Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Électronique - Génie Électrotechnique - Génie Optique
Métropole - Session Juin 2009

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. (Circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les 2 exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et une feuille de papier millimétré sont distribués avec le sujet.

5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1 +\text{i}\sqrt{3}$ .
    a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{A}}$ .
    b) Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$ .
    c) Placer le point A dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ en prenant comme unité graphique 2 cm.

2. Soit B l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ . On appelle $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B.
    a) Déterminer l'écriture du nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ (où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$ ).
    b) Écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
    c) Placer le point B dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .

3. Montrer que le triangle AOB est équilatéral.

4. Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = z_{\text{A}} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ .
    a) Par quelle transformation géométrique le point C est-il l'image du point A ? Préciser les éléments caractéristiques de cette transformation.
    b) Placer le point C dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
    c) Écrire le nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous forme trigonométrique.
    d) Établir que $z_{\text{C}} = z_{\text{A}} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .
En déduire l'écriture du nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique.
    e) Déduire des résultats précédents les valeurs exactes $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ .

5 points

exercice 2

On propose à un candidat au baccalauréat un exercice qui comporte trois questions auxquelles il doit répondre par vrai ou faux.
Une bonne réponse rapporte 2 points, une mauvaise réponse enlève 1 point, l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

On appelle :
    A l'évènement : « le candidat n'a pas répondu à la question » ;
    B l'évènement : « le candidat a donné la bonne réponse à la question » ;
    C l'évènement : « le candidat a donné la mauvaise réponse à la question ».

Si, par exemple, le candidat a donné les bonnes réponses aux questions 1 et 2, et la mauvaise réponse à la question 3, le résultat obtenu se note (B, B, C).

Un candidat qui ne sait répondre à aucune question hésite entre deux stratégies :
    soit il répond au hasard aux trois questions ;
    soit il décide de ne pas répondre à une question, par exemple la première, et répond au hasard aux deux autres questions.

I. Première stratégie : le candidat choisit de ne pas laisser de questions sans réponse.
Il répond donc au hasard et de façon équiprobable aux trois questions.

1. Combien de triplets différents peut-on obtenir ? (On pourra utiliser un arbre.)

2. Calculer la probabilité que le candidat n'ait fait aucune faute.

3. Montrer que la probabilité que le candidat ait fait une faute et une seule, est égale à 0,375.

4. On note X la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice.
    a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
    b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
    c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.

II. Deuxième stratégie : le candidat choisit de ne pas répondre à la première question, et répond au hasard et de façon équiprobable aux deux autres questions.

1. Combien de triplets différents peut-on obtenir ?

2. On note Y la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice.
    a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y.
    b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y.
    c) Calculer l'espérance mathématique E(Y) de la variable aléatoire Y.

III. Comparaison des stratégies : parmi les deux stratégies, quelle est la plus favorable au candidat ?

10 points

probleme

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
On s'intéresse dans ce problème à une fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ . On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2\text{e}^x +2x+3$ .
1. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ .
Les limites ne sont pas demandées.

2. a) Démontrer que l'équation $g( x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [-2 ; -1].
b) Donner l'arrondi au dixième de $\alpha$ .
c) En déduire, selon les valeurs du nombre réel $x$ , le signe de $g(x)$ .

Partie B : Étude de la fonction $f$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2\text{e}^x + x^2 + 3x$ .
1. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ .

3. Soit $\mathcal{P}$ la parabole d' équation $y = x^2 + 3x$ .
    a) Déterminer la limite de $f(x) - \left(x^2 + 3x\right)$ quand $x$ tend vers $-\infty$ .
    b) Que peut-on en déduire graphiquement ?
    c) Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la parabole $\mathcal{P}$ .

4. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
    a) Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ .
    b) En utilisant la question 2. c. de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .
    c) Donner une valeur approchée de $f(\alpha)$ à 10^-1 près.

5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

6. Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la parabole $\mathcal{P}$ dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , en prenant comme unité graphique 2 cm.
Tracer sur cette feuille annexe la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$ .

Partie C : Calcul d'aire

1. Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{1}{2}$ .
2. a) Calculer la mesure exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan hachurée précédemment.
b) En déduire, en cm², la mesure arrondie au centième de l'aire $\mathcal{A}$ .

ANNEXE
Cette feuille est à rendre avec la copie

bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Métropole juin 2009 - terminale : image 1

Correction

exercice 1

1. a) $\displaystyle |z_A|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$
$\displaystyle Arg(z_A)=\theta$ tel que $z_A=|z_A|.(\cos\theta + i.\sin\theta)$
Soit $\displaystyle 1+i.\sqrt{3} = 2\cos\theta + 2i\sin\theta$
Dc l'angle $\theta$ cherché est tel que $\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}$ et $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$
ce qui correspond à $\displaystyle \theta\equiv\frac{\pi}{3}[2\pi]$
On peut retenir $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ comme UN argument de $z_A$ , conformément à l'énoncé.

1. b) De l'écriture de z_A sous sa forme trigonométrique à la question 1.a), on peut écrire $z_A$ sous sa forme exponentielle
$\displaystyle z_A=|z_A|.e^{i\theta}$ , soit $\displaystyle z_A=2.e^{i\frac{\pi}{3}}$

1. c)

bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Métropole juin 2009 - terminale : image 2

2. a) B étant l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{3}$ , cette transformation dans le plan complexe permet d'écrire $z_B$ sous la forme demandée, soit sa forme exponentielle, telle que :
$\displaystyle z_B=z_A.e^{i.\frac{\pi}{3}}$
soit $\displaystyle z_B=2.(e^{i.\frac{\pi}{3}}.e^{i.\frac{\pi}{3}})=2.e^{2i.\frac{\pi}{3}}$
On a donc : $r=2$ et $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$

2. b) La forme algébrique de $z_B$ est $a_B+ib_B$ ; $r$ est le module de $z_B$ , donc
$\displaystyle r=\sqrt{a_B^2+b_B^2}=2$
Par ailleurs, $\displaystyle 2.(\cos\theta+i.\sin\theta)=a_B+i.b_B$
Avec $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$ , on a : $\displaystyle -1+i.\sqrt{3}=a_B+i.b_B$
soit $\displaystyle z_B=-1+i.\sqrt{3}$

2.c ) Voir graphique.

3. $\displaystyle \vec{OA}$ a pour affixe $z_A$ , donc $\displaystyle OA=||\vec{OA}||=|z_A|=2$
$\displaystyle \vec{OB}$ a pour affixe $z_B$ , donc $\displaystyle OB=||\vec{OB}||=|z_B|=2$
$\displaystyle \vec{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$ ,soit (-1+i. $\sqrt{3}$ )-(1+i. $\sqrt{3}$ )=-2
donc $\displaystyle AB=||\vec{AB}||=|z_B-z_A|=2$ .
Les 3 côtés du triangle OAB ont donc même mesure ; par conséquent, OAB est un triangle équilatéral.

4. a) On a :
$\displaystyle |z_C|=|z_A|.|e^{i\frac{\pi}{4}}|=|z_A|.|\cos\frac{\pi}{4}+i.\sin\frac{\pi}{4}|=|z_A|$
puisque $\displaystyle \forall\theta\in\mathbb{R}, |\cos\theta+i.\sin\theta|=1$
Les nombres complexes $z_A$ et $z_C$ ayant même module, leurs distances respectives au point O sont égales, par conséquent OA = OC
$\displaystyle Arg(z_C)=Arg(z_A.e^{i\frac{\pi}{4}})=Arg(z_A)+Arg(e^{i\frac{\pi}{4}})=Arg(z_A)+\frac{\pi}{4}$ ,à 2k $\pi$ près, k $\in \mathbb{Z}$
Donc, $\displaystyle \widehat{(\vec{u};\vec{OC})}=\widehat{(\vec{u};\vec{OA})}+\frac{\pi}{4}+2k\pi$ , k $\in \mathbb{Z}$
On en conclut que $z_C$ est l'image de $z_A$ par une rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$

4. b) Voir graphique.

4. c) À partir des résultats de la question 1.a) et de la question 4.a), on a immédiatement :
$\displaystyle z_C=2.\left(\cos\frac{7\pi}{12}+i.\sin\frac{7\pi}{12}\right)$
( $\displaystyle\frac{\pi}{3}$ , argument de $z_A$
$\displaystyle\frac{\pi}{4}$ , angle de la rotation transformant A en C
$\displaystyle\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12}$ )

4. d) Le nombre complexe $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}+i.\frac{\sqrt{2}}{2}$ peut s'écrire $\displaystyle\cos\frac{\pi}{4}+i.\sin\frac{\pi}{4}$
Comme indiqué à la question 4.a), tout nombre complexe écrit sous cette dernière forme (trigonométrique) a pour module : 1.
Son argument est évidemment $\displaystyle\frac{\pi}{4}$ , dc son écriture sous forme exponentielle est : $\displaystyle 1\times e^{i.\frac{\pi}{4}}$
Or d'après l'énoncé $\displaystyle z_C=z_A.e^{i.\frac{\pi}{4}}$ ;par conséquent $\displaystyle z_C=z_A.\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Donc $z_C=\displaystyle \left(1+i.\sqrt{3}\right).\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , soit, après développements, simplifications et regroupement des parties réelles et imaginaires aboutit à : $\displaystyle z_C=\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)+i.\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right)$

4. e) On a : $\displaystyle |z_C|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right)^2}=\sqrt{4}=2$
Donc : : $\displaystyle z_C=2\times \left(\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)+i.\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)\right)$
Des résultats de la question 4.c) (écriture de $z_C$ sous forme trigonométrique) on a :
$\displaystyle \cos\frac{7\pi}{12}= \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4};\sin\frac{7\pi}{12}= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

exercice 2

Première stratégie

1. A chaque question, deux possibilités de réponse : (V ou F). il y a 3 questions, il y a donc 2³ triplets possibles.

bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Métropole juin 2009 - terminale : image 4

Les triplets de réponse possibles sont les suivants :
VVV
VVF
VFV
VFF
FVV
FVF
FFV
FFF
À noter que la valeur V correspond à l'événement B, et la valeur F à l'événement C.

2. La probabilité que le candidat n'ait fait aucune faute correspond à la ligne (ou à la branche) VVV, soit $\dfrac{1}{8}$
On retrouve ce résultat par le calcul : à chacune des 3 questions, la probabilité d'occurrence de l'événement B est $\dfrac{1}{2}$ .
Donc la probabilité de répondre juste aux 3 questions est de $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$ .

3. La probabilité que le candidat n'ait fait qu'une seule faute correspond aux lignes (ou aux branches)où la valeur F n'apparaît qu'une seule fois
soit 3 lignes (branches) sur les 8 possibles ; cette probabilité vaut donc $\dfrac{3}{8}=0.375$ .
On retrouve ce résultat par le calcul. La probabilité que, sur une série de $n$ questions, 1 soit fausse et les (n-1) autres justes correspond aux cas où seule la i^ème réponse est fausse (i entier naturel compris entre 1 et $n$ ), les ( $n$ -1) autres étant justes.
Il y a donc $n$ cas possibles, parmi les $2^n$ dénombrés à la question 1., soit autant de cas possibles que de lignes. La probabilité cherchée est donc :
$\dfrac{n}{2^n}$ , avec ici $n = 3$ , soit $\dfrac{3}{2^3}=0.375$

4. a) La note minimale qu'il est possible d'obtenir est 0 ; la note maximale est 6, en répondant juste aux 3 questions.
Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont, pour chaque ligne (ou branche de l'arbre de choix) :
VVV : 6 points
VVF : 3 points
VFV : 3 points
VFF : 0 points
FVV : 3 points
FVF : 0 points
FFV : 0 points
FFF : 0 points

4. b) De la question précédente, il résulte que la loi de probabilité de la variable aléatoire X se définit comme suit :
$P(X=0)=\dfrac{4}{8}=0.5 ; P(X=3)=\dfrac{3}{8}=0.375 ; P(X=6)=\dfrac{1}{8}=0.125$

4. c) On a alors : E(X) = (0x0.5)+(3x0.375)+(6x0.125)=1.875

Deuxième stratégie

1. Avec cette stratégie, la question 1 n'étant pas traitée (pas de réponse), on est en présence de l'événement A, sans considération de choix.
Pour les questions 2 et , il reste toujours deux possibilités de réponse : (V ou F).
Les triplets de réponse possibles sont les suivants (liste en substitution d'un arbre de choix, mais le résultat final est identique)
AVV
AVF
AFV
AFF
soit 4 triplets, résultat que l'on retrouve par le calcul en posant :
Il y a 1 possibilité de réponse à la 1ère question ;
Il y a 2 possibilités de réponse à la 2ème question ;
Il y a 2 possibilités de réponse à la 3ème question.
soit 1 x 2 x 2 = 4 triplets différents possibles.

2. a) De façon analogue à ce qui a été établi à la Q4a pour la première stratégie, on a :
Pour le triplet AVV : Y = 4
Pour le triplet AVF : Y = 1
Pour le triplet AFV : Y = 1
Pour le triplet AFF : Y = 0

2. b) La loi de probabilité pour la variable aléatoire Y se décrit donc comme suit :
$P(Y=0)=\dfrac{1}{4}=0.25 ; P(Y=1)=\dfrac{2}{4}=0.5 ; P(Y=4)=\dfrac{1}{4}=0.25$

2. c) On a alors : E(Y) = (0x0.25)+(1x0.5)+(4x0.25)=1.5

Comparaison des stratégies

Dans la mesure ou E(X) > E(Y), X étant la variable aléatoire relative à la première stratégie, il s'avère que c'est la première stratégie qui est la plus favorable au candidat.

probleme

A : Étude d'une fonction auxiliaire

1. $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ , étant la somme de 3 fonctions continues sur $\mathbb{R}$ .
La fonction dérivée première est définie sur $\mathbb{R}$ par $g'(x)=2e^x+2$
On a par ailleurs : $\forall x \in \mathbb{R}$ , $e^x$ > 0, par conséquent : $\forall x \in \mathbb{R}$ , $g'(x)$ > 0.
Conclusion :
    1/ du signe de $g'(x)$ , on déduit que $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
    2/ de l'écriture de $g(x)$ et de la courbe de la fonction exponentielle, on déduit que chaque valeur de la variable $x$ a une image unique par $g$ .
    $g$ définit ainsi une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

2. a) On a : $g(-2) = 2e^{-2}-1 \approx -0.73$
$g(-1) = 2e^{-1}+1 \approx 1.74$
Compte tenu :
- de la stricte croissance de $g$ sur $\mathbb{R}$ établie à la question 1.
- que $g(-2)$ < 0
- que $g(-1)$ > 0
on conclut que le nombre réel $\alpha$ tel que g( $\alpha$ ) = 0 est un élément de ]-2 ; -1 [.

2. b) g( $\alpha$ ) = 0 revient à résoudre l'équation : $2e^\alpha + 2\alpha + 3 = 0$
équation qu'on ne sait pas résoudre au niveau du baccalauréat _{(quelle que soit la section)}.
Il convient donc d'estimer une solution à 10^-1près par approximations successives, en programmant une calculatrice adaptée, dont l'usage est autorisé à l'examen (Cf. instructions en tête du sujet).
Ayant saisi $g(x)$ comme programme dans la calculatrice, on note les valeurs prises par $g(x)$ pour des valeurs de la variable selon celles d'une suite arithmétique de premier terme -2 et de raison +0.1, jusqu'à ce que $g(x)$ devienne positif.
La valeur de $\alpha$ se situe donc entre la plus grande valeur de la variable testée dont l'image par $g$ est négative, et celle de la plus petite valeur de la variable testée dont l'image par $g$ est positive.
On a ainsi : $g(-1.9) \approx -0.50$ ; $g(-1.8) \approx -0.27$ ; $g(-1.7) \approx -0.03$ ; $g(-1.6) \approx -0.20$ .
La valeur de $\alpha$ à retenir est donc -1.7.

2. c) Compte tenu des variations étudiées de $g$ , pour $x < \alpha$ , on a $g(x) < 0$ ; pour $x > \alpha$ , on a $g(x) > 0$ .

B : Étude de la fonction $f$

1. La limite d'une somme de fonctions est égale à la somme des limites de ces fonctions. Ici, $f$ peut se scinder en 3 fonctions $f_1$ , $f_2$ et $f_3$
telles que : $f_1(x) = 2.e^x$ ; $f_2(x) = x^2$ ; $f_3(x) = 3x$ .
On a :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f_1(x) = 2.\lim_{x\to +\infty}e^x = +\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f_2(x) = \lim_{x\to +\infty}x^2 = +\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f_3(x) = \lim_{x\to +\infty}3x = +\infty$
Conclusion : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f_(x) = +\infty$

2. Avec les mêmes notations qu'en question 1., on a :
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f_1(x) = 2.\lim_{x\to -\infty}e^x = 0^+$
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f_2(x) = \lim_{x\to -\infty}x^2 = +\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f_3(x) = \lim_{x\to -\infty}3x = -\infty$
Avec $f(x) = (f_1+f_2+f_3)(x)$ , le calcul de $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f_(x)$
conduit à une forme indéterminée (F.I.)
On lève cette FI en posant : $f(x)=2.e^x + x^2.\left(1+\dfrac{3}{x}\right)$
Dans ces conditions, on note que : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left(x^2.\left(1+\frac{3}{x}\right)\right) =+\infty.(1+0)=\infty$
La limite de $2.e^x$ étant nulle pour x tendant vers - $\infty$ , on a finalement
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = +\infty$

3. a) La limite de $y$ lorsque $x$ tend vers - $\infty$ a été etudiée à la question 2. pour lever la FI, et vaut + $\infty$
Pour ne pas aboutir à une nouvelle FI, il convient de remarquer que $f(x) - y = 2.e^x$ , dont la limite est nulle lorsque $x$ tend vers - $\infty$

3. b) On en conclut que, en - $\infty$ , P est asymptote à la courbe représentaive de f.

3. c) L'équation de la courbe (C) est donnée par $y = f(x)= 2e^x+x^2+3x$
l'équation de la parabole (P) est donnée par $y = x^2+3x$
Donc $f(x)-(x^2+3x) = 2e^x$ et $\forall x \in \mathbb{R}$ , $2e^x > 0$
On en conclut que la représentation graphique de (C) est toujours au-dessus de celle de (P).

4. a) $f'(x) = 2e^x+2x+3 = g(x)$ , fonction auxiliaire étudiée en partie A.

4. b) Tableau de variations de $f$ : $\begin{tabvar}{|c|CCCCCCCCCCCC|} \hline x & -\infty & & & -1.7 & \alpha & -1.6 & & & & & & +\infty \\ \hline f'(x) & & & - & & 0 & & & & + & & & \\ \hline f(x) & \niveau{2}{2} +\infty & & \decroit & & \niveau{1}{1} f(\alpha) & & & & \croit & \niveau{2}{2} & & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

4. c) D'après les résultats de la partie A, on sait que la courbe représentative de $f$ passe par un minimum m ( $\alpha$ ;f( $\alpha$ )), avec -1.7 < $\alpha$ < -1.6
On procède maintenant de façon analogue à la question 2.b), en programmant $f$ sur une calculatrice adéquate ; on trouve : $f(-1.7) \approx$ -1.844 ; $f(-1.6) \approx$ -1.836
soit $f(\alpha) \approx$ -1.8, à 10^-1 près.

5. Au point d'abscisse $x_0$ = 0, l'équation de (T) s'écrit : $y = (x-0).f'(0) + f(0)$ , avec $f'(0) = g(0) = 5 ; f(0) = 2$ .
On a donc : (T) : $\textbf{y = 5x+2}$

6.

bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Métropole juin 2009 - terminale : image 3

Courbes représentative de : (C)[noir] ; (P)[cyan] ; (T)[rouge]

C : Calcul d'aire

1. Voir figure.

2. a) A se détermine en posant A = F(x) = $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}}f(x).\text{d}x$
En "primitivant" dans un premier temps sous forme d'intégrale indéfinie chacun des 3 termes de l'expression de $f$ , on a :
$\displaystyle \int 2e^x.\text{d}x = 2\int e^x.\text{d}x = 2.e^x+C_1$
$\displaystyle \int x^2.\text{d}x = \frac{x^3}{3}+C_2$
$\displaystyle \int 3x.\text{d}x = 3\int x.\text{d}x = 3\frac{x^2}{2}+C_3$
soit $\displaystyle F(x)=2e^x+\frac{x^3}{3}+3\frac{x^2}{2}+C$ ( $C=C_1+C_2+C_3$ , constantes "arbitraires")
On a donc : $\displaystyle A=\left\lbrack2e^x+\frac{x^3}{3}+3\frac{x^2}{2}\right\rbrack_0^{\frac{1}{2}} = 2e^{\frac{1}{2}}+\frac{\left(\frac{1}{2}\left)^3}{3}+\frac{3.\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}-2$
avec $\displaystyle e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$ , ce qui, après calculs et simplifications, donne :
$\displaystyle A=2.\sqrt{e}-\frac{19}{12}$

2. b) Une unité d'aire couvrant une aire de 4 cm² sur le graphique, l'aire "réelle" de A est 6.86 cm², à 10^-2 près.

Publié par TP/ pppa le 16-05-2010

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