Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Métropole - Session Juin 2009

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.

6 points

exercice 1

Pour la construction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la figure 1 (vue de dessus de la piscine), où $(O ; \vec{i},\vec{j})$ est un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : ${}^{\;\frown}_{\text{AB}}$ de centre O et de rayon 3, et ${}^{\;\frown}_{\text{CD}}$ de centre O $'$ et de rayon 4, reliés par deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ . L'axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure.

La courbe $\mathcal{C}$ reliant les points A et D est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 8].

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole juin 2009 - terminale : image 1

1. a) En remarquant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A d'abscisse $0$ , le point D d'abscisse 8, et qu'en ces points elle admet une tangente horizontale, déterminer les valeurs de $f(0)$ , $f(8)$ , $f'(0)$ et $f'(8)$ .
    b) On suppose qu'il existe quatre nombres réels $a$ , $b$ , $c$ et $d$ tels que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 8], $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ .
Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ , $b$ , $c$ , $d$ et $x$ .
    c) Déduire des questions précédentes que $c = 0$ et $d = 3$ et que les réels $a$ et $b$ vérifient le système : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} 512a + 64b&=&1 \\ 192a+16b&=&0 \\ \end{array}\right.$ .
    d) Résoudre le système précédent.

2. Par la suite, on admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 8],
$f(x) = - \dfrac{1}{256}x^3 + \dfrac{3}{64} x^2 + 3$ , et que $f$ est strictement positive sur [0 ; 8].

Le but de cette question est de déterminer l'aire de la piscine, en m², sachant que la figure 1 est une représentation à l'échelle 1/100 de la réalité.
a) Expliquer une démarche qui permet d'obtenir l'aire demandée. On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, pourra être prise en compte.
b) Calculer, en m², la valeur exacte de l'aire de la piscine réelle. Donner également la valeur arrondie à 0,1 m² de cette aire.

3. La profondeur d'eau de cette piscine est constante, égale à 1,60 m. Calculer, en m³, la valeur exacte du volume d'eau contenue dans cette piscine. Donner également la valeur arrondie au m³ de ce volume.

5 points

exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 5 cm.
On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + \text{i})$ , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$

1. a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
    b) Déterminer un argument de $z_{\text{B}}$ .
    c) Tracer le cercle $\mathcal{C}$ , et placer les points A et B.
    d) Soit I le milieu du segment [AB] et $z_{\text{I}}$ son affixe. Placer I sur la figure et prouver que $z_{\text{I}} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\text{i}$ .

2. a) Calculer la distance OI, et prouver que OI $= \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .
    b) Démontrer que la droite (OI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ . En déduire un argument de $z_{\text{I}}$ .
    c) Donner la forme trigonométrique de $z_{\text{I}}$ .

3. Montrer à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ est $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

9 points

probleme

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. On s'intéresse, dans ce problème, à la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [ par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x} -x + 2$ . On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

Partie A : étude d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [ par $g(x) = 1- \ln x - x^2$ .
1. Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [. En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

2. Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

Partie B : étude de la fonction $f$

1. a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ . Interpréter graphiquement cette limite.
    b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .
    c) Justifier que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ .
    d) Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ .

2. a) Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [,
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ .
    b) Établir le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

3. a) Déterminer les coordonnées du point A de la courbe $\mathcal{C}$ tel que la tangente en ce point soit parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$ .
    b) Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ , tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse e.
On rappelle que e est le nombre réel tel que $\ln \text{e} = 1$ .

4. a) Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle ]0 ; 1[.
On appelle B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$ .
    b) Donner un encadrement d'amplitude 0,01 de $\alpha$ .

5. Dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , placer les points A et B puis tracer les droites $\mathcal{D}$ , $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ .

Voir la correction

exercice 1

1. a) D'après le graphique, on a :
$f(0) = 3.$ En effet, le point A a pour coordonnées $(0 ; f(0)),$ puisque A appartient simultanément :
à la courbe $\mathcal{C}$ ,
à l'axe des ordonnées, soit une abscisse nulle,
au demi-cercle (AB) de rayon 3.

$f(8) = 4.$ En effet, le point D a pour coordonnées $(8 ; f(8)),$ puisque D appartient simultanément :
à la courbe $\mathcal{C}$ ,
à la droite (CD) d'équation $x = 8,$ soit une abscisse égale à 8,
au demi-cercle (CD) de rayon 4.

Le graphique met en évidence qu'en A et D, la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale. Cela signifie qu'en ces points, le nombre dérivé de la fonction $f,$ égal à la pente de la tangente à $\mathcal{C}$ , est nul.
$f',$ la fonction dérivée première de $f,$ s'annule donc pour les valeurs de la variable correspondant aux abscisses des points pour lesquels la tangente à la courbe représentative de $f$ est horizontale.
On a donc : $f'(0) = 0$ ET $f'(8) = 0.$

1. b) Pour $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ (1), on a : $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ (2)

1. c) D'après les résultats de la question 1. a), on a : $f(0)=3,$ donc, d'après (1) : $d=3$
$f'(0)=0,$ donc, d'après (2) : $c=0.$
Connaissant c et d, et sachant que :
$f(8)=4,$ on a, d'après (1) : $(a.8^3)+(b.8^2)+(0x8)+3=4$ , soit 512a + 64b = 1
$f'(8)=0,$ on a, d'après (2) : $(3a.8^2)+(2b.8)+0=0$ , soit 192a + 16b = 0
Ces deux derniers résultats conduisent au système de deux équations linéaires à 2 inconnues a et b cherché.

1. d) Résolution du système :
$\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{l}512a+64b=1\\192a+16b=0\\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}8a+b=\dfrac{1}{64}\\12a+b=0\\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}-8a-b=-\dfrac{1}{64}\\12a+b=0\\ \end{array} \right.$

On additionne membre à membre les équations du système ainsi transformé, pour aboutir à :
$4a=-\dfrac{1}{64}, \text{ soit } a=-\dfrac{1}{256}$ .
Connaissant a, on en déduit b à partir d'une des 2 équations. ainsi : $b=\dfrac{12}{256}=\dfrac{3}{64}$ .

2. a)
remarque préalable :
le schéma de l'énoncé est à l'échelle 1/100, c'est à dire que 1 cm sur le schéma représente 1 m sur le terrain.
Les données numériques et les calculs qui en résultent seront donc directement exprimés en mètres, de façon à ce que les calculs d'aire et de volumes soient obtenus directement en m², resp. en m³.

L'aire de la piscine peut se décomposer en 3 zones :
Zone 1 : Le demi-cercle à gauche de l'axe (AB) (axe des ordonnées)
Zone 2 : La zone comprise entre l'axe (AB) et l'axe (CD)
Zone 3 : Le demi-cercle à droite de l'axe (CD),
les 3 zones étant symétriques par rapport à l'axe (OO') (axe des abscisses).

L'aire de la zone 1 se détermine en calculant l'aire d'un demi-cercle de rayon 3 m., soit
$A_1 = \dfrac{\pi\times 3^2}{2}=\dfrac{9.\pi}{2}$

L'aire de la zone 2 se détermine en calculant l'aire comprise entre [OO']et la partie de (C) qui relie A à D, puis en multipliant cette aire par 2, du fait de la symétrie de la piscine par rapport à l'axe (OO'), soit :
$A_2 = 2 \times \displaystyle \int_0^8 f(x).dx$

L'aire de la zone 3 se détermine en calculant l'aire d'un demi-cercle de rayon 4 m., soit
$A_3=\dfrac{\pi\times 4^2}{2}=8.\pi$

2. b) Valeur exacte de l'aire de la piscine
Les valeurs exactes de $A_1$ et $A_3$ ont été calculées en 2. a).
Une primitive de $f$ est donnée par la fonction $F$ telle que :
$F(x)=-\dfrac{1}{1024}x^4+\dfrac{1}{64}x^3+3x$ ; on a donc :
$A_2 = 2 \times \left[-\dfrac{1}{1024}x^4 + \dfrac{1}{64}x^3 + 3x\right]_0^8 = 2\times \left(-\dfrac{4096}{1024} + \dfrac{512}{64} + 24 \right) = 2 \times (-4+8+24)=56 \text{ m}^2$

La valeur exacte cherchée est donc : $56 + \dfrac{9.\pi}{2}+8.\pi$
soit $A=56+\dfrac{25.\pi}{2} \text{ m}^2$ .
A l'aide d'une calculatrice,on obtient une valeur approchée à $0.1 \text{ m}^2$ près de $95.3 \text{ m}^2$

3. Connaissant l'aire de la piscine, le volume s'obtient en multipliant cette aire par la profondeur constante de 1.60 m.
A partir des résultats obtenus en 2. b), on a :
Valeur exacte du volume d'eau de la piscine: $\left(56 + \dfrac{25.\pi}{2} \right)\times 1.6 \text{ m}^3 = 89.6+20.\pi \text{ m}^3$ .
Valeur approchée du volume d'eau de la piscine au m³ près : $95.3 \times 1.6 \approx 152 \text{ m}^3$

exercice 2

1. a) En écrivant : $z_A=1 + 0.i$ et $z_B=\dfrac{1}{\sqrt{2}} + i.\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , on a :
$OA = \sqrt{1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1$ u.g. ; $OB=\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{1}=1$ u.g.
(u.g. : unité graphique).
par conséquent : OA = OB = 1. On en conclut que A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1, soit le cercle C.

1. b) Soit $\theta$ un argument de $z_B$ . En exprimant $z_B$ sous forme trigonométrique, on a : $z_B=|z_B|.(\cos\theta + i.\sin\theta)$ , avec $|z_B|=OB=1$
On a donc : $\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i.\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos\theta+i.\sin\theta$
Il en résulte que l'angle $\theta$ , à $2k\pi$ près $(k\in\mathbb{Z})$ , qui vérifie cette égalité, est l'angle de mesure $\dfrac{\pi}{4}rd$

1. c)

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole juin 2009 - terminale : image 2

1. d) I étant le milieu de [AB], l'affixe $z_I$ du point I est égale à la demi-somme des affixes $z_A$ et $z_B$ des points A et B, soit :
$z_I = \dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i.\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}+i.\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2+\sqrt{2}}{4}+i.\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

2. a) $OI=|z_I|=\sqrt{\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4+2+4.\sqrt{2}}{16}+\dfrac{2}{16}}=\sqrt{\dfrac{8+4.\sqrt{2}}{16}}=\dfrac{\sqrt{4.(2+\sqrt{2})}}{\sqrt{16}}=\dfrac{2.(\sqrt{2+\sqrt{2}})}{4}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

2. b) $[OA]$ et $[OB]$ sont deux rayons du cercle C, donc les mesures de ces segments sont égales. Il en résulte que le triangle $AOB$ est isocèle, de sommet principal (le sommet dont sont issus les deux côtés égaux du triangle) O.
$[AB]$ est le côté opposé à O dans le triangle $AOB,$ et $[OI]$ joint le sommet O au côté opposé $[AB]$ .
Donc $[OI]$ est la médiane issue de O du triangle $AOB$ ; $AOB$ étant un triangle isocèle de sommet principal O, la médiane $[OI]$ est également - entre autres - le support de la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{AOB}$ .
Il en résulte que : $\widehat{AOI}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$ ; or la mesure de $\widehat{AOB}$ correspond à l'argument de $z_B$ (Cf. question 1. b)).
soit : $\widehat{AOB} \equiv \dfrac{\pi}{4}[2\pi]rd$ ; donc $\widehat{AOI} \equiv \dfrac{\pi}{8}[2\pi]rd$ .
Un argument de $z_I$ est donc $\dfrac{\pi}{8}rd$ .

2. c) Ainsi :
$z_I = |z_I|.\left$\cos\dfrac{\pi}{8}+i.\sin\dfrac{\pi}{8}\right)$ , soit $z_I=OI.\left\(\cos\dfrac{\pi}{8}+i.\sin\dfrac{\pi}{8}\right)$ .

Application numérique :
$z_I = \left\(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right$.\left$\cos\dfrac{\pi}{8}+i.\sin\dfrac{\pi}{8}\right)$ .

3. Dans le triangle isocèle $AOB$ , de sommet principal O, la médiane $[OI]$ est aussi la hauteur issue de O de ce triangle (autre caractéristique des triangles isocèles). Il en résulte que $[OI]$ est perpendiculaire au côté opposé à O dans le triangle $AOB$ .
Par conséquent, $AOI$ est un triangle rectangle en I, d'hypoténuse $[OA]$ .
La mesure de $\widehat{AOI}$ ayant été déterminée $\left\(\dfrac{\pi}{8} rd\right$$ , des relations trigonométriques dans le triangle rectangle il découle que :
$\cos\widehat{AOI}=\dfrac{OI}{OA}$ . On a établi (Cf question 2. a)) que $OI=\left$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right$$ .
$OA$ , rayon du cercle C, a pour mesure 1. On en déduit que $\cos\widehat{AOI}=\cos\dfrac{\pi}{8}=\left$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right$$

probleme

Partie A : étude d'une fonction auxiliaire

1. La fonction $g$ est la somme de 3 fonctions définies, continues et dérivables sur $]0;+\infty[$ . La somme (algébrique) de fonctions dérivables étant une fonction dérivable, $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ .
On peut donc calculer $g'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ .
On a : $g'(x)=-\dfrac{1}{x}-2x$ .

$\forall x \in ]0;+\infty[$ , on a : $-\dfrac{1}{x}<0$ et $-2x<0$ .
Il en résulte que :
$g'(x)$ , somme algébrique de ces deux termes, est négatif quelle que soit la valeur prise par $x$ sur $]0;+\infty[$ ,
la fonction $g$ est décroissante sur cet intervalle qui est son domaine de définition, le terme $\ln x$ n'étant défini que pour des valeurs strictement positives de la variable $x.$

2. $g(1)=1 - \ln 1-1=1-0-1=0$ . La fonction $g$ étant strictement décroisssante sur $]0;+\infty[$ , on déduit, à partir de la valeur de $g(1)$ , que :
$g(x)>0$ , pour $x\in ]0;1[$
$g(x)=0$ , pour $x=1$
$g(x)<0$ , pour $x\in ]1;+\infty[$

Partie B : étude de la fonction $f$

1. a) On gardera présent à l'esprit, pour l'étude cette limite, que $x$ tend vers 0 par valeurs positives uniquement
On a : $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x) = \lim_{x\to 0}\left[\dfrac{\ln(x)}{x}-x+2\right]$
La limite d'une somme de fonctions étant égale à la somme des limites des termes qui la composent, on a :
$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(x)}{x}-\lim_{x\to 0}x+2$ , avec :
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\ln(x)\times\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}=(-\infty)\times (+\infty)=-\infty$ (noter que le produit de deux limites infinies n'est pas une forme indéterminée)
par ailleurs : $\displaystyle \lim_{x\to 0}x=0$ .
On a donc : $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=-\infty-0+2=-\infty$
Interprétation graphique : lorsque $x$ tend vers 0, $f(x)$ tend vers $-\infty$ ;
cela signifie que la droite d'équation $x=0$ (axe des ordonnées) est asymptote à la courbe représentative de $f.$

1. b) Pour calculer cette limite, il faut notamment se rappeler de la limite "remarquable" : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$
On a donc : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}-\lim_{x\to +\infty}x+2=0-(+\infty)+2=-\infty$

1. c) La droite $(D)$ d'équation réduite $y=-x+2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ si et seulement si :
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left[f(x)-(-x+2)\right]=0$ , ce qui revient à calculer :
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left[\dfrac{\ln(x)}{x}-x+2+x-2\right]=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}$
Comme on l'a vu à la question 1. b), cette limite vaut 0, ce qui prouve que la droite $(D)$ d'équation réduite $y=-x+2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$

1. d) En $+\infty$ , la fonction $\ln$ est à valeurs positives ; le rapport $\dfrac{\ln(x)}{x}$ , égal à la différence entre $f(x)$ et $(-x+2)$ , est donc positif.
Cela signifie qu'en $+\infty$ ,on a : $f(x)$ > $(-x+2)$ .
Ce qui se traduit sur le graphique par le fait que la courbe représentative de $f$ est au-dessus de la droite d'équation réduite $y=-x+2$ ou,
ce qui revient au même, que la courbe représentaive de $f$ est au-dessus de son asymptote en $+\infty$ .

2. a) La fonction dérivée d'une somme de fonctions ( $f$ est la somme de 3 fonctions) est égale à la somme des fonctions dérivées qui la composent.
la dérivée de la fonction constante (ici : 2) est égale à 0,
la dérivée de la fonction qui à la variable $x$ associe la fonction $-x$ est égale à -1,
le calcul de la dérivée de $\dfrac{\ln(x)}{x}$ nécessite d'employer la formule de calcul de la dérivée du rapport de 2 fonctions.
Soient $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=x$ .
On a : $\left[\dfrac{\ln(x)}{x}\right]^{'}=\dfrac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^2}$ ,
avec : $u'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $v'(x)=1$ ,
soit : $\left[\dfrac{\ln(x)}{x}\right]^{'}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\times x\right)-(\ln(x)\times 1)}{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$
donc : $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}-1=\dfrac{1-\ln(x)-x^2}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$

2. b) $\forall x\in ]0;+\infty[$ , $x^2$ , dénominateur de $f'(x)$ , est positif.
La question 2 de la partie A a permis d'établir le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty[$ .
On en déduit que :
$f'(x)>0$ pour $x\in ]0;1[$ ,
$f'(x)=0$ pour $x=1$ ,
$f'(x)<0$ pour $x\in ]1;+\infty[$ .
il en résulte que $f$ est strictement croissante sur ]0 ; 1[, passe par un maximum pour $x=1$ , puis est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$ .
D'où le tableau de variation ci-dessous

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x &0 & &1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & &+ &0 &-& \\ \hline f(x) &\niveau{1}{2}-\infty &\croit &\niveau{2}{2}1 &\decroit\niveau{1}{2}& -\infty \\ \hline \end{tabvar}$

3. a) $D$ a pour pente : -1 (coefficient du terme en $x$ de l'équation réduite de $D$ ).
Donc la tangente - passant par le point $A$ cherché - à $C$ , parallèle à $D$ , a la même pente que $D$ , soit -1.
Or la pente de la tangente à la courbe représentative d'une fonction numérique en un point d'abscisse donnée est égale au nombre dérivé de la fonction pour la valeur de la variable correspondant à l'abscisse du point.
Soit $x$ l'abscisse de $A$ ; on a donc : $f'(x)=-1$ et, daprès les résultats établis à la question 2. a) :
$\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}-1=-1 \Longleftrightarrow 1-\ln(x)=0 \Longleftrightarrow \ln(x)=1$
Soit $x=e$ . Il en découle que $A$ a pour coordonnées :
$\left(e;\dfrac{1}{e}-e+2\right)$ ou $A \left(e;\dfrac{-e^2+2e+1}{e}\right)$

3. b) L'équation (réduite) de $T$ s'écrit donc : $y=f'(e).(x-e)+f(e)$
avec : $f(e)=\dfrac{-e^2+2e+1}{e}$ et $f'(e)=-1$
soit $y=-(x-e)+\dfrac{-e^2+2e+1}{e}$ ou, après réduction au même dénominateur $e$ :
$y=\dfrac{-ex+e^2-e^2+2e+1}{e}=\dfrac{-ex}{e}+\dfrac{2e+1}{e}$ ou :
$y=-x+\left(\dfrac{2e+1}{e}\right)$

4. a) Le tableau de variations établi à la question 2. b) met en évidence que sur l'intervalle ]0 ; 1[, $f$ est strictement croissante.
$f$ réalise donc un bijection de ]0 ; 1[ sur $]-\infty;1[$ , pusque $f(x)$ tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers 0 (par valeurs positives) et que $f(1)=1$ .
Cela permet de déduire qu'il existe une et une seule valeur de la variable $x$ ( $x=\alpha$ ) appartenant à l'intervalle ]0 ; 1[ dont l'image par $f$ soit 0 ( $f(\alpha)=0$ ).

4. b) D'après la question 4. a),on sait que $\alpha\in ]0;1[$ .
La résolution de l'équation $f(x)=0$ à l'aide d'une calculatrice de lycée autorisée à l'examen nécessite de :
programmer l'écriture de $f(x)$ sur la calculatrice,
faire des essais successifs simulant un processus itératif de recherche de la solution $\alpha$ , en attribuant à la variable $x$ des valeurs judicieusement choisies dans l'intervalle $]0;1[$ .
Le choix le plus judicieux pour la 1ère étape consiste à calculer $f(0,5)$ (0,5 étant le centre de l'intervalle ]0 ; 1[).
On obtient : $f(0,5)=0.114$ ; on en déduit que $\alpha\in ]0;0,5[$ .
On poursuit le même processus : calcul de l'image par $f$ du centre de l'intervalle précédemment déterminé, avec des valeurs d'antécédents (de centres d'intervalles) arrondies à 0.01 près, conformément à ce que demande l'énoncé.
On obtient ainsi successivement :
$f(0.25)=-3.795\\ f(0.38)=-0.926\\ f(0.44)=-0.306\\ f(0.47)=-0.076\\ f(0.48)=-0.009\\ f(0.49)=+0.054$

En 6 étapes, on a pu déterminer l'encadrement cherché, soit : $\alpha\in ]0,48;0,49[$ , avec $f(\alpha)=0$ .

5.

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole juin 2009 - terminale : image 3

Publié par TP/pppa le 06-08-2011

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