Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Polynésie Française - Session Juin 2009

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
11 points

exercice 1

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
On a relevé à un moment donné le taux de cholestérol (exprimé en grammes par litre de sang) et l'âge (exprimé en année) d'un échantillon de la population d'une région.
Les résultats sont consignés dans le tableau d'effectifs à double entrée ci-dessous.
On peut lire, par exemple, que dans l'échantillon considéré il y a 8 individus entre 50 et 60 ans qui ont un taux de cholestérol compris entre 2,0 et 2,2 g/l.

      âge
taux
[20 ; 30[[30 ; 40[[40 ; 50[[50 ; 60[[60 ; 70[70 et plusTotaux
[1,6 ; 1,8[23151295468
[1,8 ; 2,0[14131197559
[2,0 ; 2,2[497810745
[2,2 ; 2,4[03558930
[2,4 ; 2,6[12334518
Totaux424238343430220


Partie A

1. Calculer le taux moyen de cholestérol, arrondi à 10-2 près, des individus de la classe d'âge [20 ; 30[.

2. On affirme que plus de 60 % des individus de l'échantillon ont un taux de cholestérol appartenant à l'intervalle [1,8 ; 2,4[. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifiez votre réponse.

Partie B

On s'intéresse maintenant à un nouveau tableau dans lequel figure le taux moyen de cholestérol par tranche d'âge (on a remplacé les intervalles par leur centre).

Age253545556575
Taux moyen1,821,931,982,012,092,14


1. Représenter par un nuage de points cette nouvelle série statistique.
On utilisera un repère orthogonal dans lequel les âges seront portés en abscisses (unité : 2 cm pour 10 ans) et le taux de cholestérol en ordonnées (unité graphique : 5 cm).

2. a) On appelle G1 le point moyen des trois premiers points du nuage et G2 celui des trois derniers.
Calculer les coordonnées de G1 et G2 et tracer la droite (G1G2) sur le graphique.
Dans la suite de cette partie, on admet que cette droite donne une approximation satisfaisante de l'évolution du taux moyen de cholestérol en fonction de l'âge.
    b) Déterminer graphiquement en faisant apparaître les constructions utiles, une valeur approchée du taux moyen de cholestérol d'un individu de 51 ans.

3. Déterminer l'équation de la droite (G1G2) sous la forme y = m x + p (on donnera m à 10-4 près et p à 10-2 près). Retrouver par le calcul le résultat de la question 2. b).

Partie C

Une des 220 personnes de l'échantillon se présente pour prendre connaissance de son taux de cholestérol. On suppose, pour une raison ou une autre, qu'il est impossible de deviner son âge et encore moins de deviner son taux de cholestérol.

1. Déterminer la probabilité que son taux de cholestérol soit inférieur strictement à 2,2 g/l.

2. Déterminer la probabilité que son âge, au moment des relevés, soit dans la tranche [30 ; 50[.
(On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.)


9 points

exercice 2

On étudie l'évolution d'une colonie de bactéries placées dans une boîte de Petri. Le nombre de bactéries en centaines est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle [0~;~ + \infty[ par f(t) = \dfrac{4\text{e}^t - 1}{\text{e}^t  + 2}t représente le temps en heures. On suppose que l'on peut compter le nombre de bactéries à l'unité près grâce à un compteur de radioactivité.

1. a) Calculer f(0) et interpréter ce résultat.
    b) Montrer que f(t} = 4 + \dfrac{-9}{\text{e}^t  + 2}. En déduire la limite de f en +\infty. On appellera cette valeur la saturation. Que peut-on en conclure pour la courbe représentative (\mathcal{C}) de f ?
    c) L' équation f(t) = 4 admet-elle des solutions ? Justifier votre réponse.

2. a) Montrer que la dérivée f' de f vérifie f'(t) = \dfrac{9\text{e}^t}{\left( \text{e}^t + 2 \right)^2}.
    b) En déduire le tableau de signes de f'(t) puis le tableau de variations de f sur [0~;~ + \infty[.

3. Soit (T) la tangente au point d'abscisse 0 à la courbe (\mathcal{C}). Déterminer l'équation de (T).

4. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous en arrondissant à 10-2 près :

t01234567
f(t) 2,09      


5. Tracer, dans un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm, la droite (T), la courbe (\mathcal{C}) ainsi qu'en les précisant la (ou les) asymptole(s) éventuelles(s) à (\mathcal{C}).

6. Calculer à la minute près l'instant t_{0} où le nombre de bactéries sera égal à 200.

7. Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la population de cette colonie dépassera 80 % de sa saturation.
(Dans celte question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.)
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