Baccalauréat Technologique
Série Arts Appliqués
Session Septembre 2009 - Métropole
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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient : 2
L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points
exercice
Indiquer si chacune des propositions P1, P2, P3 et P4 suivantes est vraie ou fausse.
Justifiez vos réponses.
1. On considère un jeu de cartes classique de 32 cartes.
On tire au hasard une carte de ce jeu.
On considère les évènements suivants :
: «la carte tirée est un cœur»
: «la carte tirée est un roi»
: «la carte tirée est un cœur ou un roi».
Pour tout évènement , on note sa probabilité.
(P1) La probabilité de l'évènement est :
c'est-à-dire .
2. Le plan est muni d'un repère orthonormal .
On considère la conique d'équation cartésienne : .
(P2) Cette conique est une ellipse dont les foyers sont F et F.
3. On considère la fonction définie sur l'intervalle par: .
(P3) est une primitive de la fonction définie sur l'intervalle par .
4. On considère la fonction définie sur par : .
Sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm est donnée ci-dessous.
(P4) L'aire du domaine délimité par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation est égale à en cm2.
12 points
probleme
Partie A
On a tracé ci-dessous, dans un même repère orthonormal d'origine O, les courbes représentatives des fonctions et définies sur par :
ainsi qu'une droite passant par l'origine O.
1. Attribuer à chaque fonction sa courbe représentative, en justifiant la réponse.
2. Calculer la limite de quand tend vers .
En déduire alors que la courbe représentative de la fonction admet une asymptote oblique et en donner une équation.
Partie B : Étude de la fonction .
1. Calculer les limites de la fonction en et en .
2. Déterminer la fonction dérivée de la fonction puis établir le tableau de variations de la fonction .
3. Indiquer si la fonction admet des extremums sur .
Partie C : Intersection des courbes représentatives de et
On considère la fonction définie sur par : .
1. Vérifier que pour tout réel où désigne la fonction dérivée de la fonction .
2. En utilisant l'étude de la fonction , déterminer pour tout réel le signe de . Donner alors le tableau de variations de la fonction .
Les limites de la fonction en et ne sont pas demandées.
3. Justifier que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de d'amplitude 10-1.
4. Déduire de la question précédente que les deux courbes admettent un unique point d'intersection sur l'intervalle .
Indiquer si chacune des propositions P1, P2, P3 et P4 suivantes est vraie ou fausse.
Justifiez vos réponses.
1. On considère un jeu de cartes classique de 32 cartes.
On tire au hasard une carte de ce jeu.
On considère les évènements suivants :
: «la carte tirée est un cœur»
: «la carte tirée est un roi»
«la carte tirée est un cœur ou un roi».
Pour tout évènement , on note sa probabilité.
La probabilité de l'évènement est
Réponse
Explications
Dans un jeu de 32 cartes, il y a 8 coeurs (dont le roi de coeur), 1 roi de pique, 1 roi de carreau et 1 roi de trèfle, soient 11 cartes concernées par notre probabilité, donc :
2. Le plan est muni d'un repère orthonormal .
On considère la conique d'équation cartésienne : .
Cette conique est une ellipse dont les foyers sont et .
Réponse
Explications
L'équation d'une éllipse de demi-grand axe et de demi-petit axe s'écrit :
et ses foyers et ont pour coordonnées :
On a :
Il s'agit bien de l'équation d'une ellipse.
De plus, on a :
3. On considère la fonction définie sur l'intervalle par : .
est une primitive de la fonction définie sur l'intervalle par .
Réponse
Explications
Si est une primitive de , alors on doit avoir
4. On considère la fonction définie sur par : .
Sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm est donnée ci-dessous.
L'aire du domaine délimité par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation est égale à en cm2.
Réponse
Explications
Donc :
L'aire considérée est représentée en rouge ombré dans la figure ci-dessous :
PROBLEME
Partie A
On a tracé ci-dessous, dans un même repère orthonormal d'origine , les courbes représentatives des fonctions et définies sur par :
ainsi qu'une droite passant par l'origine .
1. Attribuer à chaque fonction sa courbe représentative, en justifiant la réponse.
.
.
On a donc :
2. Calculer la limite de quand tend vers .
En déduire alors que la courbe représentative de la fonction admet une asymptote oblique et en donner une équation.
Calcul de la limite
On a donc :
Asymptote
On a :
A noter que la limite obtenue étant par valeur inférieure (), la courbe représentative de la fonction sera sous l'asymptote.
Partie B : Etude de la fonction
1. Calculer les limites de la fonction en et en .
2. Déterminer la fonction dérivée de la fonction puis établir le tableau de variations de la fonction .
Calcul de la dérivée
La fonction est dérivable sur comme somme et produit de fonctions dérivables sur .
est de la forme avec et
Donc :
Tableau de variations
3. Indiquer si la fonction admet des extremums sur .
La dérivée s'annule en et on a .
Pour donc est croissante.
Pour donc est décroissante.
Partie C : Intersection des courbes représentatives de et
On considère la fonction définie sur par : .
1. Vérifier que pour tout réel : où désigne la fonction dérivée de la fonction .
On a :
Donc :
Donc :
2. En utilisant l'étude de la fonction , déterminer pour tout réel le signe de . Donner alors le tableau de variations de la fonction .
Les limites de la fonction en et ne sont pas demandées.
Signe
donc
Nous avons donc :
Donc :
Tableau de variations
3. Justifier que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de d'amplitude .
Justification
est strictement croissante sur et on a :
Sur l'intervalle , la fonction passe des valeurs négatives ( ) aux valeurs positives ( ), il existe donc tel que .
De plus, sur , la fonction est strictement croissante, la valeur telle que est unique.
Représentation graphique (non demandé)
Encadrement
On a :
On procède par dichotomie (voir figure non demandée ci-dessous) :`
La méthode consiste à prendre la valeur au milieu d'un intervalle considéré auquel appartient : nous avons donc .
On étudie ensuite le signe de - si , alors on considère le nouvel intervalle - si , alors on considère le nouvel intervalle
En premier lieu, nous allons prendre la valeur du milieu de l'intervalle avec , puis d'étudier le signe de :
On répète ensuite l'opération jusqu'à encadrer la valeur dans l'intervalle souhaité.
Nous avons donc :
Soit l'encadrement d'amplitude suivant :
4. Déduire de la question précédente que les deux courbes admettent un unique point d'intersection sur l'intervalle .
Intersection des deux courbes
Nous venons de voir qu'il existe unique tel que , donc :
Représentation graphique (non demandé)
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: «la carte tirée est un cœur»
: «la carte tirée est un roi»
: «la carte tirée est un cœur ou un roi».
, on note )
sa probabilité.
 = p(C) + p(R) = \dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32} = \dfrac{12}{32})
c'est-à-dire  = \dfrac{3}{8})
.
)
.
.
)
et F)
.
définie sur l'intervalle ![] 0 ; + \infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?] 0 ; + \infty[)
par:  = 5 - x + x \ln (x))
.
définie sur l'intervalle ![]0 ; + \infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ; + \infty[)
par  = \ln (x))
.
par :  = x^2 - 2 x + 2)
.
dans un repère orthonormal 
est égale à 
en cm2.
définies sur  = x - \text{e}^x \quad \text{et} \quad g(x) = (1 - x)\text{e}^x)
passant par l'origine O.
 - x)
quand 
tend vers 
.
.
de la fonction 
définie sur  = f(x) - g(x))
.
 = 1 - g(x))
où 
désigne la fonction dérivée de la fonction )
. Donner alors le tableau de variations de la fonction  = 0)
admet une unique solution 
dans l'intervalle ![]1 ; 2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1 ; 2[)
.
«la carte tirée est un cœur ou un roi».
})
La probabilité de l'évènement =\frac{3}{8})
}\textcolor{blue}{\text{ est fausse.}}}})
=\frac{11}{32}}}})
)
.
.
})
Cette conique est une ellipse dont les foyers sont )
et )
.
}\textcolor{blue}{\text{ est vraie.}}}})
et de demi-petit axe 
s'écrit :
ont pour coordonnées :
 \\ F'(-c,0) \end{array}\text{ avec }c=\sqrt{a^2-b^2})
 \\ F'(-2\sqrt{3},0) \end{array}}}})
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
par : =5-x+xln(x))
.
})
=ln(x))
.
}\textcolor{blue}{\text{ est vraie.}}}})
=f(x))
=\underbrace{0-1}_{(5-x)'}+\underbrace{1\times ln(x)+x\times\frac{1}{x}}_{(xln(x))'}=-\cancel{1}+ln(x)+\cancel{1}=ln(x)=f(x))
=f(x),F\text{ est bien une primitive de }f.}})
=x^2-2x+2)
.
})
L'aire du domaine délimité par la courbe 
est égale à 
en cm2.
}\textcolor{blue}{\text{ est vraie.}}}})
![I=\int_0^2f(x)dx=\int_0^2(x^2-2x+2)dx=[\frac{x^3}{3}-\cancel{2}\frac{x^2}{\cancel{2}}+2x]_0^2=\frac{2^3}{3}-2^2+2\times 2-0=\frac{8}{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I=\int_0^2f(x)dx=\int_0^2(x^2-2x+2)dx=[\frac{x^3}{3}-\cancel{2}\frac{x^2}{\cancel{2}}+2x]_0^2=\frac{2^3}{3}-2^2+2\times 2-0=\frac{8}{3})
dx=\frac{8}{3}}})
=x-e^x\text{ et }g(x)=(1-x)e^x)
.
=0-e^0=-1\text{, le point de coordonnées }(0,-1)\text{ appartient donc à la courbe de }f)
.
=(1-0)e^0=1\text{, le point de coordonnées }(0,1)\text{ appartient donc à la courbe de }g)
.
-x)
quand 
.
-x)=\lim\limits_{x\to -\infty}(\cancel{x}-e^x-\cancel{x})=\underbrace{\lim\limits_{X\to +\infty}-e^{-X}}_{\text{En posant }X=-x}=\lim\limits_{X\to +\infty}-\frac{1}{e^X}=0^-)
-x)=0^-}}})
-x)=0)
), la courbe représentative de la fonction 
.
=\lim\limits_{x\to -\infty}(1-x)e^x=\underbrace{\lim\limits_{X\to +\infty}\frac{1+X}{e^X}}_{\text{En posant }X=-x}=0^+)
=\lim\limits_{x\to +\infty}(\underbrace{1-x}_{\to -\infty})e^x=-\infty)
=0^+\text{ et }\lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=-\infty}})
![]-\infty,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty,+\infty[ )
comme somme et produit de fonctions dérivables sur 
avec 
et 
=\underbrace{(-1)\times e^x}_{u'\times v}+\underbrace{(1-x)e^x}_{u\times v'}=-\cancel{e^x}-xe^x+\cancel{e^x})
=-xe^x}})
=0\Longleftrightarrow xe^x=0\Longleftrightarrow x=0)
&&+&0&-& \\\hline g&_0&\nearrow&^1&\searrow&_{-\infty}&\hline\end{array}})
et on a =1)
.
>0)
donc <0)
donc }})
=f(x)-g(x))
.
=1-g(x))
où =f(x)-g(x)=x-e^x-(1-x)e^x=x-e^x-1+xe^x=x-(2-x)e^x=x+(x-2)e^x)
![h'(x)=1-[-e^x+(2-x)e^x]=1+e^x-2e^x+xe^x=1+e^x(x-1)=1-e^x(1-x)=1-g(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h'(x)=1-[-e^x+(2-x)e^x]=1+e^x-2e^x+xe^x=1+e^x(x-1)=1-e^x(1-x)=1-g(x))
=1-g(x)}})
=1-g(0)=1-1=0)
<1\Longrightarrow 1-g(x)>0\Longrightarrow h'(x)>0\text{ : }h\text{ strictement croissante})
=0\text{ : }h\text{ possède un taux d'accroissement nul en ce point d'abscisse }x=0)
<1\Longrightarrow 1-g(x)>0\Longrightarrow h'(x)>0\text{ : }h\text{ strictement croissante})
\geq 0}})
&&+&0&-& \\\hline h&_{-\infty}&\nearrow&-2&\nearrow&^{+\infty}&\hline\end{array}})
=0)
admet une unique solution ![]1,2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,2[)
.
.
=f(1)-g(1)=1-e-0=1-e<0)
=2-e^2-(1-2)e^2=e^2+1>0)
<0)
) aux valeurs positives ( >0)
), il existe donc =0)
.
![\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il existe donc }\alpha\in]1,2[\text{ unique tel que }h(\alpha)=0}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il existe donc }\alpha\in]1,2[\text{ unique tel que }h(\alpha)=0}})
![\left\lbrace\begin{array}l x\in ]1,\alpha[,h(x)<0 \\ x\in ]\alpha,2[,h(x)>0 \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{array}l x\in ]1,\alpha[,h(x)<0 \\ x\in ]\alpha,2[,h(x)>0 \end{array})
)
la valeur au milieu d'un intervalle considéré ![]a,b[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]a,b[)
auquel appartient 
.
)
>0)
, alors on considère le nouvel intervalle ![]a,x_n[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]a,x_n[)
<0)
, alors on considère le nouvel intervalle ![]x_n,b[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]x_n,b[)
la valeur du milieu de l'intervalle 
, puis d'étudier le signe de =h(\frac{3}{2}))
:
![\text{. }1<\alpha<2\Longrightarrow x_0=\frac{3}{2}\Longrightarrow h(\frac{3}{2})\approx -3,74<0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{3}{2},2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{. }1<\alpha<2\Longrightarrow x_0=\frac{3}{2}\Longrightarrow h(\frac{3}{2})\approx -3,74<0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{3}{2},2[)
![\text{. }\frac{3}{2}<\alpha<2\Longrightarrow x_1=\frac{7}{4}\Longrightarrow h(\frac{7}{4})\approx 0,31>0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{3}{2},\frac{7}{4}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{. }\frac{3}{2}<\alpha<2\Longrightarrow x_1=\frac{7}{4}\Longrightarrow h(\frac{7}{4})\approx 0,31>0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{3}{2},\frac{7}{4}[)
![\text{. }\frac{3}{2}<\alpha<\frac{7}{4}\Longrightarrow x_2=\frac{13}{8}\Longrightarrow h(\frac{13}{8})\approx -0,30<0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{13}{8},\frac{7}{4}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{. }\frac{3}{2}<\alpha<\frac{7}{4}\Longrightarrow x_2=\frac{13}{8}\Longrightarrow h(\frac{13}{8})\approx -0,30<0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{13}{8},\frac{7}{4}[)
![\text{. }\frac{13}{8}<\alpha<\frac{7}{4}\Longrightarrow x_3=\frac{27}{16}\Longrightarrow h(\frac{27}{16})\approx -0,0019<0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{27}{16},\frac{7}{4}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{. }\frac{13}{8}<\alpha<\frac{7}{4}\Longrightarrow x_3=\frac{27}{16}\Longrightarrow h(\frac{27}{16})\approx -0,0019<0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{27}{16},\frac{7}{4}[)
suivant : 
![\alpha\in]1,2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha\in]1,2[)
unique tel que =0\Longleftrightarrow f(\alpha)-g(\alpha)=0\Longleftrightarrow f(\alpha)=g(\alpha))
![\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les deux courbes de }f\text{ et de }g\text{ admettent donc un point d'intersection unique d'abscisse }x=\alpha\text{ sur }]1,2[.}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les deux courbes de }f\text{ et de }g\text{ admettent donc un point d'intersection unique d'abscisse }x=\alpha\text{ sur }]1,2[.}})
