Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Métropole - Session Juin 2009

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

1. Résoudre l'équation différentielle $4y'' + y = 0$ , (E) ou $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et ou $y''$ désigne sa dérivée seconde.

2. Le but de cette question est de trouver la solution particulière de (E), appelée $f$ , dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est fournie en annexe. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ .
a) La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(0 ; 1) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur $\dfrac{1}{2}$ . En déduire les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$ .
b) Montrer que la solution particulière $f$ de l'équation (E) est définie sur $\mathbb{R}$ par : $f (x) = \cos\left (\frac{x}{2} \right) + \sin\left (\frac{x}{2} \right)$ .

3. Soit $D$ le domaine du plan délimité par :

    l'axe des abscisses,
    l'axe des ordonnées,
    la droite d'équation $x = \pi$ ,
    la courbe $\mathcal{C}_f$ .
Hachurer le domaine $D$ sur la feuille annexe.

4. Montrer que $[f(x)]^2 = 1 + \sin(x)$ .

5. On considère le solide de révolution engendré par la rotation du domaine $D$ autour de l'axe des abscisses.
Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volume $V$ de ce solide.
On rappelle que $V = \pi\displaystyle\int_{0}^{\pi}[f(x)]^2 \text{d}x$ .
Annexe - À rendre avec la copie

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole juin 2009 - terminale : image 1

5 points

exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On désigne par $i$ le complexe de module $1$ et d'argument $\frac{\pi}{2}$ .

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $(z + 4)(z^{2} - 4z + 16) = 0.$

2. On considère les nombres complexes définis par : $z_A = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ $z_B = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ $z_c = -4$ . Calculer le module et un argument de $z_A$ .
En prenant comme unité graphique 1 cm, placer dans le plan complexe (en utilisant une feuille de papier millimétré) le point A d'affixe $z_A$ , le point B d'affixe $z_B$ et le point C d'affixe $z_C$ .

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    a) Démontrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
    b) Placer le point D milieu du segment[AC].
    c) Déterminer la nature du triangle BDA.

10 points

probleme

Soit la fonction $f$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ , d'expression $f(x) = \text{e}^{x} - \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$ . On note $f'$ sa fonction dérivée.
Soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

1. Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .

2. a) Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ peut se mettre sous la forme : $f' (x) = \dfrac{(\text{e}^{x} - 1) (\text{e}^{x} + 1)}{\text{e}^{x}}$ .
    b) Étudier le signe de $f' (x)$ sur $\mathbb{R}$ .
    c) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

3. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2X^2 - 5X + 2 = 0$ d'inconnue $X$ .
    b) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ équivaut à $2\left(\text{e}^{x}\right)^2 - 5\text{e}^x + 2 = 0$ .
    c) En utilisant la question a), résoudre l'équation $2 \left(\text{e}^x\right)^2 - 5\text{e}^x + 2 = 0$ .
    d) Quelles sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses ?
    e) En utilisant les résultats des questions 2. c) et 3. d) déterminer le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

4. Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\ln(2)$ .

5. En utilisant une feuille de papier millimétré, tracer dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\mathcal{T}$ : unités graphiques 4 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.

6. Soit la fonction $F$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ , d'expression $F(x) = \text{e}^x - \dfrac{5}{2}x -\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$ .
    a) Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    b) En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I= \displaystyle \int_{\ln(2)}^{2} f(x) \text{d} x$ .
    c) Hachurer sur le graphique la partie du plan dont l'intégrale $I$ donne la valeur de l'aire A en unité d'aire.
    d) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de l'aire A de la partie hachurée, exprimée en cm². On donnera ensuite une valeur approchée de A à 0,1 cm² près.

Voir la correction

exercice 1

1. (E) peut s'écrire $\displaystyle y''+\dfrac{1}{4}y=0$ , de façon à la ramener à la forme $\displaystyle y''+\omega^2y=0$ , avec $\displaystyle \omega^2=\dfrac{1}{4}$
L'ensemble des solutions de (E) est donc l'ensemble des fonctions $\displaystyle f_i$ définies par :
$\displaystyle f_i(x)=A\cos \omega x + B\sin \omega x$ , avec $\displaystyle (A;B)\in \mathbb{R}^2$ , soit ici :
$\displaystyle f_i(x)=A\cos \dfrac{x}{2} + B\sin \dfrac{x}{2}, \omega$ valant $\displaystyle\dfrac{1}{2}$ puisque $\displaystyle\omega^2=\dfrac{1}{4}$

2. a) Par lecture graphique, on a immédiatement $\displaystyle f(0)=1$
La tangente à la courbe représentative de f au point A d'abscisse $\displaystyle x_0=0$ ayant pour coefficient directeur $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ , cette valeur du coefficient directeur est le nombre dérivé de f au point A d'abscisse 0,
soit $\displaystyle f'(0)=\dfrac{1}{2}$

2. b) D'après les questions précédentes, il s'agit de déterminer les nombres réels A et B tels que $\displaystyle f(0)=1$ et $\displaystyle f'(0)=\dfrac{1}{2}$
$\displaystyle f(0)=1\Longleftrightarrow A.\cos 0 + B.\sin 0=1 \Longleftrightarrow (A\times 1)+(B\times 0)=1$ , soit $\displaystyle A=1$
puisque $\displaystyle \cos 0=1 et \sin 0=0$ .

Déterminons f' ; on a : $\displaystyle f'(x)=\left(-\dfrac{A}{2}\times\sin\dfrac{x}{2}\right)+\left(\dfrac{B}{2}\times\cos\dfrac{x}{2}\right)$

Connaissant A, on peut écrire : $\displaystyle f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}\times\sin\dfrac{x}{2}\right)+\left(\dfrac{B}{2}\times\cos\dfrac{x}{2}\right)$

et $\displaystyle f'(0)=-\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow\left(-\dfrac{1}{2}\times\sin\0\right)+\left(\dfrac{B}{2}\times\cos\0\right)=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow (\dfrac{B}{2}=\dfrac{1}{2}$ ), d'où $\displaystyle B=1$
On vérifie ainsi que la forme générale de $\displaystyle f_i$ donnée à la question 1. s'écrit :

$\displaystyle f(x)=\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}$ pour les valeurs particulières obtenues à partir de la courbe représentative de f.

3.

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4. $\displaystyle [f(x)]^2=\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+2.\sin\left(\frac{x}{2}\right).\cos\left(\frac{x}{2}\right)=1+\sin x$

puisque : $\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}, \cos^2 x+\sin^2 x=1$ et $\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}, 2.\sin x.\cos x=\sin 2x$

5. L'énoncé rappelle que : $\displaystyle V=\pi.\int_0^{\pi}[f(x)]^2.\text{d}x=\pi.\int_0^{\pi}(1+\sin x).\text{d}x$
Les primitives de $\displaystyle [f(x)]^2$ , soit $\displaystyle (1+\sin x)$ sont de la forme : $\displaystyle F(x)=x-\cos x+C$ (C constante "arbitraire").
Par conséquent : $\displaystyle V=\pi.[x-\cos x]_0^{\pi}=\pi.[(\pi-(-1))-(0-1)]=\pi.(\pi+1+1)=\pi.(\pi+2)$

exercice 2

1. Soit à résoudre $(z+4).(z^2-4z+16)=0$
Dans $\displaystyle \mathbb{C}$ comme dans $\displaystyle \mathbb{R}$ , un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul, ce qui revient à résoudre :
$\displaystyle z+4=0$ (1) OU $\displaystyle z^2-4z+16=0$ (2)
(1) se résout en posant z=-4, nombre réel (ou complexe sans partie imaginaire)
(2) se résout en calculant dans un prmeir temps son discriminant $\Delta=16-64=-48=-16\times 3$
$\Delta\lt 0$ signifie, dans $\displaystyle \mathbb{C}$ , que (2) admet 2 racines complexes conjuguées :
$\displaystyle z_1=\dfrac{4-\sqrt{-1\times 48}}{2}=\dfrac{4-(4i\times \sqrt{3})}{2}=2-(2i\times \sqrt{3})$

$\displaystyle z_2=\dfrac{4+\sqrt{-1\times 48}}{2}=\dfrac{4+(4i\times \sqrt{3})}{2}=2+(2i\times \sqrt{3})$

2. On remarque que $\displaystyle z_a, z_b, z_c$ sont les 3 racines complexes trouvées à la question 1..

Module de $z_a$ : $\displaystyle |z_a|=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4$
Soit $\theta$ l'argument principal de $z_a$ . On a : $\displaystyle z_a=|z_a|.(\cos\theta+i.\sin\theta)$
soit : $\displaystyle z_a=4\times .(\cos\theta+i.\sin\theta)=2+2i\sqrt{3}\Longleftrightarrow 4\cos\theta+4i\sin\theta=2+2i\sqrt{3}$

soit : $\displaystyle \cos\theta=\dfrac{1}{2}$ et $\displaystyle \sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
soit $\displaystyle \theta=\dfrac{\pi}{3}$ rd.

Pour le placement des points A, B et C :

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3. a) D'après le graphique de la question 2., on peut avoir "l'intuition" de calculer les distances OA, OB et OC.
$\displaystyle d(O;A)=||\vec{OA}||=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4$
$\displaystyle d(O;B)=||\vec{OB}||=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4$
$\displaystyle d(O;C)=||\vec{OC}||=\sqrt{(-4)^2}=4$
Donc, OA=OB=OC, ce qui signifie que la distance de O aux 3 points A, B et c est identique.
On en conclut que ces 3 points sont situés sur le cercle de centre O, de rayon OA=OB=OC=4

3. b) Voir le graphique précédent ; $D : (-1;\sqrt{3})$

3. c) On sait que : 1/ OA = OC ; 2/ D est le milieu de [AC].
de 1/, on déduit que O est un point de la médiatrice de [AC], donc $\displaystyle (AC)\perp (OD)$
En reliant D à B sur le graphique 2, on constate que $\displaystyle O\in [DB]$ , donc $\displaystyle (DB)\perp (AC)$
On en conclut que le triangle BDA est rectangle en D.

probleme

1. Limite de f en $-\infty$
On a : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}e^x=0^+$ , et
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{e^x}=\dfrac{1}{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}e^x}=+\infty$
Donc : $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=0-\dfrac{5}{2}+\infty=+\infty$

Limite de f en $+\infty$
On a : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty$ , et
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{e^x}=\dfrac{1}{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^x}=0$
Donc : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty-\dfrac{5}{2}+0=+\infty$

2. a) Sachant que : $\displaystyle [e^x]'=e^x$ , on a :
$\displaystyle f'(x)=e^x-\dfrac{e^x}{(e^x)^2}=\dfrac{(e^{2x}\times e^x)-e^x}{e^x\times e^x}=\dfrac{e^x.[(e^x)^2-1]}{e^x\times e^x}$ après réduction au même dénominateur et mise en facteur commun de $e^x$ au numérateur
soit $\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^x-1).(e^x+1)}{e^x}$ , après avoir reconnu l'identité remarquable de la différence de 2 carrés puis simplifié par $e^x$

2. b) Sachant que : $\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}, e^x>0$ , a fortiori $e^x+1>0$
on en déduit que le signe de f'(x) dépend de celui du facteur $e^x-1$ au numérateur.
$\displaystyle e^x-1>0\Longleftrightarrow e^x>1\Longleftrightarrow \ln e^x>\ln 1\Longleftrightarrow x>0$
succession d'inégalités et d'équivalences possibles du fait de la stricte croissance des fonctions exponentielle et ln sur leurs domaines de définition.

Conclusion : $\displaystyle \forall x\in ]-\infty;0], f'(x)\le 0$ et $\displaystyle \forall x\in ]0;+\infty[, f'(x)>0$

2. c) Tableau de variations de f sur $\displaystyle \mathbb{R}$ :
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} -\frac{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

3. a) Le discriminant $\Delta$ de l'équation vaut : $\displaystyle \Delta = (-5)^2-(4\times 2\times 2)=25-16=9=3^2$
$\Delta\gt 0$ , donc l'équation admet 2 racines réelles distinctes :
$\displaystyle X_1=\dfrac{5+\sqrt{\Delta}}{2\times 2}=2$ ; $\displaystyle X_2=\dfrac{5-\sqrt{\Delta}}{2\times 2}=\dfrac{1}{2}$

3. b) $\displaystyle f(x)=0\Longleftrightarrow e^x-\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{e^x}=0$ .
En réduisant les termes de l'égalité obtenue au même dénominateur $2.e^x$ , on obtient :
$\displaystyle\dfrac{2.(e^x)^2-5.e^x+2}{2.e^x}=0$ , avec $\forall x\in \mathbb{R}, 2.e^x\ne0$ .
Donc cela revient à résoudre l'équation $\displaystyle 2.(e^x)^2-5.e^x+2=0$ (3)

3. c) En posant $\displaystyle e^x=X$ dans l'égalité (3), on obtient $\displaystyle 2X^2-5X+2=0$ , soit l'équation de la question 3. a), dont on connaît les solutions.
Les solutions de l'équation $\displaystyle 2(e^x)^2-5e^x+2=0$ s'obtiennent donc en résolvant :
$\displaystyle e^x=2 \Longleftrightarrow \ln e^x = \ln 2 \Longleftrightarrow x = \ln 2$
$\displaystyle e^x=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow (\ln e^x = \ln \dfrac{1}{2} = \ln 1 - \ln 2 = -\ln 2) \Longleftrightarrow x = -\ln 2$

3. d) $C_f$ étant la courbe représentative de f, les abscisses cherchées sont solution de l'équation f(x) = 0, soit, d'après les résultats de 3. b) et 3. c), respectivement :
$\displaystyle x= -\ln 2$ ET $\displaystyle x=\ln 2$

3. e) D'après le tableau de variations de f et les racines de l'équation f(x)=0, on déduit que :
$\diplaystyle f(x)>0$ pour $\diplaystyle x\in ]-\infty;-\ln 2[\cup]\ln 2;+\infty[$
$\diplaystyle f(x)\le 0$ pour $\diplaystyle x\in [-\ln 2;\ln 2]$

4. L'équation de (T) est de la forme $\displaystyle y=f'(x_0).(x-x_0)+f(x_0)$ , avec $\displaystyle x_0=\ln 2 ; f(x_0)=0 ; f'(x_0)=\dfrac{3}{2}$
Donc : (T) a pour équation : $\displaystyle y=\dfrac{3}{2}.(x-\ln 2) = \dfrac{3}{2}.x-\dfrac{3.\ln 2}{2}$

5.

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6. a) On a : $\displaystyle F'(x)=e^x-\dfrac{5}{2}-\dfrac{-e^x}{(e^x)^2}=e^x-\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{e^x}=f(x)$

6. b) Puisque F est une primitive de f sur $\displaystyle\mathbb{R}$ ,on a :
$\displaystyle I=[e^x-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{e^x}]_{\ln 2}^2=(e^2-5-\dfrac{1}{e^2})-(e^{\ln 2}-\dfrac{5\ln 2}{2}-\dfrac{1}{e^{\ln 2}})$
avec : $\displaystyle e^{\ln 2}=2$ , par application de la définition de la fonction exponentielle.
Donc : $\displaystyle I=e^2-5-\dfrac{1}{e^2}-2+\dfrac{5.\ln 2}{2}+\dfrac{1}{2}=e^2-\dfrac{1}{e^2}+\dfrac{5.\ln 2}{2}-\dfrac{13}{2}$

6. c) Cf. graphique précédent. L'aire hachurée en vert A mesure I unités d'aires, une unité d'aire valant 4x2 = 8cm².

6. d) Valeur exacte de A en cm²: $\displaystyle 8e^2-\dfrac{8}{e^2}+20.\ln 2-52 \text{cm}^2$ .
On a tout simplement multiplié par 8 (la valeur en cm² d'une unité d'aire) la valeur de I calculée en 6. b)

Valeur approchée de A en cm²: A partir de la valeur exacte ci-dessus, la calculatrice indique une valeur approchée de A de $\displaystyle 19.9 \text{cm}^2$ à $\displaystyle 10^{-1}$ près.

Publié par TP/pppa le 23-06-2010

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