graphiquement le résultat précédent.
    d) À l'aide des résultats précédents, déterminer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe \mathcal{C}, la droite T et l'axe des ordonnées.
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