Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - Session Juin 2009

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points

exercice

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. Recopier pour chaque question le numéro de question suivi de la proposition qui vous semble exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes.
Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point.


1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1 ; +\infty[ par f(x) = 1 + \dfrac{1}{x + 1} alors :
a) \displaystyle \lim_{x \to - 1} f(x) = 0 b) \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = - \infty c) \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = + \infty


2. Une autre écriture de \text{e}^{- \ln (2)} est :
a) 2 b) - 2 c) \dfrac{1}{2}


3. Sur l'ensemble ]1 ; + \infty[, l'équation \ln(x - 1) = 1 admet comme solution :
a) 1 b) 1 + \text{e} c)  \text{e} - 1


4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la conique C d'équation 4x^2 + 9y^2 - 36 = 0 ; alors :
    a) C n'a pas de foyer ;
    b) C a pour foyers les points F_{1}\left(\sqrt{5} ; 0\right) et F_{2}\left(- \sqrt{5} ; 0\right) ;
    c) C a pour foyers les points F_{1}\left(\sqrt{3} ; 0\right) et F_{2}\left(- \sqrt{3} ; 0\right).

5. Soient A et B deux évènement associés à une expérience aléatoire. Pour tout évènement X, on note p(X) sa probabilité. On suppose que : p(A) = 0,25, p(B) = 0,6 et p(A \cup B) = 0,7, alors p(A \cap  B) est égal à :
a) 0,35 b) 0,85 c) 0,15


6. Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On considère les points E(0 ; - 1) et F(3\sqrt{5} ; 1).
La distance EF est égale à :
a) 3\sqrt{5} b) 7 c) \sqrt{7}


7. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = \text{e}^{2x} + 1. Une primitive F de la fonction f est définie sur \mathbb{R} par :
a) F(x) = \text{e}^{2x} + x b) F(x) = 2\text{e}^{2x} c) F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + x - 3


8. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ; on considère la conique C_{1} d'équation 5x^2 - y^2 - 25 = 0 et la droite D_{1} d'équation y = x.
La conique C_{1} et la droite D_{1} :
    a) n'ont pas de point d'intersection
    b) ont deux points d'intersection de coordonnées \left(\dfrac{5}{2} ; \dfrac{5}{2}\right) et \left(-\dfrac{5}{2} ; -\dfrac{5}{2}\right).
    c) ont deux points d'intersection de coordonnées \left(\sqrt{5} ; 0\right) et \left(-\sqrt{5} ; 0\right).


12 points

probleme

Le but de ce problème est de calculer la surface d'un pendentif en forme de tulipe.
Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthogonal (O ; \vec{i},\vec{j}).
On choisit pour unités graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Partie A

Soit f la fonction définie sur l'intervalle I = [0 ; 3] par :
f(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{4}{3}x^2 -2x + 3.
La courbe représentative de f dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}) est notée \mathcal{C}_{f} et donnée en Annexe.
ANNEXE à rendre avec la copie
bac STI arts appliqués, Métropole 2009 - terminale : image 1


Ce graphique sera complété au fur et à mesure du problème.

1. Par lecture graphique, donner le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle I.

2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale K = \displaystyle\int_{0}^3 f(x) \text{d}x.

Partie B

On considère la fonction g définie sur l'intervalle I = [0 ; 3] par
g(x)  = (3 - x)\text{e}^{x}.
On appelle \mathcal{C}_{g} la courbe représentative de g dans Ie repère (O ; \vec{i},\vec{j}).

1. Montrer que pour tout x de l'intervalle I, on,a g'(x) = (2 - x)\text{e}^{x}g' désigne la fonction dérivée de la fonction g.

2. Étudier le signe de g' et dresser le tableau de variations de la fonction g.
    a) Reproduire et compléter le tableau de valeurs de la fonction g (arrondir les valeurs au dixième).
x00,511,522,53
g(x)  5,46,7   
    b) Compléter le graphique de la feuille annexe en traçant la courbe \mathcal{C}_{g}.

3. a) Montrer que la fonction G définie sur \mathbb{R} par G(x) = (4 - x)\text{e}^{x} est une primitive de la fonction g.
    b) Donner la valeur exacte de l'intégrale J = \displaystyle\int_{0}^3 g(x)\text{d}x.

Partie C


1. Hachurer P_{1} la portion de plan comprise entre les courbes \mathcal{C}_{f} et\mathcal{C}_{g}.

2. Construire les courbes \Gamma_{f} et \Gamma_{g} symétriques de \mathcal{C}_{f} et\mathcal{C}_{g} par rapport à l'axe des abscisses.

3. Hachurer P_{2} la portion de plan comprise entre \Gamma_{f} et \Gamma_{g}.

4. En utilisant les résultats de la question A. 2. et de la question B. 3. b., exprimer en unités d'aire l'aire du motif représenté par les portions de plan P_{1} et P_{2}.
En déduire une valeur exacte de l'aire en cm^2 puis la valeur arrondie au cm2.








exercice : QCM

1. réponse C
D'après l'énoncé, x > -1, donc (x+1) tend vers 0+ lorsque x tend vers -1 par valeurs nécessairement supérieures
P.c : \displaystyle \lim_{x\to -1}f(x)=+\infty

2. réponse C
e^{-\ln 2}=\dfrac{1}{e^{\ln 2}}=\dfrac{1}{2}
puisque \forall x\in\mathbb{R}_+^*, e^{\ln x}=x

3. réponse B
\displaystyle \ln(x-1)=1\Leftrightarrow e^{\ln(x-1)}=e^1\Leftrightarrow x-1=e\Leftrightarrow x=1+e

4. réponse B
L'équation de C peut s'écrire : \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1, équation "caractéristique" d'une ellipse.
On pose : a²=9 ; b²=4
Les foyers d'une ellipse ont pour coordonnées F1:(c;0) et F2:(-c;0), tel que c²=a²-b²
soit c² = 5, d'où c = plusmoinsracine5

5. réponse C
p(AgrandunionB)differentp(A)+p(B) signifie que A et B sont 2 événements compatibles (non disjoints)
Donc : p(AgrandunionB) = p(A)+p(B)-p(AgrandinterB)
Soit : p(AgrandinterB) = p(A)+p(B)-p(AgrandunionB)
Donc : p(AgrandinterB) = 0.25 + 0.6 - 0.7 = 0.15

6. réponse B
EF=\sqrt{(3\sqrt{5})^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{45+4}=7

7. réponse C
\displaystyle F(x)=\int f(x).dx=\int e^{2x}.dx+\int dx=\frac{1}{2}e^{2x}+x+Cte
(le -3 étant une constante arbitraire, formant une primitive de f parmi une infinité d'autres)

8. réponse B
On a : \left\lbrace\begin{array}{c@{=}c@{\quad}c}y^2&5x^2-25&(1)\\y&x&(2)\end{array}\right

On transpose la condition de l'équation (2) dans l'équation (1) pr déterminer x, soit
x^2=5x^2-25 \Leftrightarrow 4x^2-25=0 \Leftrightarrow (2x+5).(2x-5)=0
soit x=-\dfrac{5}{2} ou x=\dfrac{5}{2}.

De l'équation (2), les valeurs respectives de y s'en déduisent
Pour x=-\dfrac{5}{2};y=-\dfrac{5}{2}
Pour x=\dfrac{5}{2};y=\dfrac{5}{2}




probleme

Partie A

1. Tableau de variations de f sur I
\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & 0 &  & 1 & & 2 & & 3 \\ \hline f(x) & \niveau{4}{4} 3 & \decroit & \niveau{3}{4} 2 & \decroit & \niveau{2}{4} \dfrac{5}{3} & \decroit & \niveau{1}{4} 0 \\ \hline \end{tabvar}

2. Calcul de \displaystyle \int_0^3f(x).dx
\displaystyle \int_0^3f(x).dx=-\frac{1}{3}\int_0^3x^3.dx+\frac{4}{3}\int_0^3x^2.dx-2\int_0^3x.dx+3\int_0^3.dx
\displaystyle =-\left[\frac{x^4}{12}\right]_0^3+\left[\frac{4x^3}{9}\right]_0^3-\left[x^2\right]_0^3+\left[3x\right]_0^3=-\frac{81}{12}+\frac{108}{9}-9+9=\frac{21}{4}

Partie B

1.: On pose : g = u.v, donc g' = u'v + uv', avec u(x) = 3-x et v(x) = ex
g'(x) = -ex+3ex-xex = 2ex-xex = (2-x).ex

2.a)
x00.511.522.53
g(x)34.15.46.77.46.10

2.b) voir graphique

3.a) On pose :
u(x) = (3-x) v(x) = ex
u'(x) = -1 v'(x) = ex
par une IPP, on obtient :
\displaystyle \int(3-x).e^x dx = (3-x).e^x-(-1).\int e^x dx = [(3-x).e^x]+e^x =e^x.(3-x+1) = e^x.(4-x)

3.b) \displaystyle J=\int_0^3 g(x).dx=\left[e^x.(4-x)\right]_0^3=e^3-4

Partie C

4.a) et 4.b)
bac STI arts appliqués, Métropole 2009 - terminale : image 3

4.c)
Aire de P1 : \displaystyle \int_0^3g(x).dx-\int_0^3f(x).dx=\int_0^3[g(x)-f(x)].dx=e^3-4-\frac{21}{4}
Dc aire P1 = \displaystyle e^3-\frac{37}{4} unités d'aire.
Aire de P2 = Aire de P1, du fait des symétries construites aux questions 4.a) et 4.b).
Donc Aire de P1 + aire de P2 (les 2 feuilles de tulipe) = 2e^3-\frac{37}{2} unités d'aire.
Or ici 1 unité d'aire représente 4 cm², donc l'aire de P1+P2 est de (8e3-74) cm², soit environegal 87 cm²
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