Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Antilles Guyane - Session Juin 2009

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.

4 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ (unité graphique : 1 cm).
On note i le nombre complexe de module 1 et dont $\dfrac{\pi}{2}$ est un argument.

1. Résoudre, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation : $z^2 + 10z + 29 = 0$ .

2. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ , $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ définies par $z_{\text{A}} = -5 - 2\text{i}$ , $z_{\text{B}} = - 3 + 6\text{i}$ , $z_{\text{C}} =-\overline{z_{\text{A}}}$ . Placer les points A, B et C sur une figure.

3. Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ .
Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{D}}$ et placer le point D sur la figure précédente.

4. Calculer le module des nombres complexes $z_{\text{A}} - z_{\text{D}}$ et $z_{\text{B}} - z_{\text{D}}$ .

5. Montrer que D est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle ABC.
Donner la valeur exacte du rayon $r$ du cercle $\mathcal{C}$ . Tracer le cercle $\mathcal{C}$ .

4 points

exercice 2

1. Une ville A possède 200 000 habitants au 1^er janvier 2009. On considère que cette population diminue de 2% par an.
On note $u_{n}$ le nombre d'habitants de la ville A au 1^er janvier de l'année $2009+n$ , où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $u_{0} = 200 000$ .
    a) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
    b) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ .
    c) En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .
    d) Déterminer l'arrondi à l'unité de $u_{10}$ .

2. Une ville B possède 120 000 habitants au 1^er janvier 2009.
On note $v_{n}$ le nombre d'habitants de la ville B au 1^er janvier de l'année $2009 +n$ , où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $v_{0} = 120 000$ .
On considère que, pour tout entier naturel $n, v_{n} = 120 000 \times 1,01^n$ .
    a) Calculer le nombre d'habitants de la ville B au 1^er janvier 2011.
    b) Déterminer l'arrondi à l'unité de $v_{10}$ .

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
En quelle année la population de la ville B deviendra-t-elle supérieure à celle de la ville A ?

12 points

probleme

L'annexe associée à ce problème est rendre avec la copie.

Partie A : Signe d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (2x -1)\text{e}^x + 1$ . On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ .
On donne, en annexe n°1 une partie du tableau de variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ .

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 1

On sait que la limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est 1 et que la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est $+\infty$ .
On a de plus $g\left(- \dfrac{1}{2}\right) = - \dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}} + 1$ .

1. À l'aide des indications données dans l'énoncé, compléter le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'annexe n°1.

2. Calculer la valeur exacte de $g(0)$ et la noter dans le tableau de l'annexe n°1.

3. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left[-2 ; -\dfrac{1}{2}\right]$ .

4. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à 10^-1 près.

5. Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$ .

Partie B : étude d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x -1)\text{e}^{2x} + \text{e}^x$ . En annexe n°2, on trouve la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ (unités graphiques : 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée).

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 2

1. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .

2. La courbe $\mathcal{C}$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.
Que peut-on en déduire pour la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ ?

3. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ , $f'(x) = g(x) \times \text{e}^x$ .

4. a) En utilisant le résultat de la question 5. de la partie A, déterminer selon les valeurs de $x$ le signe de $f'(x)$ .
    b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    c) En prenant $\alpha \approx -1,3$ , déterminer une valeur approchée de $f(\alpha)$ à 10^-1 près.

5. Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 0$ et la droite d'équation $x = 1$ .
    a) Hachurer la partie $\mathcal{S}$ sur l'annexe n°2.
    b) Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{4}\right)\text{e}^{2x} + \text{e}^{x}$ . Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    c) On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$ . Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis son arrondi à 10^-2 près.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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