8 points

exercice 1 - Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question, une seule des propositions es exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute nu ne retire aucun point.
On inscrira sur la copie le numéro et les lettres de la réponse choisie.

A. Dans une entreprise de 200 employés, on dénombre 108 femmes, 100 cadres et 25 femmes cadres. On choisit, au hasard, une personne de cette entreprise. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie.
1. La probabilité que ce soit une femme est :

a)

b)

c) environ 0,009

2. La probabilité que ce soit une femme ou un cadre est :

a)

b) 0,915

c) 0,165

3. La probabilité que ce soit un homme est :

a) 0,46

b)

c) 0,54

4. On choisit maintenant une femme. Le probabilité qu'elle ne soit pas cadre est :

a)

b)

c) 0,415

B. Quelle est la limite en des fonctions proposées ?
1.

a) -2

b)

c)

2.

a)

b)

c) 3

C. Soit la suite géométrique de premier terme et de raison q = 0,5.
1. Le terme est :

a)

b)

c) 4,5

2. La somme est :

a)

b)

c)

12 points

exercice 2

Deux étudiants ont pesé la masse d'une culture de levure de boulangerie (saccharomyces cerevisiae) et ont noté la mesure de cette masse aux instants .
L'expérience a duré 8 heures. Ils ont obtenu les résultats suivants :

(en heures)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
(en grammes)	0,60	0,69	0,75	0,88	1,06	1,21	1,43	1,57

Les deux étudiants cherchent à modéliser la croissance de cette levure, c'est-à-dire à exprimer l'évolution de en fonction de , au moycn d'une fonction dont la courbe est "voisine" du nuage de points obtenu expérimentalement et qui est représenté sur le graphique donné ci-dessous. Celui-ci sera complété dans la partie B et rendu avec la copie.

Dans toute la suite les résultats seront arrondis à 10^-2 près.

Partie A

Le premier étudiant pense à un ajustement affite, mais comme ie résultat ne lui semble pas satisfaisant, il décide d'utiliser un changement de variable.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant dans lequel désigne le logarithme népérien de .

(en heures)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	-0,51

2. Représenter le nuage de points M_i de coordonnées dans un repère orthogonal.
Unités graphiques : 2 cm pour 1 heure en abscisses, 1 cm pour 0,1 en ordonnées.

3. Tracer la droite passant par les points M₀ et M₈ d'abscisses respectives 0 et 8, et déterminer son équation sous la forme ; .

On admet dans la suite de cette partie que cette droite donne une approximation satisfaisante du nuage de points M_i.

4. En déduire l'expression de en fonction de . Montrer qu'elle peut s'écrire :   (1)

5. Déterminer à quel instant, selon ce modèle (1), la masse de levure aura atteint trois grammes. On donnera le résultat en heures et minutes.

6. Quelqu'un affirme que, selon ce modèle, la masse de levure augmente chaque heure d'une même quantité. Est-ce exact ? On justifiera la réponse.

Partie B

Le deuxième étudiant se souvient que, dans ces cas comparables qu'il a déjà rencontrés, la vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité de matière qui se reproduit. Il cherche donc une fonction solution de l'équation différentielle : où un nombre réel.

1. a) Donner les solutions de l'équation différentielle ci-dessus.
    b) Déterminer, parmi les solutions précédentes, la solution qui vérifie les conditions et .

2. On admet que la fonction ainsi obtenue peut s'écrire (après arrondi) :   (2)
    a) Calculer . En déduire le sens de variation de lorsque varie de 0 à 8.
    b) Tracer la courbe obtenue avec ce modèle (2) sur le graphique ci-dessus. Tracer la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 et expliquer comment elle a été tracée.
    c) Sachant que représente la vitesse instantanée (en g/h) d'augmentation de la masse, calculer la vitesse à l'instant 0.