Baccalauréat Général
Série Scientifique
Antilles Guyane - Session de remplacement Septembre 2009
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
Partie A
Soit la suite définie pour tout par .
1. La suite est bornée.
2. La suite converge.
3. La suite de terme général converge.
4. Toute suite à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.
Partie B
1. Si et sont deux évènements indépendants avec et , alors .
2. Si est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alors .
3. Si est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et , alors .
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
L'espace est muni d'un repère orthonormal .
On considère les points A(1 ; -1 ; 4), B(7 ; -1 ; -2) et C(1 ; 5 ; -2).
1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs , et .
b) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
c) Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).
d) En déduire que est une équation cartésienne du plan (ABC).
2. Soit la droite de représentation paramétrique
où .
a) Montrer que la droite est perpendiculaire au plan (ABC).
b) Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite et du plan (ABC) sont (3 ; 1 ; 0).
c) Montrer que G est l'isobarycentre des points A, B et C.
3. Soit la sphère de centre G passant par A.
a) Donner une équation cartésienne de la sphère .
b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection E et F, de la droite et de la sphère .
5 points
exercice 2 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
L'annexe est à rendre avec la copie
L'espace est muni d'un repère orthonormé .
On considère la surface d'équation , et la surface d'équation .
Partie A
On note le plan d'équation , l'intersection de la surface et du plan et l'intersection de la surface et du plan .
En annexe, le plan est représenté muni du repère où A est le point de coordonnées (2 ; 0 ; 0).
1. a) Déterminer la nature de l'ensemble .
b) Déterminer la nature de l'ensemble .
2. a) Représenter les ensembles et sur la feuille annexe.
b) Dans le repère donner les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles et .
Partie B
On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante :
«soient , et des entiers avec premier. Si divise alors divise ou divise .»
L'objectif de cette partie est de déterminer les points d'intersection des surfaces et où et sont des entiers relatifs et un nombre premier.
On considère un tel point .
1. a) Montrer que .
b) En déduire que le nombre premier divise .
2. On pose avec .
a) Montrer que divise 2, puis que .
b) En déduire les valeurs possibles de .
3. Déterminer les coordonnées possibles de et comparer les résultats avec ceux de la partie A, question 2. b).
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct d'unité graphique 1 cm.
Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions.
1. Placer les points A, B et C d'affixes respectives
, et .
2. Calculer le module et un argument du quotient et en déduire la nature du triangle ABC.
3. Soit E l'image du point C par la rotation de centre B et d'angle .
Montrer que l'affixe de E vérifie .
Placer le point E.
4. Soit D l'image du point E par l'homothétie de centre B et de rapport .
Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Placer le point D .
5.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Soit la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d'intersection de la droite et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].
Montrer que B, I et J sont alignés.
6 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Soit la fonction définie pour tout nombre réel de l'intervalle ]0 ; 1] par :
.
On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle ]0 ; 1].
est la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal .
est la droite d'équation .
La courbe et la droite sont représentées sur le schéma ci-dessous.
1. a) Justifier que .
b) En utilisant le signe de sur ]0 ; 1], montrer que, pour tout nombre réel , on a .
2. a) Calculer pour tout nombre réel ]0 ; 1].
b) Vérifier que la droite est tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
3. On note la fonction définie pour tout nombre réel ]0 ; 1] par
.
a) Étudier les variations de sur l'intervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de variation de .
On ne cherchera pas la limite de en 0.
b) En déduire les positions relatives de la courbe et de la droite .
4. Soit un nombre réel tel que .
On pose .
a) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que .
b) Déterminer .
c) Interpréter graphiquement le résultat précédent.
d) À l'aide des résultats précédents, déterminer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe , la droite et l'axe des ordonnées.
Publié par TP/
le
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