Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Santé et du Social
Session Juin 2009 - Polynésie Française

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Durée de l'épreuve : 2 heures       Coefficient : 3
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Une feuille de papier millimétré est fournie au candidat.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse, qu’il aura développée.
Par ailleurs, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
5 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.
On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.


Un dentiste analyse son fichier de clientèle et se rend compte que sur ses patients :
    60 % sont de sexe féminin ;
    30 % sont mineurs (c'est-à-dire qu'ils sont âgés de moins de 18 ans) ;
    16 % sont de sexe masculin et ont moins de 18 ans.

II choisit au hasard la fiche de l'un de ses patients. On note :
    F l'évènement : «la fiche est celle d'une personne de sexe féminin» ; \overline{F} l'évènement contraire de F ;
    M l'évènement : «la fiche est celle d'une personne mineure» et \overline{M} l'évènement contraire de M.
On pourra présenter les données dans un tableau.
Les résultats proposés ont été arrondis à 10^{-1} près.

1. La probabilité que la fiche soit celle d'une fille de moins de 18 ans est :
    a) 0,16
    b) 0,30
    c) 0,14

2. La probabilité que la fiche soit celle d'une personne mineure, sachant qu'il s'agit d'une personne de sexe féminin est :
    a) 0,14
    b) 0,23
    c) 0,08

3. P_{\overline{F}}\left(\overline{M}\right) = \cdots
    a) 0,60
    b) 0,24
    c) 0,70

4. La probabilité que la fiche soit celle d'une personne mineure ou de sexe féminin est :
    a) 0,14
    b) 0,76
    c) 0,90

5. On a tiré la fiche d'un patient mineur. La probabilité que ce soit celle d'une personne de sexe féminin est :
    a) 0,47
    b) 0,23
    c) 0,14


7 points

exercice 2

Le tableau ci--dessous donne les effectifs des médecins au 31 décembre 1990 et au 31 décembre 2002 :
 ABCDE
1Année19902002  
2     
3Effectif des médecins    
4Total177 470205 185  
5dont : médecine générale93 387100 541  
6    spécialités médicales48 03357 127  
7  spécialités chirurgicales21 39324 528  
8  psychiatrie11 89713 727  
9  biologie médicale1 9503 109  
10  santé publique et travail8006 153  
11     
12     
Champ : France métropolitaine
Source : ministère de la Santé, de la Jeunesse et des Sports


1. On voudrait connaître l'évolution, en pourcentage, de ces effectifs entre 1990 et 2002.
    a) Quel est le taux d'évolution, donné en pourcentage, de l'effectif total des médecins, entre 1990 et 2002 ?
Le résultat sera donné à 0,1 % près.
    b) Quelle formule doit-on entrer dans la cellule D4, puis recopier vers le bas, pour obtenir les taux d'évolution des effectifs des différentes catégories de médecins ?
    c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
En supposant que l'effectif total des médecins augmente du même pourcentage chaque année entre 1990 et 2002, déterminer le taux d'évolution annuel de cet effectif.

2. On sait qu'en moyenne, de 2002 à 2008, l'effectif total des médecins a augmenté de 0,7 % par an.
On modélise cette évolution par une suite ; on désigne par u_{n} l'effectif total des médecins pour l'année (2002 + n). Ainsi u_{0} = 205 185.
    a) Calculer la valeur de u_{1} (le résultat sera arrondi à l'unité).
    b) Justifier que, pour tout entier naturel n,  u_{n+1} = 1,007u_{n}.
    c) Quelle est la nature de la suite \left(u_{n}\right) ?
Exprimer u_{n} en fonction de n.
    d) En supposant que cette modélisation reste valable jusqu'en 2010, à combien peut-on estimer le nombre total de médecins en 2010, arrondi à l'unité ?


8 points

exercice 3

Lors d'une épidémie observée sur une période de onze jours, un institut de veille sanitaire a modélisé le nombre de personnes malades. La durée, écoulée à partir du début de la période et exprimée en jours, est notée t. Le nombre de cas en fonction de la durée t est donné en milliers, par la fonction f de la variable réelle t définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 11], dont la représentation graphique \mathcal{C}_{f} est donnée en annexe.
Cette annexe, sur laquelle le candidat pourra faire figurer des traits de construction utiles au raisonnement. sera rendue avec la copie.
bac ST2S, Polynésie Française juin 2009 - terminale : image 1


Partie A : étude graphique

Pour cette partie, on se réfèrera à la courbe représentative \mathcal{C}_{f} de la fonction f.

1. On considère que la situation est grave lorsque le nombre de cas est d'au moins 150 000 malades. Pendant combien de jours complets cela arrive-t-il ?

2. La droite (OA) est tangente à la courbe \mathcal{C}_{f} au point d'abscisse 0, où A est le point de coordonnées (10 ; 112,5).
Déterminer f'(0), où f' désigne la fonction dérivée de la fonction f.

3. Le nombre f'(t) représente la vitesse d'évolution de la maladie, t jours après l'apparition des premiers cas.
    a) Déterminer graphiquement le nombre maximal de malades sur la période des 11 jours observés et le moment où il est atteint.
Que peut-on dire alors de la vitesse d'évolution de la maladie ?
    b) Déterminer graphiquement à quel moment de l'épidémie la maladie progresse le plus.

Partie B : étude théorique

La fonction f évoquée dans la partie A est définie par:
f(t)= -t^3 + \dfrac{21}{2}t^2 + \dfrac{45}{4}t.

1. Recopier et compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant :
t01234567891011
f(t)      229,5     

2. Calculer f'(t) et vérifier que, pour tout t de l'intervalle [0 ; 11],
f'(t) = -3 \left(t + \dfrac{1}{2}\right)\left(t - \dfrac{15}{2}\right).

3. Étudier le signe de f'(t) pour t appartenant à l'intervalle [0 ; 11]. Cette réponse est-elle cohérente avec la courbe \mathcal{C}_{f} ? Expliquer.

4. Retrouver le résultat de la question 2. de la partie A.
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