Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Polynésie Française - Session de remplacement Septembre 2009

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On considère le cube OABCDEFG d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous.
Il n'est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie.
Soient les points P et Q tels que $\overrightarrow{\text{OP}} = 2 \overrightarrow{\text{OA}}$ et $\overrightarrow{\text{OQ}} = 4\overrightarrow{\text{OC}}$ .
On appelle R le barycentre des points pondérés (B, -1) et (F, 2).
L'espace est muni du repère orthonormal $\left(\text{O} ; \overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OC}}, \overrightarrow{\text{OD}}\right)$ .

1. a) Démontrer que le point R a pour coordonnées (1 ; 1 ; 2).
    b) Démontrer que les points P, Q et R ne sont pas alignés.
    c) Quelle est la nature du triangle PQR ?

2. a) Démontrer qu'une équation du plan (PQR) est $4x + 2y + z - 8 = 0$ .
    b) Vérifier que le point D n'appartient pas au plan (PQR).

3. On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (PQR).
    a) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (DH).
    b) Déterminer les coordonnées du point H.
    c) Démontrer que le point H appartient à la droite (PR).

Bac scientifique Polynésie Française Septembre 2009 - terminale : image 1

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Pour chaque question, deux propositions sont énoncées.
Il s'agit de dire, sans le justifier, si chacune d'elles est vraie ou fausse.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE.

Pour chaque question, il est compté 1 point si les deux réponses sont exactes, 0,5 point pour une réponse exacte et une absence de réponse et 0 point sinon.

Question A
Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.
On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les évènements :
A : «les deux boules tirées sont de la même couleur»
B : «une seule des deux boules tirées est rouge».
Proposition 1 : La probabilité de A est égale à $\dfrac{3}{7}$ .
Proposition 2 : La probabilité de B est égale à $\dfrac{1}{7}$ .

Question B
Soient A, B et C trois évènements d'un même univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$ .
On sait que :
A et B sont indépendants ;
$P(\text{A}) = \dfrac{2}{5}$ ; $P(\text{A} \cup \text{B}) = \dfrac{3}{4}$
$P(\text{C}) = \dfrac{1}{2}$ ; $P(\text{A} \cap \text{C}) = \dfrac{1}{10}$
Proposition 3 : $P(\text{B})=\dfrac{7}{12}$
Proposition 4 : $P\left(\overline{\text{A} \cup \text{C}}\right)=\dfrac{2}{5}$
$\overline{\text{A} \cup \text{C}}$ désigne l'évènement contraire de $\text{A} \cup \text{C}$ .

Question C
Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n$ est égal à 4 et $p$ appartient à ]0 ; 1[.
Proposition 5 : Si $P(X = 1) = 8P(X = 0)$ alors $p = \dfrac{2}{3}$ .
Proposition 6 : Si $p = \dfrac{1}{5}$ alors $P(X =1) = P(X =0)$ .

Question D La durée de vie, exprimée en années, d'un appareil est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,07$ sur [0 ; + $\infty$ [.
On rappelle que pour tout $t> 0$ , la probabilité de l'évènement $(X \le t)$ est donnée par :
$\displaystyle P(X \le t) = \int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$ (avec $\lambda = 0,07$ ).
Proposition 7 : La probabilité que l'appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à 0,5 à 10^-2 près.
Proposition 8 : Sachant que l'appareil a fonctionné 10 ans, la probabilité qu'il fonctionne encore 10 ans est égale à 0,5 à 10^-2 près.

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire

Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , unité graphique : 2 cm.
On appelle $(\Gamma)$ le cercle de centre O et de rayon 1.

On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.

On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point M différent de O, d'affixe $z$ , associe le point M' = $F$ (M) d'affixe $z'$ définie par : $z' = z + \text{i} - \dfrac{1}{z}$ .
1. On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et leurs images A' et B' par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$ .
    a) Calculer $a'$ et $b'$ .
    b) Placer les points A, A' B et B'.
    c) Démontrer que $\dfrac{-b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$ .
    d) En déduire la nature du triangle OBB'.

2. On recherche l'ensemble (E) des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$ , le point O.
    a) Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$ $z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)$ .
    b) En déduire les affixes des points de l'ensemble (E).
    c) Démontrer que les points de (E) appartiennent à $(\Gamma)$ .

3. Soit $\theta$ un réel.
    a) Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$ .
    b) En déduire que si M appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors M' appartient au segment [A'C] où C a pour affixe $- \text{i}$ .

7 points

exercice 4

Pour tout entier naturel $n$ , on considère la fonction $f_{n}$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par : $f_{n}(x) = - nx - x \ln x$ . On note $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ , dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
Les courbes $\left(\mathcal{C}_{0}\right)$ , $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ représentatives des fonctions $f_{0}$ , $f_{1}$ et $f_{2}$ sont données en annexe ci-dessous.

Bac scientifique Polynésie Française Septembre 2009 - terminale : image 2

On rappelle que $\displaystyle \lim_{x \to 0} x \ln x = 0$ .

Partie A : Étude de la fonction $f_{0}$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f_{0}(x) = -x\ln x$ .

1. Déterminer la limite de $f_{0}$ en $+ \infty$ .

2. Étudier les variations de la fonction $f_{0}$ sur ]0 ; + $\infty$ [.

Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction $f_{n}$ , $n$ entier naturel.

Soit $n$ un entier naturel.

1. Démontrer que pour $x \in$ ]0 ; + $\infty$ [ , $f'_{n}(x) = -n -1 -\ln x$ où $f'_{n}$ désigne la fonction dérivée de $f_{n}$ .

2. a) Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ admet en un unique point $A_{n}$ d'abscisse $\text{e}^{-n-1}$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
    b) Prouver que le point $A_{n}$ appartient à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ .
    c) Placer sur la figure en annexe les points $A_{0}, A_{1}, A_{2}$ .

3. a) Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un unique point, noté $B_{n}$ , dont l'abscisse est $\text{e}^{-n}$ .
    b) Démontrer que la tangente à $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ au point $B_{n}$ a un coefficient directeur indépendant de l'entier $n$ .
    c) Placer sur la figure en annexe les points $B_{0}, B_{1}, B_{2}$ .

Partie C : Calculs d'aires

Pour tout entier naturel $n$ , on considère le domaine du plan $D_{n}$ délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ et les droites d'équation $x = \text{e}^{-n-1}$ et $x = \text{e}^{-n}$ .
On note $I_{n}$ l'aire en unités d'aires du domaine $D_{n}$ .

1. Hachurer, sur la figure donnée en annexe, les domaines $D_{0}, D_{1}, D_{2}$ .

2. a) À l 'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 x \ln x\:\text{d}x$ .
b) En déduire que $I_{0} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4\text{e}^2}$ .
c) On admet que le domaine $D_{n+1}$ est l'image du domaine $D_{n}$ par l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{\text{e}}$ .
Exprimer $I_{1}$ et $I_{2}$ en fonction de $I_{0}$ .

Publié par TP/ le 30-11--0001

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