Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Polynésie Française - Session Juin 2009
Partager :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
5 points
exercice 1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . L'unité graphique est 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
1. On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe par :
.
a) Vérifier que .
b) Déterminer deux nombres réels et tels que .
c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation .
2. On note A, B et C les points du plan, d'affixes respectives , et .
a) Placer les points A, B et C dans le repère .
b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe .
c) Déterminer le module et un argument du nombre complexe .
d) Démontrer que le triangle OBC est rectangle et isocèle.
3. On considère l'ensemble des points d'affixe tels que : .
a) Montrer que les points B et C appartiennent à l'ensemble .
b) Déterminer la nature de l'ensemble et représenter cet ensemble sur le dessin.
4 points
exercice 2
On s'intéresse au jeu suivant :
Une urne (urne 1) contient trois boules portant les numéros 0, 5 et 10.
Une deuxième urne (urne 2) contient trois boules : une blanche (B), une jaune (J) et une rouge (R).
Le joueur tire successivement et au hasard une boule dans l'urne 1 puis une boule dans l'ume 2.
Un résultat possible est par exemple :
«la boule 1 porte le n°5 et la boule 2 est jaune» que l'on codera (5 ; J).
1. Dresser la liste de tous les résultats possibles.
Les gains ou les pertes associés à un résultat sont définis par les règles suivantes :
le joueur, pour pouvoir jouer, mise 5 euros ;
suite au résultat obtenu à l'issue des deux tirages il gagne :
le montant inscrit sur la première boule multiplié par 0 si la deuxième boule est blanche ;
le montant inscrit sur la première boule multiplié par 1 si la deuxième boule est jaune ;
le montant inscrit sur la première boule multiplié par 3 si la deuxième boule est rouge.
Le «gain réel» du joueur est donc la somme gagnée lors du jeu diminuée de la mise initiale. Par exemple le gain réel associé au résultat (5 ; R) est 5 3 - 5 = 10 euros.
On note la variable aléatoire qui à tout résultat associe le gain réel du joueur.
2. Quels sont les différents «gain réels» possibles du joueur ?
3. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
4. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire .
5. S'il effectue un très grand nombre de parties, un joueur va plutôt :
réponse A : être ruiné ?
réponse B : devenir riche?
réponse C : ni l'un ni l'autre ?
Quelle est la bonne réponse ? Justifier.
11 points
probleme
Partie A : Étude sommaire d'une fonction
On considère la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par
.
La courbe représentative de la fonction est notée et est représentée sur la feuille annexe.
Le dessin suggère que est croissante sur . On se propose dans cette partie de confirmer ou d'infirmer cette impression.
1. Déterminer pour tout nombre réel .
2. Étudier selon les valeurs du nombre réel le signe de .
3. Justifier que et sont de même signe pour tout nombre réel .
4. En déduire le tableau de variations de . (L'étude des limites n'est pas demandée.)
5. Que penser des variations de suggérées par le dessin ?
Partie B : Étude de quelques propriétés d'une fonction
On considère la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par
.
La courbe représentative de est notée , cette courbe est représentée sur la feuille annexe.
1. Étude des variations de a) Démontrer que pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle ]0 ; + [, .
b) Résoudre dans l'intervalle ]0 ; + [, l'inéquation .
c) Dresser le tableau de variations de sur l'intervalle ]0 ; + [. (On ne demande pas de calculer les limites de en 0 et en .)
2. Calcul d'une aire
a) Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la droite d'équation , la droite d'équation , l'axe des abscisses, et la courbe .
b) On note la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par
.
Déterminer et en déduire une primitive de sur l'intervalle ]0 ; + [.
c) Calculer l'aire de la partie du plan hachurée exprimée en unité d'aire.
Partie C : Résolution de l'équation sur l'intervalle [1 ; 2]
On considère la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 2] par .
1. Démontrer que pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle [1 ; 2], .
2. En déduire que l'équation admet une unique solution, notée , appartenant à l'intervalle [1 ; 2].
3. Donner la valeur approchée arrondie au centième de cette solution.
Feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie
1. L'ensemble de tous les résultats possibles est le suivant.
2. Les valeurs prises par sont :
3. La loi de probabilité de la variable est la suivante :
Il y a 9 cas possibles (cf 1. ), il suffit de compter le nombre de cas favorables dans chacun des cas.
Une autre organisation possible est de construire un arbre, mais dans le cas présent, cela était beaucoup plus long.
Chaque gain dans l'arbre ci-dessous possède la probabilité suivante de
Par exemple, la probabilité que la boule numérotée sorte au premier tirage (événement ) est :
La probabilité que la boule rouge sorte au deuxième tirage (événement ) est :
Donc la probabilité que la boule numérotée sorte au premier tirage et que la boule rouge sorte au deuxième tirage est :
Illustration :
4. Espérance mathématique de la variable
5. Lorsqu'on joue une seule fois, l'espérance de gain est de d'euros, soit une valeur strictement positive.
S'il effectue un grand nombre de parties, le joueur peut espérer gagner un peu d'argent (quant à dire devenir riche !...)
PROBLEME
Partie A
Partager :
1. Détermination de
est de la forme avec . La fonction est dérivable sur comme composée de fonctions dérivables sur .
2. Signe de
est un polynôme du second degré, qui est du signe du coefficient de , c'est à dire positif, à l'extérieur des racines.
3. On sait que sur R , une exponentielle est toujours strictement positive.
donc :
Or .
4. Tableau de variations de
Les valeurs en rouge dans le tableau ne sont pas demandées.
Calcul des limites : (non demandé)
En utilisant la même factorisation du polynôme,
5. Variations de suggérées par le dessin
À la vue du dessin on peut penser que le fonction est croissante, ce qui est faux comme démontré à la question 4. Ceci est dû à l'échelle choisie qui ne permet pas de voir la décroissance de la fonction sur l'intervalle.
Partie B
Partager :
1. Variations de
a. Calcul de
La fonction est dérivable sur comme somme et produit de fonctions dérivables sur .
b. Résolution de
c. Tableau de variations de
.
Les valeurs en rouge dans le tableau ne sont pas demandées.
Calcul des limites : (non demandé)
2. Calcul d'une aire
a. Partie du plan comprise entre les droites d'équation et , l'axe des abscisses et
b. la fonction définie sur par
La fonction est dérivable sur comme somme et produit de fonctions dérivables sur .
Soit une primitive de
On constate que :
donc une primitive peut être définie par :
c. Calcul de l'aire hachurée
La fonction ne prend que des valeurs positives pour
La valeur de l'aire hachurée est égale à l'intégrale suivante :
Partie C
Partager :
1.
La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive, et on en déduit :
2. Sur [1 ; 2], la fonction est dérivable.
donc est strictement croissante sur l'intervalle
La fonction croît strictement d'une valeur strictement négative à une valeur strictement positive , il existe donc un unique tel que :
et
3. Valeur approchée de (au centième)
À l'aide de la calculatrice :
Publié par TP/Jedoniezh
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Jedoniezh pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
Voir la correction
forum de terminale
)
. L'unité graphique est 1 cm.
.
par :
 = z^3 - 7z^2 + 20z - 24)
. = 0)
.
et 
tels que  = (z - 3)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right))
.
des nombres complexes, l'équation  = 0)
.
, 
et 
.
.
.
des points 
d'affixe 
.
3 - 5 = 10 euros.
la variable aléatoire qui à tout résultat associe le gain réel du joueur.
définie sur l'ensemble 
des nombres réels par
 = \text{e}^{x^3 - x - 5})
.
et est représentée sur la feuille annexe.
)
pour tout nombre réel 
.
 = 3x^2 -1)
.
)
sont de même signe pour tout nombre réel 
définie sur l'intervalle ]0 ; + 
[ par
 = -x\ln x +\dfrac{1}{3}x + 1)
.
, cette courbe est représentée sur la feuille annexe.
 = - \ln x - \dfrac{2}{3})
.
 > 0)
.
.)
, la droite d'équation 
, l'axe des abscisses, et la courbe 
la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +  = x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2})
.
)
et en déduire une primitive de 
définie sur l'intervalle [1 ; 2] par = g(x)- f(x))
.
 > 0)
.
 = 0)
admet une unique solution, notée 
=z^3-7z^2+20z-24)
)
:
= 3^3-7\times 3^2+20\times 3-24=27-63+60-24=87-87=0)
=0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
=z^3-7z^2+20z-24=(z-3)(z^2+\alpha z+\beta))
(z^2+\alpha z+\beta)=z^3+z^2(\alpha-3)+z(\beta-3\alpha)-3\beta)
+z(\beta-3\alpha)-3\beta)
=0)
=0\Longleftrightarrow (z-3)(z^2-4z+8)=0)
^2)
et 
.
=2\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}})=2\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2\sqrt{2}(cos\dfrac{\pi}{4}+isin\dfrac{\pi}{4})=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})
.
étant l'origine du repère, on a donc 
= \left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{u}\right)+ \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{2})
est l'ensemble des points 
et ^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\\\\mid z_C-3\mid=\mid 2-2i-3\mid=\mid -1-2i\mid=\sqrt{5})
de rayon 
et de centre 
.
}})
de tous les résultats possibles est le suivant.
,(0;J),(0;R),(5;B),(5;J),(5;R),(10;B),(10;J),(10;R)\rbrace}})
& \color{blue} 5/9 & \color{blue}1/9 & \color{blue}1/9 & \color{blue}1/9 & \color{blue}1/9\\ \hline \end{tabular})
sorte au premier tirage (événement 
) est :
=\dfrac{1}{3})
) est :
=\dfrac{1}{3})
=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}=p(10\text{ euros}))
=\Sump p_i\times x_i=-5\times \dfrac{5}{9}+0\times \dfrac{1}{9}+5\times \dfrac{1}{9}+0\times \dfrac{1}{9}+25\times \dfrac{1}{9}=-\cancel{\dfrac{25}{9}}+0+\dfrac{5}{9}+\dfrac{10}{9}+\cancel{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3})
=\dfrac{5}{3}}\textcolor{blue}{\text{ (euros).}}}})
d'euros, soit une valeur strictement positive.
=e^{x^3-x-5})
avec =x^3-x-5)
. La fonction =U'(x)\times e^{U(x)}=(3x^2-1)e^{x^3-x-5})
=(3x^2-1)e^{x^3-x-5}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
=3x^2-1)
=0\Longleftrightarrow 3x^2-1=0\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{1}{3}\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3})
est un polynôme du second degré, qui est du signe du coefficient de 
, c'est à dire positif, à l'extérieur des racines.
![\checkmark\textcolor{blue}{\forall x\in\left]-\infty,-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3},+\infty\right[\;,P(x)\ge 0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\checkmark\textcolor{blue}{\forall x\in\left]-\infty,-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3},+\infty\right[\;,P(x)\ge 0}\textcolor{blue}{\text{ .}}})
![\checkmark\textcolor{blue}{\forall x\in\left]-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\;;\;\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[\;,P(x)< 0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\checkmark\textcolor{blue}{\forall x\in\left]-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\;;\;\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[\;,P(x)< 0}\textcolor{blue}{\text{ .}}})
=(3x^2-1)e^{x^3-x-5}=P(x)\times e^{x^3-x-5}\text{ donc } g '(x) \text{ a le même signe que }P(x))
.
\text{ et }g'(x)\text{ sont de même signe}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
}& &+&0&-&0&+& \\\hline{g}&\textcolor{red}{_{0}}&\nearrow&^{g(-\frac{\sqrt{3}}{3})}&\searrow&_{g(\frac{\sqrt{3}}{3})}&\nearrow&\textcolor{red}{^{+\infty}}&\hline\end{array})
=e^{(\frac{\sqrt{3}}{3})^3-\frac{\sqrt{3}}{3}-5}=e^{\frac{3\sqrt{3}}{27}-\frac{\sqrt{3}}{3}-5}=e^{\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{3\sqrt{3-}}{9}-5}=e^{-\frac{45+2\sqrt{3}}{9}}\approx 0,0046)
=e^{(-\frac{\sqrt{3}}{3})^3+\frac{\sqrt{3}}{3}-5}=e^{-\frac{3\sqrt{3}}{27}+\frac{\sqrt{3}}{3}-5}=e^{\frac{-\sqrt{3}}{9}+\frac{3\sqrt{3}}{9}-5}=e^{\frac{-45+2\sqrt{3}}{9}}\approx 0,0099)
-5 \text{ donc }\lim\limits_{x\to +\infty}(x^3-x-5)=\lim\limits_{x\to +\infty}x^3(1-\dfrac{1}{x^2})-5 =+\infty \text{ et }\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty)
=\lim\limits_{x\to +\infty}x^3(1-\dfrac{1}{x^2})-5 =-\infty\text{ et } \lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=0)
![\forall x\in]0,+\infty[,\text{ }f(x)=-x\ln x+\dfrac{1}{3}x+1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0,+\infty[,\text{ }f(x)=-x\ln x+\dfrac{1}{3}x+1)
)
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
comme somme et produit de fonctions dérivables sur =-\ln x-x\times\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=-\ln x-1+\dfrac{1}{3}=-\ln x-\dfrac{2}{3})
![\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in]0,+\infty[\text{, }f'(x)=-\ln x-\dfrac{2}{3}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in]0,+\infty[\text{, }f'(x)=-\ln x-\dfrac{2}{3}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
>0)
>0\Longleftrightarrow -\ln x-\dfrac{2}{3}>0\Longleftrightarrow \ln x+\dfrac{2}{3}<0\Longleftrightarrow x<e^{-\frac{2}{3}})
>0\Longleftrightarrow 0<x<e^{-\frac{2}{3}}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
}& &+&0&-&& \\\hline{f}&_{\textcolor{red}{1}}&\nearrow&^{1+e^{-\frac{2}{3}}}&\searrow&_{\textcolor{red}{-\infty}}&&\hline\end{array})
=-e^{-\frac{2}{3}}\times \ln (e^{-\frac{2}{3}})+\dfrac{1}{3}\times e^{-\frac{2}{3}}+1=-e^{-\frac{2}{3}}\times (-\frac{2}{3})+\dfrac{1}{3}\times e^{-\frac{2}{3}}+1=(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})e^{-\frac{2}{3}}+1=1+e^{-\frac{2}{3}}\approx 1,51)
+1\text{ donc }\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty)
=1)
et 
, l'axe des abscisses et 
=x^2\ln x-\dfrac{x^2}{2})
=2x\lnx+x^{\cancel{2}}\times\dfrac{1}{\cancel{x}}-\dfrac{1}{\cancel{2}}\times \cancel{2}x=2x\ln x)
![\boxed{\textcolor{blue}{\forall x \in ]0,+\infty[ \;,\;H'(x)=2x\ln x}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\textcolor{blue}{\forall x \in ]0,+\infty[ \;,\;H'(x)=2x\ln x}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
une primitive de )
![F \text{ de } f \text{ sur }]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? F \text{ de } f \text{ sur }]0,+\infty[ )
peut être définie par :
=-\dfrac{1}{2}H(x)+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}x^2+x=-\dfrac{1}{2}(x^2\ln x-\dfrac{x^2}{2})+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}x^2+x=-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{5}{12}x^2+x)
![\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une primitive de }f\text{ peut être définie sur }]0,+\infty[\text{ par }\textcolor{blue}{F(x)=-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{5}{12}x^2+x}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une primitive de }f\text{ peut être définie sur }]0,+\infty[\text{ par }\textcolor{blue}{F(x)=-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{5}{12}x^2+x}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
![x \text{ dans } [1\,;\,2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \text{ dans } [1\,;\,2])
![\displaystyle\int_1^2f(x)dx=F(2)-F(1)=\left[-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{5}{12}x^2+x\right]_1^2=-2\ln 2+\dfrac{5}{3}+2+0-\dfrac{5}{12}-1=\dfrac{9}{4}-2\ln 2(\approx 0,86)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\int_1^2f(x)dx=F(2)-F(1)=\left[-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{5}{12}x^2+x\right]_1^2=-2\ln 2+\dfrac{5}{3}+2+0-\dfrac{5}{12}-1=\dfrac{9}{4}-2\ln 2(\approx 0,86))
![h(x)=g(x)-f(x)\text{ sur }[1,2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h(x)=g(x)-f(x)\text{ sur }[1,2])
=g'(x)-f'(x))
![\forall x\in[1,2],g'(x)>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in[1,2],g'(x)>0)
![\forall x\in[1,2],f'(x)<0 \text{ donc }-f'(x)>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in[1,2],f'(x)<0 \text{ donc }-f'(x)>0)
![\forall x\in[1,2],h'(x) > 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in[1,2],h'(x) > 0)
![\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[1,2],h'(x)>0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[1,2],h'(x)>0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
![\forall x\in[1,2],h'(x)>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in[1,2],h'(x)>0)
donc ![[1,2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1,2])
=g(1)-f(1)=e^{-5}-\dfrac{4}{3}\approx -1,33<0)
=g(2)-f(2)=e+2\ln 2-\dfrac{5}{3}\approx 2,44>0)
)
à une valeur strictement positive )
, il existe donc un unique 
et =0)
![\boxed{\textcolor {blue}{ \text { Il existe donc un unique }}\textcolor {blue} \alpha \textcolor {blue}{\text { dans }[1\;;\;2]\textcolor {blue}{ \text { tel que } }\textcolor {blue}{h(\alpha)=0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\textcolor {blue}{ \text { Il existe donc un unique }}\textcolor {blue} \alpha \textcolor {blue}{\text { dans }[1\;;\;2]\textcolor {blue}{ \text { tel que } }\textcolor {blue}{h(\alpha)=0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
\approx -0,0025 \text{ et } f(1,832)\approx 0,033)
=0\text{ pour }\textcolor{blue}{\alpha\approx 1,83}\textcolor{blue}{\text{ .}}}})
 = g(x))
sur l'intervalle [1 ; 2]