Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialité : Communication et Gestion des Ressources Humaines
Métropole La Réunion - Session Septembre 2009

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Durée de l'épreuve : 2 heures         Coefficient : 2

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
7 points

exercice 1

Partie A : Étude statistique préliminaire

Le tableau ci-dessous indique le prix de vente, en euros, d'une machine-outil et le nombre d'unités vendues de 2001 à 2006.
 Prix en euros de la machine \left(x_{i}\right)Nombre de machines vendues \left(y_{i}\right)
20011 900220
20022 100200
20031 400250
20042 200190
20052 400168
20062 300186


1. Représenter, sur papier millimétré, le nuage de points de coordonnées \left(x_{i} ; y_{i}\right) dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 1 cm pour 100 € sur l'axe des abscisses, en démarrant la graduation à 1 200 et 1 cm pour 10 machines sur l'axe des ordonnées, en démarrant la graduation à 100.

2. a) À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite de régression de y en x. On donnera les coefficients a et b obtenus dans l'équation de la droite y = ax + ba sera arrondi à 10-2 près et b à l'unité près.
    b) Construire la droite obtenue dans le repère de la question 1.
    c) En utilisant la droite de régression, déterminer graphiquement ou par le calcul le nombre de machines que l'on peut espérer vendre lorsque le prix de vente d'une machine est fixé à 2800 €.

Partie B : Étude approfondie à l'aide des fonctions

On note x le prix de vente unitaire d'une machine, x compris entre 1 200 et 3 000.
On suppose que le nombre y de machines vendues s'exprime sous la forme 364 - 0,08x.

1. On appelle f(x) le montant total de la vente de y machines. On définit ainsi une fonction f dont on note la dérivée f'. Vérifier que :
f(x) = - 0,08x^2 + 364 x.

2. a) Calculer f'(x) pour tout x de [1 200 ; 3 000].
    b) Étudier le signe de f'(x) et en déduire le tableau de variations de f sur [1 200 ; 3 000].
    c) En déduire le prix de vente d'une machine pour que le montant total de la vente f(x) soit maximal. Quel sera alors le montant de la vente et le nombre de machines vendues ?


5 points

exercice 2

Quatre candidats A, B, C , D se présentent à une élection régionale.
Avant le scrutin, on a interrogé 1 000 personnes âgées de 18 à 90 ans s'étant prononcées sur leur intention de vote et ayant communiqué leur tranche d'âge.
On a obtenu le tableau de répartition suivant :
Âge \ Candidats des électeursABCDTotal
[18 ; 30[100503020200
[30 ; 50[150502080300
[50 ; 90]5030050100500
Total3004001002001 000

1. Quel est l'âge moyen des personnes interrogées qui ont l'intention de voter pour le candidat B ?
On prendra les centres des classes d'âge pour effectuer le calcul.

2. On choisit une des 1 000 personnes interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.
On mettra tous les résultats sous forme décimale.
    a) Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
J : «la personne choisie appartient à la tranche d'âge [18 ; 30[».
B : «la personne choisie a voté pour le candidat B».
    b) Traduire par une phrase l'évènement J \cap \overline{\text{B}} et calculer sa probabilité.

3. a) Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas voté pour le candidat B, sachant qu'elle est dans la tranche d'âge [18 ; 30[.

Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    b) Le résultat du calcul obtenu à la question 3. a) est-il cohérent avec celui qui a été obtenu à la question 1. ?


8 points

exercice 3

Une petite ville des Pyrénées décide de relancer sa station de ski, en faisant certains investissements et de la publicité. Le directeur fait des prévisions. À l'aide d'un tableur, il construit le tableau suivant, donnant pour chaque saison de ski :
    le prix du forfait «journée» ;
   le nombre de forfaits «journée» vendus;
   la recette correspondante.
Pendant la saison 2006/2007, il a été vendu 18 540 forfaits «journée» au prix de 16 euros l'unité.
Le directeur de la station décide d'augmenter le prix du forfait de 1,20 € par an, jusqu'à la saison 2012/2013. Il obtient alors la suite des prix unitaires, en euros, notée \left(u_{n}\right) en colonne C sur la feuille de calcul proposée ci-dessous. On a donc u_{1} = 16.
 ABCDE
1SaisonRangPrix du «forfait journée» en eurosNombre de forfaits vendusRecette en euros
22006/200711618 540296 640
32007/2008217,219 003326 851,6
42008/20093   
52009/20104   
62010/20115   
72011/20126   
82012/20137   
9   TOTAL 
10     


Partie A: Étude de la suite \left(u_{n}\right) des prix du forfait «journée»

1. Quelle est la nature de la suite \left(u_{n}\right) ? Préciser sa raison.

2. Quelle est la formule à saisir en C3 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne C ?

3. Si on complétait le tableau jusqu'à la saison 2012/2013, quel serait le nombre obtenu dans la cellule C8 ?

Partie B : Étude de la suite des nombres de forfaits «journée» vendus

1. Quel est, en pourcentage, le taux d'évolution du nombre de forfaits vendus entre les saisons 2006/2007 et 2007/2008? (on arrondira à 0,1 % près).

2. Le directeur de la station suppose que chaque saison le taux d'augmentation sera celui trouvé à la question précédente et obtient ainsi en colonne D la suite notée \left(v_{n}\right) des nombres de forfaits vendus.
On a donc v_{1} = 18540.
    a) Quelle est la formule à saisir en D4 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne D ?
    b) Quel serait alors le nombre obtenu dans la cellule D8 ?

Partie C: Étude de la recette

1. Quelle est la formule à saisir en E2 et à recopier vers le bas dans la plage E3:E8 ?

2. Quelle formule peut-on saisir en E9 afin de calculer la recette totale des 7 saisons ?
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