Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information.
La Réunion - Session Juin 2009

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédacion dans l'appréciation des copies.
6 points

exercice 1

Une société a introduit sur le marché français au début de l'année 2004 un produit au prix de 1 000 €. Compte tenu de l'évolution du marché et des coûts de fabrication, son prix n'a cessé d'augmenter.
Pour cette société, la France est divisée en deux régions de tarification, la région Nord et la région Sud.

Dans la région Sud le responsable des ventes a décidé de laisser fluctuer ce prix en fonction de l'offre et de la demande. Le prix de vente de cet article dans la région Sud est reporté dans la colonne B de l'extrait de feuille de calcul ci-dessous.
Dans la région Nord. le responsable des ventes a décidé d'appliquer une hausse annuelle régulière de 10 %. Une partie des prix et des variations de prix sont consignées dans la feuille de calcul ci-dessous.
Le format des colonnes B et E est un format monétaire à zéro décimale.
Le format des colonnes C, D, F et G est un format pourcentage à deux décimales.
1AnnéeRégion SudRégion Nord
2PrixVariation du prix en %PrixVariation du prix en %
3Par rapport à l'année précédentePar rapport à l'année 2004Par rapport à l'année précédentePar rapport à l'année 2004
420041 000 €  1 000 €  
520051 085 €8,50 %8,50 %1 100 €10,00 %10,00 %
620061 160 €6,91 %16,00 %1 210 €10,00 %21,00 %
720071 300 €12,07 %30,00 %1 331 €10,00 %33,10 %
820081 470 € 47,00 % 10,00 % 


1. a) Donner une formule qui, entrée dans la cellule C5, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules C5:C8.
    b) Donner une formule qui, entrée dans la cellule D5, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules D5:D8.
    c) Donner une formule qui, entrée dans la cellule E5, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules E5:E8.

2. Calculer les valeurs qui devraient figurer dans les cellules C8, E8 et G8 et les reporter sur la copie en recopiant la ligne 8 de la feuille de calcul.

3. Déterminer le taux moyen d'augmentation annuelle dans la région Sud entre 2004 et 2008 (arrondir à 0,01 %).

4. On suppose que le responsable de la région Nord maintient. au cours des années suivantes, une hausse annuelle de 10 %. Soit n un entier naturel. On note P_{n} le prix. en euros, de ce produit au cours de l'année 2004 + n dans la région Nord. Ainsi, P_{0} = 1 000.
    a) Préciser la nature de la suite \left(P_{n}\right), puis exprimer P_{n} en fonction de n.
    b) Déterminer l'année à partir de laquelle le prix dépassera 1 800 € dans la région Nord.


4 points

exercice 2

Un appareil électronique est mis en vente dans un magasin à partir de l'année 2000.
Le directeur décide d'arrêter de proposer cet appareil à la vente dès que le nombre d'appareils vendus annuellement sera inférieur à 50.
Il étudie avec un tableur le résultat des ventes depuis l'année 2000, dans le but de prévoir à quel moment il devra cesser de vendre cet article.
Année200020012002200320042005200620072008
Rang de l' année x_{i}012345678
Nombre d'appareils vendus y_{i}805604594475365256207183167

Le nuage de points de coordonnées \left(x_{i} ;  y_{i}\right) est représenté dans un repère orthogonal donné en annexe 1, à rendre avec la copie.
Annexe 1 à rendre avec la copie
bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La Réunion 2009 - terminale : image 1
Dans ce même repère est tracée la courbe d'équation y = 813 \text{e}^{-0,21x}.

1. Ajustement affine
    a) À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au dixième).
    b) On décide de retenir comme ajustement affine, la droite d'équation y = -80x + 730.
Tracer cette droite dans le repère donné en annexe 1, à rendre avec la copie.
    c) Déterminer l'année, à la fin de laquelle, il devra cesser la vente du produit selon cet ajustement.

2. Ajustement exponentiel
    a) À l'aide du tableur, le directeur retient comme ajustement la courbe d'équation y  = 813 \text{e}^{-0,21x}, tracée sur l'annexe 1. En utilisant cet ajustement, déterminer l'année, à la fin de laquelle, il devra cesser la vente du produit.
    b) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Un collaborateur lui fait remarquer que ce modèle correspond à une baisse annuelle régulière de 19 % des ventes.
Justifier cette remarque.


5 points

exercice 3

Dans la liste des candidats devant passer une épreuve de mathématiques du baccalauréat STG, on compte 52 % de filles.
Les filles se répartissent de la manière suivante : 20 % sont en spécialité Gestion des Systèmes d'Information (GSI), 45 % en spécialité Comptabilité et Finance des Entreprises (CFE) et les autres en spécialité Mercatique.
En ce qui concerne les candidats garçons, 30 % sont en spécialité GSI, 45 % en spécialité CFE et 25 % en spécialité Mercatique.

On choisit au hasard un nom dans la liste des candidats. On note :
    F l'évènement « le nom choisi est celui d'une fille » ;
    G l'évènement « le nom choisi est celui d'un garçon » ;
    I l'évènement « le nom choisi est celui d'un candidat inscrit en spécialité GSI » :
    E l'évènement « le nom choisi est celui d'un candidat inscrit en spécialité CFE » :
    M l'évènement « le nom choisi est celui d'un candidat inscrit en spécialité Mercatique ».

Les probabilités demandées seront arrondies au millième.

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.
bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La Réunion 2009 - terminale : image 2

    a) Montrer que la probabilité de l'évènement I est égale à 0,248.
    b) Les évènements F et I sont-ils indépendants ?

2. Déterminer P_{\text{I}}(\text{F}), la probabilité, sachant I, de l'évènement F.

3. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que les évènements F et E sont indépendants.


5 points

exercice 4


Formulaire
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors uv est dérivable sur I et (uv)' = u'v + uv'
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction \text{e}^u est dérivable sur I et \left(\text{e}^u\right)'  =  u'\text{e}^u.

Une entreprise peut extraire entre 2 000 et 15 000 tonnes de minerai d'une carrière.
Le résultat d'exploitation, en millions d'euros, qu'elle envisage en fonction de la quantité de minerai extraite, est représenté par la courbe \mathcal{C} en annexe 2.
Annexe 2
bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La Réunion 2009 - terminale : image 3


Partie A : Lecture graphique

1. Avec la précision permise par le graphique, compléter le tableau suivant :
Quantité de minerai extraite x
en milliers de tonnes
26915
Résultat d'exploitation R(x)
envisagé en millions d'euros
  3,8 


2. Le résultat d'exploitation R(x) est-il proportionnel à la quantité de minerai extraite ? Justifier.

3. Déterminer à partir de quelle quantité extraite le résultat d'exploitation est positif.

4. Déterminer la quantité extraite pour laquelle le résultat d'exploitation est maximum.

5. Déterminer les quantités extraites pour lesquelles le résultat d'exploitation est de 3 millions d'euros.

Partie B : Utilisation d'une fonction

Le but de cette partie est d'obtenir une meilleure précision sur la détermination de la quantité à extraire pour obtenir le résultat d'exploitation maximal. La courbe \mathcal{C} représentant le résultat d'exploitation est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [2 ; 15] par
 f(x) = (4x - 13)\text{e}^{-0,2x}


1. Résoudre l'inéquation f(x) \le  0 sur l'intervalle [2 ; 15].
Donner une interprétation économique de ce résultat.

2. On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [2 ; 15].
Montrer que f'(x) = (6,6 - 0,8x)\text{e}^{-0,2x}.

3. Étudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [2 ; 15], dresser le tableau de variations de f et conclure.
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