Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles

Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)

Génie Energétique

Génie Civil

Polynésie Française - Session Juin 2009

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.


5 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; \vec{u},\vec{v}). L'unité graphique est 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.

1. On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par :
P(z) = z^3 - 7z^2 + 20z - 24.

    a) Vérifier que P(3) = 0.
    b) Déterminer deux nombres réels \alpha et \beta tels que P(z) = (z - 3)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right).
    c) Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes, l'équation P(z) = 0.

2. On note A, B et C les points du plan, d'affixes respectives a = 3, b = 2 + 2\text{i} et c = 2 - 2\text{i}.
    a) Placer les points A, B et C dans le repère (O ; \vec{u},\vec{v}).
    b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe b.
    c) Déterminer le module et un argument du nombre complexe c.
    d) Démontrer que le triangle OBC est rectangle et isocèle.

3. On considère l'ensemble \mathcal{E} des points M d'affixe z tels que : |z - 3| = \sqrt{5}.
    a) Montrer que les points B et C appartiennent à l'ensemble \mathcal{E}.
    b) Déterminer la nature de l'ensemble \mathcal{E} et représenter cet ensemble sur le dessin.


4 points

exercice 2

On s'intéresse au jeu suivant :
Une urne (urne 1) contient trois boules portant les numéros 0, 5 et 10.
Une deuxième urne (urne 2) contient trois boules : une blanche (B), une jaune (J) et une rouge (R).
Le joueur tire successivement et au hasard une boule dans l'urne 1 puis une boule dans l'ume 2.
Un résultat possible est par exemple :
«la boule 1 porte le n°5 et la boule 2 est jaune» que l'on codera (5 ; J).

1. Dresser la liste de tous les résultats possibles. Les gains ou les pertes associés à un résultat sont définis par les règles suivantes :
    le joueur, pour pouvoir jouer, mise 5 euros ;
    suite au résultat obtenu à l'issue des deux tirages il gagne :
       le montant inscrit sur la première boule multiplié par 0 si la deuxième boule est blanche ;
       le montant inscrit sur la première boule multiplié par 1 si la deuxième boule est jaune ;
       le montant inscrit sur la première boule multiplié par 3 si la deuxième boule est rouge.
Le «gain réel» du joueur est donc la somme gagnée lors du jeu diminuée de la mise initiale. Par exemple le gain réel associé au résultat (5 ; R) est 5 multiplie 3 - 5 = 10 euros.
On note X la variable aléatoire qui à tout résultat associe le gain réel du joueur.

2. Quels sont les différents «gain réels» possibles du joueur ?

3. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

4. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.

5. S'il effectue un très grand nombre de parties, un joueur va plutôt :
    réponse A : être ruiné ?
    réponse B : devenir riche?
    réponse C : ni l'un ni l'autre ?
Quelle est la bonne réponse ? Justifier.


11 points

probleme

Partie A : Étude sommaire d'une fonction g

On considère la fonction g définie sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par
g(x) =  \text{e}^{x^3 - x - 5}.
La courbe représentative de la fonction g est notée \mathcal{C} et est représentée sur la feuille annexe.
Le dessin suggère que g est croissante sur \mathbb{R}. On se propose dans cette partie de confirmer ou d'infirmer cette impression.

1. Déterminer g'(x) pour tout nombre réel x.

2. Étudier selon les valeurs du nombre réel x le signe de P(x) = 3x^2 -1.

3. Justifier que g'(x) et P(x) sont de même signe pour tout nombre réel x.

4. En déduire le tableau de variations de g. (L'étude des limites n'est pas demandée.)

5. Que penser des variations de g suggérées par le dessin ?

Partie B : Étude de quelques propriétés d'une fonction f

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + \infty[ par
f(x) =  -x\ln x +\dfrac{1}{3}x + 1.
La courbe représentative de f est notée \Gamma, cette courbe est représentée sur la feuille annexe.

1. Étude des variations de f
    a) Démontrer que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; + \infty[, f'(x) = - \ln x - \dfrac{2}{3}.
    b) Résoudre dans l'intervalle ]0 ; + \infty[, l'inéquation f'(x) > 0.
    c) Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; + \infty[. (On ne demande pas de calculer les limites de f en 0 et en + \infty.)

2. Calcul d'une aire
    a) Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la droite d'équation x = 1, la droite d'équation x = 2, l'axe des abscisses, et la courbe \Gamma.
    b) On note H la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + \infty[ par
H(x) = x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2}.
Déterminer H'(x) et en déduire une primitive de f sur l'intervalle ]0 ; + \infty[.
    c) Calculer l'aire de la partie du plan hachurée exprimée en unité d'aire.

Partie C : Résolution de l'équation f(x) = g(x) sur l'intervalle [1 ; 2]

On considère la fonction h définie sur l'intervalle [1 ; 2] par h(x)=  g(x)- f(x).

1. Démontrer que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [1 ; 2], h'(x) > 0.

2. En déduire que l'équation h(x) = 0 admet une unique solution, notée \alpha, appartenant à l'intervalle [1 ; 2].

3. Donner la valeur approchée arrondie au centième de cette solution.

Feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie
bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française juin 2009 - terminale : image 1




EXERCICE 1



1. P(z)=z^3-7z^2+20z-24

a. Calculons P(3) :

P(3)= 3^3-7\times 3^2+20\times 3-24=27-63+60-24=87-87=0

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Nous avons bien : }\textcolor{blue}{P(3)=0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


b. Détermination des réels \alpha et \beta

Posons :

P(z)=z^3-7z^2+20z-24=(z-3)(z^2+\alpha z+\beta)

Nous avons :
(z-3)(z^2+\alpha z+\beta)=z^3+z^2(\alpha-3)+z(\beta-3\alpha)-3\beta

\forall z\in \mathbb {C} \quad , \quad z^3-7z^2+20z-24=z^3+z^2(\alpha-3)+z(\beta-3\alpha)-3\beta

On identifie :

 \left\lbrace\begin{array}l\alpha-3=-7 \\ \beta-3\alpha=20\\ -3\beta=-24 \end{array} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l \alpha=-4\\8+12=20 \\ \beta=8 \end{array}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l \alpha=-4 \\ \beta=8 \end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les réels cherchés sont donc }\textcolor{blue}{\alpha=-4}\textcolor{blue}{\text { et }}\textcolor{blue}{\beta=8}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


c. Résoudre P(z)=0

P(z)=0\Longleftrightarrow (z-3)(z^2-4z+8)=0

Une première solution connue est z=3

Résolvons z^2+4z+8=0

\Delta=4^2-4\times 1\times 8=16-32=-16=(4i)^2

\left\lbrace\begin{array}l z=\dfrac{4+4i}{2}=2+2i\\\text{ou}\\ z=\dfrac{4-4i}{2}=2-2i\end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'ensemble des solutions est : }\textcolor{blue}{\mathcal {S}=\lbrace 3\;;\;2-2i\;;\;2+2i\rbrace}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


2. a=3,b=2+2i,c=2-2i

a. Placement des points A,B et C.

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française juin 2009 - terminale : image 5



b. Module et argument du nombre b.

b=2+2i=2(1+i)=2\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}})=2\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2\sqrt{2}(cos\dfrac{\pi}{4}+isin\dfrac{\pi}{4})=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}

\boxed{\textcolor{blue}{b\text{ a donc pour module }\textcolor{blue}{\mid b\mid=2\sqrt{2}}\textcolor{blue}{\text { et pour argument }}\textcolor{blue}{\theta_b=\dfrac{\pi}{4}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


c. Module et argument du nombre c.

c=2-2i=\overline{b}

\boxed{\textcolor{blue}{c\text{ a donc pour module }\textcolor{blue}{\mid c\mid=2\sqrt{2}}\textcolor{blue}{\text { et pour argument }}\textcolor{blue}{\theta_c=-\dfrac{\pi}{4}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


d. Nature du triangle OBC .

On a vu aux questions b et c que :

\mid b\mid=\mid c\mid=2\sqrt{2}

0 étant l'origine du repère, on a donc OB=OC

\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)= \left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{u}\right)+ \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{2}

\boxed{\textcolor{blue}{OBC\text{ est donc un }\textcolor{blue}{\text{triangle isocèle rectangle en 0}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


3. \mathcal{E} est l'ensemble des points M d'affixe z tel que \mid z-3\mid=\sqrt{5}

a. Montrons que B et C appartiennent à \mathcal{E}

\mid z_B-3\mid=\mid 2+2i-3\mid=\mid -1+2i\mid=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\\\\mid z_C-3\mid=\mid 2-2i-3\mid=\mid -1-2i\mid=\sqrt{5}

\boxed{\textcolor{blue}{\mid z_B-3\mid=\mid z_C-3\mid=\sqrt{5}\text{, donc }\textcolor{blue}{B\in\mathcal{E} }\textcolor{blue}{\text{ et }}\textcolor{blue}{C\in\mathcal{E} }\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


b. Nature de l'ensemble \mathcal{E}

\mid z-3\mid=\sqrt{5}\Longleftrightarrow AM=\sqrt{5}

Donc \mathcal{E} est le cercle \Mathcal{C} de rayon \sqrt{5} et de centre A .

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc }}\textcolor{blue}{\mathcal{E} =\mathcal{C}(A,\sqrt{5})}}

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EXERCICE 2


1. L'ensemble \Omega de tous les résultats possibles est le suivant.

\boxed{\textcolor{blue}{\Omega=\lbrace (0;B),(0;J),(0;R),(5;B),(5;J),(5;R),(10;B),(10;J),(10;R)\rbrace}}


2. Les valeurs prises par X sont : \boxed{\textcolor{blue}{\lbrace -5 ; 0 ; 5 ; 10 ; 25\rbrace}}


3. La loi de probabilité de la variable X est la suivante :

Il y a 9 cas possibles (cf 1. ), il suffit de compter le nombre de cas favorables dans chacun des cas.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \cellcolor{blue!25}x_i&\cellcolor{blue!25}-5&\cellcolor{blue!25}0&\cellcolor{blue!25}5&\cellcolor{blue!25}10&\cellcolor{blue!25}25\\ \hline \cellcolor{blue!25}p(X=x_i)& \color{blue} 5/9 & \color{blue}1/9 & \color{blue}1/9 & \color{blue}1/9 & \color{blue}1/9\\ \hline \end{tabular}

Une autre organisation possible est de construire un arbre, mais dans le cas présent, cela était beaucoup plus long.

Chaque gain dans l'arbre ci-dessous possède la probabilité suivante de \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}

Par exemple, la probabilité que la boule numérotée 5 sorte au premier tirage (événement B5) est :

p(B5)=\dfrac{1}{3}

La probabilité que la boule rouge sorte au deuxième tirage (événement BR) est :

p(BR)=\dfrac{1}{3}

Donc la probabilité que la boule numérotée 5 sorte au premier tirage et que la boule rouge sorte au deuxième tirage est :

p(B5-BR)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}=p(10\text{ euros})

Illustration :
bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française juin 2009 - terminale : image 6



4. Espérance mathématique de la variable X

E(X)=\Sump p_i\times x_i=-5\times \dfrac{5}{9}+0\times \dfrac{1}{9}+5\times \dfrac{1}{9}+0\times \dfrac{1}{9}+25\times \dfrac{1}{9}=-\cancel{\dfrac{25}{9}}+0+\dfrac{5}{9}+\dfrac{10}{9}+\cancel{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'espérance de gain est donc : }\textcolor{blue}{E(X)=\dfrac{5}{3}}\textcolor{blue}{\text{ (euros).}}}}


5. Lorsqu'on joue une seule fois, l'espérance de gain est de \dfrac{5}{3} d'euros, soit une valeur strictement positive.
S'il effectue un grand nombre de parties, le joueur peut espérer gagner un peu d'argent (quant à dire devenir riche !...)

PROBLEME


Partie A

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g(x)=e^{x^3-x-5}


1. Détermination de g'(x)

g est de la forme e^{U} avec U(x)=x^3-x-5. La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} comme composée de fonctions dérivables sur \mathbb{R} .

g'(x)=U'(x)\times e^{U(x)}=(3x^2-1)e^{x^3-x-5}

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in\mathbb{\R},\text{ }\textcolor{blue}{g'(x)=(3x^2-1)e^{x^3-x-5}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


2. Signe de P(x)=3x^2-1

P(x)=0\Longleftrightarrow 3x^2-1=0\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{1}{3}\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}

P est un polynôme du second degré, qui est du signe du coefficient de x^2, c'est à dire positif, à l'extérieur des racines.

\checkmark\textcolor{blue}{\forall x\in\left]-\infty,-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3},+\infty\right[\;,P(x)\ge 0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}
\checkmark\textcolor{blue}{\forall x\in\left]-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\;;\;\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[\;,P(x)< 0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}



3. On sait que sur R , une exponentielle est toujours strictement positive.

donc : \forall x\in\mathbb{\R}, e^{x^3-x-5}>0

Or g'(x)=(3x^2-1)e^{x^3-x-5}=P(x)\times e^{x^3-x-5}\text{  donc  } g '(x) \text{ a le même signe que }P(x).

\boxed{\textcolor{blue}{P(x)\text{ et }g'(x)\text{ sont de même signe}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


4. Tableau de variations de g

\begin{array}{|c||ccccccc|}\hline x&-\infty&&-\frac{\sqrt{3}}{3}&&+\frac{\sqrt{3}}{3}&&+\infty \\\hline{g'(x)}& &+&0&-&0&+& \\\hline{g}&\textcolor{red}{_{0}}&\nearrow&^{g(-\frac{\sqrt{3}}{3})}&\searrow&_{g(\frac{\sqrt{3}}{3})}&\nearrow&\textcolor{red}{^{+\infty}}&\hline\end{array}

g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})=e^{(\frac{\sqrt{3}}{3})^3-\frac{\sqrt{3}}{3}-5}=e^{\frac{3\sqrt{3}}{27}-\frac{\sqrt{3}}{3}-5}=e^{\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{3\sqrt{3-}}{9}-5}=e^{-\frac{45+2\sqrt{3}}{9}}\approx 0,0046

g(-\dfrac{\sqrt{3}}{3})=e^{(-\frac{\sqrt{3}}{3})^3+\frac{\sqrt{3}}{3}-5}=e^{-\frac{3\sqrt{3}}{27}+\frac{\sqrt{3}}{3}-5}=e^{\frac{-\sqrt{3}}{9}+\frac{3\sqrt{3}}{9}-5}=e^{\frac{-45+2\sqrt{3}}{9}}\approx 0,0099

Les valeurs en rouge dans le tableau ne sont pas demandées.



Calcul des limites : (non demandé)

 \text{Limite en }+\infty
x^3-x-5=x^3(1-\dfrac{1}{x^2})-5 \text{ donc }\lim\limits_{x\to +\infty}(x^3-x-5)=\lim\limits_{x\to +\infty}x^3(1-\dfrac{1}{x^2})-5 =+\infty \text{ et }\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty
\text{Limite en }-\infty
En utilisant la même factorisation du polynôme, \lim\limits_{x\to -\infty}(x^3-x-5)=\lim\limits_{x\to +\infty}x^3(1-\dfrac{1}{x^2})-5 =-\infty\text{ et } \lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=0


5. Variations de g suggérées par le dessin

À la vue du dessin on peut penser que le fonction est croissante, ce qui est faux comme démontré à la question 4. Ceci est dû à l'échelle choisie qui ne permet pas de voir la décroissance de la fonction sur l'intervalle.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{À la vue du dessin, on peut penser que la fonction }g\text{ est croissante}}}


Partie B

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\forall x\in]0,+\infty[,\text{ }f(x)=-x\ln x+\dfrac{1}{3}x+1

1. Variations de f

a. Calcul de f'(x)

La fonction f est dérivable sur ]0,+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables sur ]0,+\infty[.

f'(x)=-\ln x-x\times\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=-\ln x-1+\dfrac{1}{3}=-\ln x-\dfrac{2}{3}

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in]0,+\infty[\text{, }f'(x)=-\ln x-\dfrac{2}{3}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


b. Résolution de f'(x)>0

f'(x)>0\Longleftrightarrow -\ln x-\dfrac{2}{3}>0\Longleftrightarrow \ln x+\dfrac{2}{3}<0\Longleftrightarrow x<e^{-\frac{2}{3}}

\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)>0\Longleftrightarrow 0<x<e^{-\frac{2}{3}}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


c. Tableau de variations de f

\begin{array}{|c||cccccc|}\hline x&0&&e^{-\frac{2}{3}}&&+\infty& \\\hline{f'(x)}& &+&0&-&& \\\hline{f}&_{\textcolor{red}{1}}&\nearrow&^{1+e^{-\frac{2}{3}}}&\searrow&_{\textcolor{red}{-\infty}}&&\hline\end{array}

. f(e^{-\frac{2}{3}})=-e^{-\frac{2}{3}}\times \ln (e^{-\frac{2}{3}})+\dfrac{1}{3}\times e^{-\frac{2}{3}}+1=-e^{-\frac{2}{3}}\times (-\frac{2}{3})+\dfrac{1}{3}\times e^{-\frac{2}{3}}+1=(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})e^{-\frac{2}{3}}+1=1+e^{-\frac{2}{3}}\approx 1,51

Les valeurs en rouge dans le tableau ne sont pas demandées.


Calcul des limites : (non demandé)

\text{En }+\infty
-x\ln x +\dfrac{1}{3}x+1=x(-\ln x +\dfrac{1}{3})+1\text{ donc }\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty
\text{En }0^+
\lim\limits_{x\to 0^+}-x\ln x=0\text{ donc } \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=1


2. Calcul d'une aire

a. Partie du plan comprise entre les droites d'équation x=1 et x=2 , l'axe des abscisses et \Gamma

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française juin 2009 - terminale : image 4



b. H la fonction définie sur ]0,+\infty[ par H(x)=x^2\ln x-\dfrac{x^2}{2}

La fonction H est dérivable sur ]0,+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables sur ]0,+\infty[.

H'(x)=2x\lnx+x^{\cancel{2}}\times\dfrac{1}{\cancel{x}}-\dfrac{1}{\cancel{2}}\times \cancel{2}x=2x\ln x

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x \in ]0,+\infty[ \;,\;H'(x)=2x\ln x}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


Soit F une primitive de f

On constate que :

x\ln x=\dfrac{1}{2}H'(x)

donc une primitive  F \text{ de } f \text{ sur }]0,+\infty[ peut être définie par :

 F(x)=-\dfrac{1}{2}H(x)+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}x^2+x=-\dfrac{1}{2}(x^2\ln x-\dfrac{x^2}{2})+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}x^2+x=-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{5}{12}x^2+x



\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une primitive de }f\text{ peut être définie sur  }]0,+\infty[\text{ par }\textcolor{blue}{F(x)=-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{5}{12}x^2+x}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


c. Calcul de l'aire hachurée

La fonction f ne prend que des valeurs positives pour x \text{ dans } [1\,;\,2]

La valeur de l'aire hachurée est égale à l'intégrale suivante :

\displaystyle\int_1^2f(x)dx=F(2)-F(1)=\left[-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{5}{12}x^2+x\right]_1^2=-2\ln 2+\dfrac{5}{3}+2+0-\dfrac{5}{12}-1=\dfrac{9}{4}-2\ln 2(\approx 0,86)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'aire hachurée est égale à }\dfrac{9}{4}-2\ln 2\text{ unité d'aire}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


Partie C

Partager :

h(x)=g(x)-f(x)\text{ sur }[1,2]

1. h'(x)=g'(x)-f'(x)

\forall x\in[1,2],g'(x)>0

\forall x\in[1,2],f'(x)<0 \text{ donc }-f'(x)>0

La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive, et on en déduit : \forall x\in[1,2],h'(x) > 0

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[1,2],h'(x)>0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


2. Sur [1 ; 2], la fonction h est dérivable.

\forall x\in[1,2],h'(x)>0 donc h est strictement croissante sur l'intervalle [1,2]

h(1)=g(1)-f(1)=e^{-5}-\dfrac{4}{3}\approx -1,33<0

h(2)=g(2)-f(2)=e+2\ln 2-\dfrac{5}{3}\approx 2,44>0

La fonction h croît strictement d'une valeur strictement négative h(1) à une valeur strictement positive h(2), il existe donc un unique \alpha tel que :

1\leq\alpha\leq2 et h(\alpha)=0

\boxed{\textcolor {blue}{ \text { Il existe donc un unique }}\textcolor {blue} \alpha \textcolor {blue}{\text { dans }[1\;;\;2]\textcolor {blue}{ \text { tel que } }\textcolor {blue}{h(\alpha)=0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


3. Valeur approchée de \alpha (au centième)

À l'aide de la calculatrice : f(1,831)\approx -0,0025 \text{ et } f(1,832)\approx 0,033

\boxed{\textcolor{blue}{h(x)=0\text{ pour }\textcolor{blue}{\alpha\approx 1,83}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}
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