Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Septembre 2009

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.


12 points

exercice 1

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

1 500 salariés d'une entreprise possèdent un téléphone portable revêtu d'une coque blanche, noire ou métal.
80% des téléphones sont équipés de la fonction photo.
45% des téléphones ont une coque blanche et \dfrac{2}{9} de ces appareils ne prennent pas de photo.
Parmi ceux prenant des photos à coque non blanche, il y a quatre fois plus de téléphones à coque noire que de téléphones à coque métal.
Tous les téléphones à coque noire ont la fonction photo.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant:
 BlancheNoireMétalTotal
Photo    
Non photo    
Total   1 500

Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale exacte.

2. On choisit au hasard un salarié parmi les 1 500 salariés de cette entreprise.
    a) Montrer que la probabilité de l'évènement A : «le salarié possède un téléphone à coque métal» est égale à 0,19.
    b) Calculer la probabilité de l'évènement B : «le salarié possède un téléphone ne prenant pas de photo».

3. Définir par une phrase l'évènement A \cup B puis calculer sa probabilité.

4. On choisit au hasard un salarié de cette entreprise ayant un téléphone prenant des photos. Quelle est la probabilité de l'évènement C : «le téléphone de ce salarié est à coque blanche» ?

Partie B :

Un opérateur désireux de gagner des parts de marché propose aux salariés de cette entreprise de tester un nouveau type de téléphone portable. Pour cela, il dispose d'au moins 10 jours pour convaincre les salariés de changer de téléphone. Le tableau ci-dessous indique les résultats observés.
t_{i} = n° du jour12345678910
N_{i} = Nombre de salariés convaincus404206407908909701 0301 0801 1201 150
bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole, septembre 2009 - terminale : image 1

Le nuage de points associé à ce tableau est reproduit ci-dessus avec pour unités :
    1 cm pour 1 jour en abscisses,
    1 cm pour 100 salariés en ordonnées

1. On pose y_{i} = \dfrac{1500}{1500 - N_{i}}. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant les valeurs à 10-2 près. Construire dans un repère orthonormal d'unité 1 cm le nuage de points associé à cette série statistique.
t_{i}12345678910
y_{i}1,03         


2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.

3. On appelle G_{1} le point moyen des 5 premiers points du nuage et G_{2} celui des 5 derniers.
    a) Déterminer les coordonnées de G_{1} et de G_{2}.
    b) Placer G_{1} et G_{2} sur le graphique puis tracer la droite \left(G_{1}G_{2}\right).
    c) Déterminer une équation de la droite \left(G_{1}G_{2}\right) sous la forme : y = m t + p. On donnera les valeurs exactes de m et de p à 10-2 près.

4. En admettant que cette droite donne une approximation satisfaisante de la variation de y en fonction de t, montrer que
N(t) = \np{1500}\left(1 - \dfrac{1}{0,36t + 0,66}\right).
Estimer à partir de combien de jours l'opérateur peut espérer convaincre au moins 90% des salariés de cette entreprise.


8 points

exercice 2

On considère une fonction f définie sur [0 ; +\infty[ et on note (\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.
On sait que :
    (\mathcal{C}) passe par le point A(0 ; 7) et admet la droite (\Delta) d'équation y = 2 pour asymptote horizontale au voisinage de +\infty.
    La droite (D) passant par A et de coefficient directeur -5 est tangente à (\mathcal{C}) au point A.
    La fonction f est décroissante sur [0 ; +\infty[.

1. Placer A, construire (D) puis (\Delta) et tracer une courbe (\mathcal{C}) susceptible de représenter f.

2. On note f_{1}, f_{2} et f_{3} les trois fonctions définies sur [0 ; +\infty[ par :
f_{1}(x) = x - 7   ;     f_{2}(x) = -x^2 + 2x + 7    et    f_{3}(x) = - 5\text{e}^x + 12.

    a) Calculer f_{1}(0). Peut-on avoir f_{1} = f? Justifier.
    b) Calculer, pour tout x de [0 ; +\infty[, f'_{2}(x) puis f'_{2}(0). Peut-on avoir f_{2} = f ? Justifier.
    c) Calculer \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{3}(x). Peut-on avoir f_{3} = f? Justifier.

3. Désormais, on admet que f(x) s'écrit sous la forme f(x) = a \text{e}^{-x} + ba et b sont des réels.
    a) Calculer f(0), f'(x) puis f'(0) en fonction de a et de b.
    b) Montrer que a et b sont solutions du systeme (S) : \left\lbrace\begin{array}{l c r} a+b&=&7 \\ -a&=&-5 \end{array}\right.
    c) Résoudre (S) et en déduire l'expression de f(x).
    d) Justifier que f est décroissante sur [0 ; +\infty[.
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