Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Antilles - Guyane - Session Juin 2009

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.

8 points

exercice 1

Parmi les 90 élèves de la section STI Arts appliqués d'un lycée :
    90 % aiment dessiner
    80 % aiment réaliser des maquettes
    Parmi ceux qui n'aiment pas dessiner les 2/3 aiment réaliser des maquettes

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant :

	Aiment dessiner	N'aiment pas dessiner	Total
Aiment réaliser des maquettes
N'aiment pas réaliser des maquettes
Total			90

Dans tout l'exercice, donner les probabilités sous forme de fraction irréductible puis en donner l'arrondi à 10^-3.

2. Parmi les 90 élèves de la section on choisit un élève au hasard.
On note $D$ l'évènement : « l'élève choisi aime dessiner ».
On note $M$ l'évènement: « l'élève choisi aime réaliser des maquettes ».
a) Exprimer à l'aide d'une phrase chacun des évènements $D \cap M$ , $\overline{D}$ et $\overline{D} \cap \overline{M}$ .
b) Déterminer la probabilité de chacun de ces trois évènements.

3. Parmi les élèves qui aiment dessiner, on choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité que cet élève aime réaliser des maquettes ?

4. On choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu'il aime dessiner ou réaliser des maquettes ?

12 points

probleme

1. Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par $f(x) = 4x + 1 - \text{e}^x$ .
    a) On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Déterminer l'expression de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
    b) Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
    c) Déterminer $f(0)$ , $f(\ln(4))$ et $f(2)$ (valeurs exactes puis valeurs arrondies à 10^-3).
    d) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].

2. Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par $g(x) = \ln (2x + 1)$ .     a) On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ . Déterminer l'expression de $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
    b) Démontrer que $g'(x) > 0$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
    c) Déterminer $g(0)$ et $g(2)$ , on donnera les valeurs exactes puis les valeurs arrondies à 10^-3.
    d) Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l' intervalle [0 ; 2].

3. Le plan est muni d'un repère orthononnal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 5 cm.
L'origine de ce repère sera placée dans le coin en bas à gauche de la feuille millimétrée.
Tracer sur le même dessin les représentations graphiques $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$ .

4. a) Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].
En déduire la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\text{I} = \int_{0}^2 f(x) \text{d}x$ .
    b) Vérifier que la fonction $G$ définie par $G(x) = \left( x + \dfrac{1}{2}\right)\ln( 2x + 1) - x$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0 ; 2].
En déduire la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\text{J} = \int_{0}^2 g(x) \text{d}x$ .
    c) On admet que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ .
Donner en unités d'aires la valeur exacte de l'aire de la portion de plan délimitée par les deux courbes tracées et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$ , puis en donner la valeur en cm² arrondie à 10^-2.

Voir la correction

exercice

1. Tableau des effectifs :

	Aiment dessiner	N'aiment pas dessiner	Total
Aiment réaliser des maquettes	66	6	72
N'aiment pas réaliser des maquettes	15	3	18
Total	81	9	90

2. a) Événement $D \cap M$ : élève choisi qui aime dessiner ET aime réaliser des maquettes
Événement $\overline{D}$ : élève choisi qui n'aime pas dessiner
Événement $\overline{D} \cap \overline{M}$ : élève choisi qui n'aime pas dessiner ET qui n'aime pas réaliser des maquettes
2. b) L'univers considéré est représenté par les 90 élèves de la section Arts Appliqués
A l'aide du tableau des effectifs de la question 1., les probabilités demandées se déterminent ainsi :
$p(D \cap M) = \dfrac{66}{90} = \dfrac{11}{15} \approx 0.733$
$p(\overline{D}) = \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{10} = 0.100$
$p(\overline{D} \cap \overline{M}) = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30} \approx 0.033$

3. Il s'agit ici de déterminer la probabilité de choisir un élève aimant réaliser des maquettes, SACHANT QU'il aime dessiner.
Soit p(D) la probabilité qu'un élève aime dessiner ; le tableau des effectifs de la question 1. indique que $p(D) = \dfrac{81}{90} = \dfrac{9}{10}$
La probabilité cherchée est donc : $\displaystyle \dfrac{p(D \cap M)}{p(D)} = \dfrac{\frac{11}{15}}{\frac{9}{10}} = \dfrac{11}{15}\times\dfrac{10}{9} = \dfrac{22}{27} \approx 0.815$
Noter qu'on aurait pu obtenir le résultat direct du tableau de la question 1., en posant $\dfrac{66}{81}$ , mais la méthode exposée ci-dessus décompose bien la démarche du raisonnement à tenir par la calcul des probabilités conditionnelles.

4. Il s'agit ici de déterminer la probabilité de l'événement $D \cup M$ , c'est-à-dire l'événement CONTRAIRE de $(\overline{D}\cap\overline{M})$ dont on a déterminé la probabilité à ma question 2..
on a donc : $\displaystyle p(D\cup M) = 1-p(\overline{D}\cap\overline{M}) = 1-\dfrac{1}{30} \approx 1-0.033 \approx 0.967$
C'est la cas de l'élève qui aime dessiner OU faire des maquettes (OU faire les deux); il est donc le CONTRAIRE de celui qui n'aime NI dessiner NI faire des maquettes

probleme

Pour l'ensemble du problème, on pose K=[0;2]

1. a) f est la somme de 3 fonctions dérivables sur K, donc f' est la somme des fonctions dérivées premières des 3 fonctions termes de f(x).
soit $f'(x) = 4 - e^x$

1. b) $f'(x)>0 \Leftrightarrow 4-e^x>0 \Leftrightarrow e^x<4 \Leftrightarrow \ln e^x < \ln 4 \Leftrightarrow x < \ln 4$
avec $\ln 4 \in K$
Donc : f'(x) > 0 pour x $\in$ [0; ln 4[
f'(x) $\le$ 0 pour x $\in$ [ln 4;2]

1. c) $f(0) = 1-e^0 = 0$
$f(\ln 4) = 4 \ln 4 + 1- e^{\ln4} = 4 \ln 4 +1-4 = 4 \ln4 - 3 \approx 2.545$
$f(2) = 9 - e^2 \approx 1.611$

1. d)Tableau de variations de f sur K :
$\begin{tabvar}{|c|cccccccccccc|} \hline x&0&&&\ln4&&&&&&&&2\\ \hline f'(x)&3&&+&0&-&&&&&&&4-e^2\\ \hline f(x)&\niveau{3}{3}0&\croit&&\niveau{2}{3}4\ln4-3&\decroit&&&&&&\niveau{1}{3}&9-e^2\\ \hline \end{tabvar}$

2. a) $g$ est la composée de $g_1(x)=2x+1=X$ et $g_2(X)=\ln(X)$
Donc, $g(x) = (g_2 o g_1)(x) = g_2[g_1(x)]$
Donc $g'(x) = g'_2[g_1(x)].g'_1(x)$
Soit $g'(x) = \dfrac{1}{2x+1}\times 2 = \dfrac{2}{2x+1}$ .

2. b) $g'$ est partout définie sur K.
$\forall x \in$ K, $2x+1$ >0; par conséquent,
$\forall x \in$ K, $g'(x)$ > 0

2. c) g(0) = ln(1) = 0
g(2) = ln(5) $\approx$ 1.609

2. d)Tableau de variations de $g$ sur K : $\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCC|} \hline x&0&&&&&&&2\\ \hline g'(x)&2&&&+&&&&\dfrac{2}{5}\\ \hline g(x)&\niveau{1}{3}0&&\croit&&&&&\niveau{3}{3}\ln 5\\ \hline \end{tabvar}$

3.

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane 2009 - terminale : image 1

4. a) sachant que $f(x)=4x+1-e^x$ , on a
$F(x)=2x^2+x-e^x+\text{Cte}$
On en déduit que $\text{I}=[2x^2+x-e^x]^2_0$
soit $\text{I}=11-e^2$

4. b) On pose $G(x)=u(x).v(x)-x$ , avec $u(x)=x+\dfrac{1}{2} ; v(x)=\ln(2x+1)$
On a $G'(x)=u'(x).v(x)+u(x).v'(x)-1$ , avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2x+1}\times 2$
soit $G'(x)=\ln(2x+1)+\left[2.\left(x+\dfrac{1}{2}\right).\left(\dfrac{1}{2x+1}\right)\right]-1=\ln(2x+1)+1-1=g(x)$
On a donc bien $G'(x)=g(x)$ , donc $G$ est une primitive de $g$ sur [0;2]
Il vient : $\text{J}=\left[x+\dfrac{1}{2}.\ln(2x+1)-x\right]^2_0 = \left(\left(\dfrac{5}{2}\times \ln5\right) -2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\times \ln1\right)=\dfrac{5.\ln5 - 4}{2}$
(ln 1 = 0, donc le 2ème terme du calcul est nul)

4. c)Entre les points d'abscisse $x=0$ et $x=2$ , le graphique de la question 3. met en évidence que $f(x)$ et $g(x)$ sont à valeurs positives.
L'aire du domaine cherché s'obtient donc directement en unités d'aires par le calcule de
$\displaystyle \int_0^2(f(x)-g(x)).dx=\int_0^2f(x).dx-\int_0^2g(x).dx=\text{I}-\text{J}=11-e^2-\left(\dfrac{5 \ln5-4}{2}\right)$
Comme une unité d'aire vaut 25 cm², la portion de plan hachurée sur la graphique a une aire d'environ $25\times(\text{I}-\text{J}) \approx 39.68$ cm² à 10^-2 près.

Publié par TP et ppa correction le 15-05-2010

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