Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Arts Appliqués
Session Septembre 2009 - Métropole

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient : 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points

exercice

Indiquer si chacune des propositions P1, P2, P3 et P4 suivantes est vraie ou fausse.
Justifiez vos réponses.

1. On considère un jeu de cartes classique de 32 cartes.
On tire au hasard une carte de ce jeu.
On considère les évènements suivants :
C : «la carte tirée est un cœur»
R : «la carte tirée est un roi»
C \cup R : «la carte tirée est un cœur ou un roi».
Pour tout évènement X, on note p(X) sa probabilité.
(P1) La probabilité de l'évènement C \cup R est :
p(C \cup R) = p(C) + p(R) = \dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32} = \dfrac{12}{32} c'est-à-dire p(C \cup R) = \dfrac{3}{8}.

2. Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}).
On considère la conique d'équation cartésienne : x^2 + 4 y^2 = 16.
(P2) Cette conique est une ellipse dont les foyers sont F\left(2\sqrt{3} ;  0\right) et F'\left(-2\sqrt{3} ; 0\right).

3. On considère la fonction F définie sur l'intervalle ] 0 ;  + \infty[ par: F(x) = 5 - x + x \ln (x).
(P3) F est une primitive de la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + \infty[ par f(x) = \ln (x).

4. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = x^2 - 2 x + 2.
Sa courbe représentative \mathcal{C} dans un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 1 cm est donnée ci-dessous.
(P4) L'aire du domaine délimité par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 2 est égale à \dfrac{8}{3} en cm2.


12 points

probleme

Partie A

On a tracé ci-dessous, dans un même repère orthonormal d'origine O, les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par :
f(x) = x - \text{e}^x \quad  \text{et} \quad  g(x) = (1 - x)\text{e}^x
ainsi qu'une droite D passant par l'origine O.
bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2009 - terminale : image 1


1. Attribuer à chaque fonction sa courbe représentative, en justifiant la réponse.

2. Calculer la limite de f(x) - x quand x tend vers - \infty.
En déduire alors que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote oblique et en donner une équation.

Partie B : Étude de la fonction g.

1. Calculer les limites de la fonction g en - \infty et en + \infty.

2. Déterminer la fonction dérivée g' de la fonction g puis établir le tableau de variations de la fonction g.

3. Indiquer si la fonction g admet des extremums sur \mathbb{R}.

Partie C : Intersection des courbes représentatives de f et g

On considère la fonction h définie sur \mathbb{R} par : h(x) = f(x) - g(x).

1. Vérifier que pour tout réel x  : h'(x) = 1 - g(x)h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.

2. En utilisant l'étude de la fonction g, déterminer pour tout x réel le signe de h'(x). Donner alors le tableau de variations de la fonction h.
Les limites de la fonction h en + \infty et - \infty ne sont pas demandées.

3. Justifier que l'équation h (x) = 0 admet une unique solution \alpha dans l'intervalle ]1 ; 2[.
À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de \alpha d'amplitude 10-1.

4. Déduire de la question précédente que les deux courbes admettent un unique point d'intersection sur l'intervalle ]1 ; 2[.




EXERCICE


Indiquer si chacune des propositions P1, P2, P3 et P4 suivantes est vraie ou fausse.
Justifiez vos réponses.

1. On considère un jeu de cartes classique de 32 cartes.
On tire au hasard une carte de ce jeu.
On considère les évènements suivants :
C : «la carte tirée est un cœur»
R : «la carte tirée est un roi»
C\cup R «la carte tirée est un cœur ou un roi».
Pour tout évènement X, on note p(X) sa probabilité.
\textcolor{orange}{(P_1)} La probabilité de l'évènement C\cup R est p(C\cup R)=\frac{3}{8}

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La proposition }\textcolor{orange}{(P_1)}\textcolor{blue}{\text{ est fausse.}}}}

Explications

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 8 coeurs (dont le roi de coeur), 1 roi de pique, 1 roi de carreau et 1 roi de trèfle, soient 11 cartes concernées par notre probabilité, donc :

\boxed{\textcolor{blue}{p(C\cup R)=\frac{11}{32}}}}


2. Le plan est muni d'un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}).
On considère la conique d'équation cartésienne : x^2+4y^2=16 .
\textcolor{orange}{(P_2)} Cette conique est une ellipse dont les foyers sont F:(2\sqrt{3},0) et F':(-2\sqrt{3},0).

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La proposition }\textcolor{orange}{(P_2)}\textcolor{blue}{\text{ est vraie.}}}}

Explications

L'équation d'une éllipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b s'écrit :

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

et ses foyers F et F' ont pour coordonnées :

\left\lbrace\begin{array}l F:(c,0) \\ F'(-c,0) \end{array}\text{ avec }c=\sqrt{a^2-b^2}

On a :

x^2+4y^2=16\Longleftrightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\Longleftrightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{\cancel{4}y^2}{\cancel{4}\times 4}=1\Longleftrightarrow\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1

Il s'agit bien de l'équation d'une ellipse.

De plus, on a :

\left\lbrace\begin{array}l a=4 \\ b=2 \end{array}\Longrightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}

\boxed{\textcolor{blue}{\left\lbrace\begin{array}l F:(2\sqrt{3},0) \\ F'(-2\sqrt{3},0) \end{array}}}}


3. On considère la fonction F définie sur l'intervalle ]0,+\infty[ par : F(x)=5-x+xln(x).
\textcolor{orange}{(P_3)} F est une primitive de la fonction f définie sur l'intervalle ]0,+\infty[ par f(x)=ln(x) .

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La proposition }\textcolor{orange}{(P_3)}\textcolor{blue}{\text{ est vraie.}}}}

Explications

Si F est une primitive de f, alors on doit avoir F'(x)=f(x)

F'(x)=\underbrace{0-1}_{(5-x)'}+\underbrace{1\times ln(x)+x\times\frac{1}{x}}_{(xln(x))'}=-\cancel{1}+ln(x)+\cancel{1}=ln(x)=f(x)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{On a }F'(x)=f(x),F\text{ est bien une primitive de }f.}}


4. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=x^2-2x+2.
Sa courbe représentative C dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 1 cm est donnée ci-dessous.
\textcolor{orange}{(P_4)} L'aire du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=2 est égale à \frac{8}{3} en cm2.

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La proposition }\textcolor{orange}{(P_4)}\textcolor{blue}{\text{ est vraie.}}}}

Explications

I=\int_0^2f(x)dx=\int_0^2(x^2-2x+2)dx=[\frac{x^3}{3}-\cancel{2}\frac{x^2}{\cancel{2}}+2x]_0^2=\frac{2^3}{3}-2^2+2\times 2-0=\frac{8}{3}

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{Aire=\int_0^2f(x)dx=\frac{8}{3}}}

L'aire considérée est représentée en rouge ombré dans la figure ci-dessous :

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2009 - terminale : image 4

PROBLEME

Partie A

On a tracé ci-dessous, dans un même repère orthonormal d'origine (O,\vec{i},\vec{j}), les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par :

f(x)=x-e^x\text{ et }g(x)=(1-x)e^x
ainsi qu'une droite passant par l'origine O.


1. Attribuer à chaque fonction sa courbe représentative, en justifiant la réponse.

f(0)=0-e^0=-1\text{, le point de coordonnées }(0,-1)\text{ appartient donc à la courbe de }f.

g(0)=(1-0)e^0=1\text{, le point de coordonnées }(0,1)\text{ appartient donc à la courbe de }g.

On a donc :

\boxed{\textcolor{blue}{C_f=C_1\text{ et }C_g=C_2}}}
bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2009 - terminale : image 3


2. Calculer la limite de f(x)-x quand x tend vers -\infty.
En déduire alors que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote oblique et en donner une équation.

Calcul de la limite

\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-x)=\lim\limits_{x\to -\infty}(\cancel{x}-e^x-\cancel{x})=\underbrace{\lim\limits_{X\to +\infty}-e^{-X}}_{\text{En posant }X=-x}=\lim\limits_{X\to +\infty}-\frac{1}{e^X}=0^-

On a donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-x)=0^-}}}


Asymptote

On a :

\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-x)=0

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La fonction }f\text{ a donc pour asymptote la droite d'équation }y=x\text{ quand }x\text{ tend vers }-\infty}}}

A noter que la limite obtenue étant par valeur inférieure (0^-), la courbe représentative de la fonction f sera sous l'asymptote.

Partie B : Etude de la fonction g


1. Calculer les limites de la fonction g en -\infty et en +\infty.

\text{. }\lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}(1-x)e^x=\underbrace{\lim\limits_{X\to +\infty}\frac{1+X}{e^X}}_{\text{En posant }X=-x}=0^+

\text{. }\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}(\underbrace{1-x}_{\to -\infty})e^x=-\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les limites rechrchées sont donc }\lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=0^+\text{ et }\lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=-\infty}}


2. Déterminer la fonction dérivée g' de la fonction g puis établir le tableau de variations de la fonction g.

Calcul de la dérivée

La fonction g est dérivable sur ]-\infty,+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables sur ]-\infty,+\infty[ .

g est de la forme g=u\times v avec u=1-x et v=e^x

g'(x)=\underbrace{(-1)\times e^x}_{u'\times v}+\underbrace{(1-x)e^x}_{u\times v'}=-\cancel{e^x}-xe^x+\cancel{e^x}

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{g'(x)=-xe^x}}

Tableau de variations

g'(x)=0\Longleftrightarrow xe^x=0\Longleftrightarrow x=0

\textcolor{blue}{\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-\infty&&0&&+\infty \\\hline g'(x)&&+&0&-& \\\hline g&_0&\nearrow&^1&\searrow&_{-\infty}&\hline\end{array}}


3. Indiquer si la fonction g admet des extremums sur \mathbb{R}.

La dérivée g' s'annule en x=0 et on a g(0)=1.

Pour x<0,g'(x)>0 donc g est croissante.

Pour x>0,g'(x)<0 donc g est décroissante.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe représentative de }g\text{ admet donc un maximum au point de coordonnées }(0,1)}}

Partie C : Intersection des courbes représentatives de f et g


On considère la fonction h définie sur par : h(x)=f(x)-g(x).

1. Vérifier que pour tout réel x : h'(x)=1-g(x)h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.

On a :

h(x)=f(x)-g(x)=x-e^x-(1-x)e^x=x-e^x-1+xe^x=x-(2-x)e^x=x+(x-2)e^x

Donc :

h'(x)=1-[-e^x+(2-x)e^x]=1+e^x-2e^x+xe^x=1+e^x(x-1)=1-e^x(1-x)=1-g(x)

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in\R,h'(x)=1-g(x)}}


2. En utilisant l'étude de la fonction g, déterminer pour tout x réel le signe de h'(x). Donner alors le tableau de variations de la fonction h.
Les limites de la fonction h en +\infty et -\infty ne sont pas demandées.

Signe

g(0)=1 donc h'(0)=1-g(0)=1-1=0

Nous avons donc :

\text{.  }x>0\Longrightarrow g(x)<1\Longrightarrow 1-g(x)>0\Longrightarrow h'(x)>0\text{ : }h\text{ strictement croissante}

\text{.  }x=0\Longrightarrow h'(x)=0\text{ : }h\text{ possède un taux d'accroissement nul en ce point d'abscisse }x=0

\text{.  }x<0\Longrightarrow g(x)<1\Longrightarrow 1-g(x)>0\Longrightarrow h'(x)>0\text{ : }h\text{ strictement croissante}

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in\R,h'(x)\geq 0}}


Tableau de variations

\textcolor{blue}{\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-\infty&&0&&+\infty \\\hline h'(x)&&+&0&-& \\\hline h&_{-\infty}&\nearrow&-2&\nearrow&^{+\infty}&\hline\end{array}}


3. Justifier que l'équation h(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l'intervalle ]1,2[.
À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de \alpha d'amplitude 10^{-1}.

Justification

h est strictement croissante sur ]1,2[ et on a :

h(1)=f(1)-g(1)=1-e-0=1-e<0

h(2)=2-e^2-(1-2)e^2=e^2+1>0

Sur l'intervalle ]1,2[, la fonction h passe des valeurs négatives ( h(x)<0 ) aux valeurs positives ( h(x)>0 ), il existe donc \alpha tel que h(\alpha)=0.

De plus, sur ]1,2[, la fonction h est strictement croissante, la valeur \alpha telle que h(\alpha)=0 est unique.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il existe donc }\alpha\in]1,2[\text{ unique tel que }h(\alpha)=0}}

Représentation graphique (non demandé)
bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2009 - terminale : image 2


Encadrement

On a : \left\lbrace\begin{array}l x\in ]1,\alpha[,h(x)<0 \\ x\in ]\alpha,2[,h(x)>0 \end{array}

On procède par dichotomie (voir figure non demandée ci-dessous) :`

La méthode consiste à prendre x_n\text{ }(n\in\N) la valeur au milieu d'un intervalle considéré ]a,b[ auquel appartient \alpha : nous avons donc a<\alpha<b .
On étudie ensuite le signe de h(x_n)
- si h(x_n)>0, alors on considère le nouvel intervalle ]a,x_n[
- si h(x_n)<0, alors on considère le nouvel intervalle ]x_n,b[

En premier lieu, nous allons prendre x_0 la valeur du milieu de l'intervalle ]1,2[ avec x_0=1+\frac{2-1}{2}=\frac{3}{2}, puis d'étudier le signe de h(x_0)=h(\frac{3}{2}) :

On répète ensuite l'opération jusqu'à encadrer la valeur \alpha dans l'intervalle souhaité.


bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2009 - terminale : image 5


\text{. }1<\alpha<2\Longrightarrow x_0=\frac{3}{2}\Longrightarrow h(\frac{3}{2})\approx -3,74<0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{3}{2},2[

\text{. }\frac{3}{2}<\alpha<2\Longrightarrow x_1=\frac{7}{4}\Longrightarrow h(\frac{7}{4})\approx 0,31>0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{3}{2},\frac{7}{4}[

\text{. }\frac{3}{2}<\alpha<\frac{7}{4}\Longrightarrow x_2=\frac{13}{8}\Longrightarrow h(\frac{13}{8})\approx -0,30<0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{13}{8},\frac{7}{4}[

\text{. }\frac{13}{8}<\alpha<\frac{7}{4}\Longrightarrow x_3=\frac{27}{16}\Longrightarrow h(\frac{27}{16})\approx -0,0019<0\Longrightarrow \alpha\in]\frac{27}{16},\frac{7}{4}[

Nous avons donc :

\frac{27}{16}=1,6875<\alpha<\frac{7}{4}=1,75

Soit l'encadrement d'amplitude 0,07\leq 10^{-1} suivant : \boxed{\textcolor{blue}{1,68<\alpha<1,75}}



4. Déduire de la question précédente que les deux courbes admettent un unique point d'intersection sur l'intervalle ]1,2[.

Intersection des deux courbes

Nous venons de voir qu'il existe \alpha\in]1,2[ unique tel que h(\alpha)=0, donc :

h(\alpha)=0\Longleftrightarrow f(\alpha)-g(\alpha)=0\Longleftrightarrow f(\alpha)=g(\alpha)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les deux courbes de }f\text{ et de }g\text{ admettent donc un point d'intersection unique d'abscisse }x=\alpha\text{ sur }]1,2[.}}


Représentation graphique (non demandé)

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