Baccalauréat STL La Réunion juin 2009 Biochimie - Génie biologique
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Calculatrice et formulaire autorisés
Durée de l'épreuve : 2 heures
Coefficient : 2
Attention : Le texte encadré ci-dessous est commun aux exercices indépendants 1 et 2.
L'Artemia salina est un petit crustacé qui fait partie du plancton marin. Ses qualités nutritionnelles en font une nourriture de choix pour la plupart des écloseries de poissons dans le monde.
8 points
exercice 1
Dans des conditions physico-chimiques appropriées (pH, température, oxygénation, éclairage),un magasin d'aquariophilie fait l'élevage des Artemia.
À l'aide d'un appareil à imagerie numérique (Zooscan), on a pu mesurer, pour des temps exprimés en jours, le nombre d'Artemia exprimé en centaines :
0
3
6
9
12
15
18
21
24
5
20
50
150
370
610
740
800
820
1. On pose : .
Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs à 10-1 près :
0
3
6
9
12
15
18
21
24
5,1
2. a) Représenter le nuage de points dans un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm.
b) Calculer les coordonnées, arrondies à 10-1 près, du point moyen G du nuage de points .
3. a) Tracer la droite (D) passant par G et le point A(0 ; 5, 1).
b) Déterminer son équation sous la forme . On donnera les valeurs de et de arrondies à 10-1 près.
4. On admet que la droite (D) constitue un ajustement convenable du nuage de points .
a) Calculer le nombre d'Artemia que l'on peut prévoir au bout de 10 jours d'élevage.
b)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. En utilisant l'équation de la droite (D) et la relation , démontrer que le nombre d'Artemia que l'on peut prévoir après jours d'élevage est donné en centaines par la formule : .
12 points
exercice 2
Soit la fonction définie sur par :
.
On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Partie A
1. a) Calculer .
b) Déterminer la limite de en .
En déduire l'existence d'une asymptote pour la courbe () de .
2. a) Montrer que , où désigne la dérivée de .
b) Étudier le signe de sur .
En déduire le tableau de variations de la fonction sur .
3. a) Calculer le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe au point d'abscisse 12,75. On arrondira cette valeur à l'unité.
b) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir le résultat à l'unité) :
0
3
6
9
12
15
18
21
24
5,1
c)Construire dans un même repère la courbe , l'asymptote et la tangente (T) en prenant 1 cm pour 1 unité en abscisse et 1 cm pour 50 unités en ordonnée.
Partie B
On modélise l'évolution de la population d'Artemia salina par la fonction .
1. En utilisant la courbe déterminer au bout de combien de temps la population aura atteint 41 250 individus.
2. Retrouver par le calcul ce résultat. On donnera la valeur exacte de la solution puis une valeur arrondie à 10-2.
3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Comment interprétez-vous les résultats des questions A. 1. a. et A. 1. b. ?
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exprimés en jours, le nombre 
d'Artemia exprimé en centaines :
)
.
)
dans un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm.
. On donnera les valeurs de 
et de 
arrondies à 10-1 près.
)
, démontrer que le nombre 
d'Artemia que l'on peut prévoir après 
jours d'élevage est donné en centaines par la formule :  = \dfrac{825}{1 + \text{e}^{-0,4t + 5,1}})
.
la fonction définie sur 
par :
 = \dfrac{825}{1 + 164\text{e}^{-0,4t + 5,1}}})
.)
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
)
.
.
)
pour la courbe (
) de  = \dfrac{\nombre{54120}\text{e}^{-0,4t}}{\left(1 + 164\text{e}^{-0,4t + 5,1}} \right)^2})
, où 
désigne la dérivée de )
sur