Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Électronique - Génie Électrotechnique - Génie Optique
Polynésie Française - Session Juin 2009

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. (Circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les 2 exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et une feuille de papier millimétré sont distribués avec le sujet.
5 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; \vec{u},\vec{v}) d'unité graphique 2 cm.
Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 d'argument \dfrac{\pi}{2}.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation, d'inconnue z :
z^2 -  2z\sqrt{2} + 4 = 0.

2. On considère les points A et B d'affixes respectives z_{\text{A}} = \sqrt{2}+ \text{i}\sqrt{2} et z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}.
    a) Déterminer le module et un argument des nombres complexes z_{\text{A}} et z_{\text{B}}.
    b) Construire le cercle de centre O et de rayon 4 cm, puis placer les points A et B dans le repère (O ; \vec{u},\vec{v}) précisé ci-dessus.

3. On désigne par R la transformation du plan complexe qui, à tout point M d'affixe z, fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que z' = \text{i}z.
    a) Indiquer la nature de la transformation R et préciser ses éléments caractéristiques.
    b) Le point C est l'image du point A par la transformation R.
Déterminer la forme algébrique de l'affixe z_{\text{C}} du point C. Placer ce point C dans le repère précédent.
    c) Montrer que le point C est le symétrique du point B par rapport au point O.

Dans cette question, toute rédaction, même partielle, sera prise en compte dans l'évaluation.
4. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.


4 points

exercice 2

Un sac contient 4 boules indiscernables au toucher : une jaune, une rouge, une verte et une noire notées respectivement : J, R, V et N.

Dans une fête foraine, un jeu est organisé de la manière suivante :
On tire au hasard une première boule du sac ; on note sa couleur et on la remet dans le sac. On effectue ensuite un deuxième tirage au hasard, indépendant du premier, dont on note également la couleur.
Ces tirages sont équiprobables.

On appelle résultat un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage et le second élément est celle de la boule obtenue au second tirage.
Exemple : Le résultat du tirage de la boule rouge suivie de la boule verte se note (R ; V).

1. Déterminer l'ensemble des résultats possibles.

2. Calculer la probabilité du résultat (N ; N).

3. Pour jouer, on doit miser 20 euros.
Une boule jaune rapporte 20 euros, une boule rouge 12 euros, une boule verte 5 euros et une boule noire ne rapporte rien.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le bénéfice ou la perte réalisé par le joueur, un bénéfice étant compté positivement et une perte négativement.
Exemple
Le résultat (R ; V) rapporte au joueur 17 euros. Il perd dans ce cas 20 - 17 = 3 euros. La valeur de X correspondant à ce cas est donc -3.

    a) Montrer que pour le résultat (J ; R), la variable aléatoire X prend la valeur 12.
    b) Indiquer dans un tableau les résultats obtenus dans la question 1 en y mentionnant les valeurs prises par la variable aléatoire X.
    c) Montrer que la probabilité que X prenne la valeur 12 est égale à \dfrac{1}{8}.
    d) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
    e) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.


11 points

probleme

Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x, par :
f(x) = \text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x} + 4.
On note \mathcal{C} sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O ; \vec{i},\vec{j}) (unités graphiques : 4 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées).

Partie A : Étude de la fonction f

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en -\infty. En déduire que la courbe \mathcal{C} admet une asymptote D dont on précisera une équation.
    b) Montrer que pour tout nombre réel x : f(x) = \text{e}^{x} \left(\text{e}^{x}  - 5\right) + 4. En déduire la limite de la fonction f en +\infty.

2. a) Soit f'la fonction dérivée de la fonction f. Pour tout nombre réel x, calculer f'(x).
Montrer que pour tout nombre réel x, f'(x) =\text{e}^{x} \left(2\text{e}^{x}  - 5\right).
    b) Résoudre dans l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels l'équation 2\text{e}^{x} - 5 = 0.
Résoudre ensuite dans \mathbb{R} l'inéquation 2\text{e}^{x} - 5 > 0.
    c) En déduire les variations de la fonction f. Indiquer la valeur exacte de f\left(\ln \dfrac{1}{2}\right).

3. Montrer que l'équation f(x) = 0 a une unique solution sur l'intervalle [1 ; 2].
Donner une valeur approchée à 10-2 près de cette solution.

4. a) Montrer que le point O appartient à la courbe \mathcal{C}.
    b) Déterminer le coefficient directeur de la tangente \Delta à la courbe \mathcal{C} au point O.

5. Tracer dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}) l'asymptote D la droite \Delta et, sur l'intervalle [-2,5 ; 2], la courbe \mathcal{C}.

Partie B : Calcul d'aire

1. Quel est le signe de la fonction f sur l'intervalle \left[\ln \dfrac{1}{2}~ ;~ 0 \right] ?

2. Déterminer une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.

3. Soit \mathcal{D} le domaine du plan délimité par la courbe \mathcal{C}, la droite d'équation x = \ln \dfrac{1}{2}, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
    a) Hachurer le domaine \mathcal{D} sur le graphique précédent.
    b) Calculer l'aire exacte du domaine \mathcal{D} en cm2, puis donner une valeur approchée au centième de cette aire.
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