Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Antilles Guyane - Session Juin 2009

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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.


4 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) (unité graphique : 1 cm).
On note i le nombre complexe de module 1 et dont \dfrac{\pi}{2} est un argument.

1. Résoudre, dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes, l'équation :
z^2 + 10z + 29 = 0.


2. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives z_{\text{A}}, z_{\text{B}} et z_{\text{C}} définies par
z_{\text{A}} = -5 - 2\text{i}, z_{\text{B}} = - 3 + 6\text{i}, z_{\text{C}} =-\overline{z_{\text{A}}}.
Placer les points A, B et C sur une figure.

3. Soit D le point d'affixe z_{\text{D}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}.
Déterminer la forme algébrique de z_{\text{D}} et placer le point D sur la figure précédente.

4. Calculer le module des nombres complexes z_{\text{A}} - z_{\text{D}} et z_{\text{B}} - z_{\text{D}}.

5. Montrer que D est le centre du cercle \mathcal{C} circonscrit au triangle ABC.
Donner la valeur exacte du rayon r du cercle \mathcal{C}. Tracer le cercle \mathcal{C}.


4 points

exercice 2

1. Une ville A possède 200 000 habitants au 1er janvier 2009. On considère que cette population diminue de 2% par an.
On note u_{n} le nombre d'habitants de la ville A au 1er janvier de l'année 2009+n, où n est un entier naturel. Ainsi, u_{0} = 200 000.
    a) Calculer u_{1} et u_{2}.
    b) Exprimer u_{n+1} en fonction de u_{n}.
    c) En déduire la nature de la suite \left(u_{n}\right) puis l'expression de u_{n} en fonction de n.
    d) Déterminer l'arrondi à l'unité de u_{10}.

2. Une ville B possède 120 000 habitants au 1er janvier 2009.
On note v_{n} le nombre d'habitants de la ville B au 1er janvier de l'année 2009 +n, où n est un entier naturel. Ainsi, v_{0} = 120 000.
On considère que, pour tout entier naturel n,  v_{n} = 120 000 \times 1,01^n.
    a) Calculer le nombre d'habitants de la ville B au 1er janvier 2011.
    b) Déterminer l'arrondi à l'unité de v_{10}.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
En quelle année la population de la ville B deviendra-t-elle supérieure à celle de la ville A ?


12 points

probleme

L'annexe associée à ce problème est rendre avec la copie.

Partie A : Signe d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par
g(x) = (2x -1)\text{e}^x + 1.
On note g' la fonction dérivée de la fonction g sur \mathbb{R}.
On donne, en annexe n°1 une partie du tableau de variations de la fonction g sur \mathbb{R}.
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 1

On sait que la limite de la fonction g en - \infty est 1 et que la limite de la fonction g en +\infty est +\infty.
On a de plus g\left(- \dfrac{1}{2}\right) = - \dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}} + 1.

1. À l'aide des indications données dans l'énoncé, compléter le tableau de variations de la fonction g sur l'annexe n°1.

2. Calculer la valeur exacte de g(0) et la noter dans le tableau de l'annexe n°1.

3. Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution \alpha sur l'intervalle \left[-2 ; -\dfrac{1}{2}\right].

4. Déterminer une valeur approchée de \alpha à 10-1 près.

5. Déduire des questions précédentes le signe de g(x) selon les valeurs de x.

Partie B : étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par
f(x) = (x -1)\text{e}^{2x} + \text{e}^x.
En annexe n°2, on trouve la courbe représentative \mathcal{C} de la fonction fdans un repère orthogonal (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) (unités graphiques : 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée).
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 2


1. Calculer la limite de la fonction f en +\infty.

2. La courbe \mathcal{C} admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.
Que peut-on en déduire pour la limite de la fonction f en -\infty ?

3. On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
Calculer f'(x) et montrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) = g(x) \times \text{e}^x.

4. a) En utilisant le résultat de la question 5. de la partie A, déterminer selon les valeurs de x le signe de f'(x).
    b) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur \mathbb{R}.
    c) En prenant \alpha \approx  -1,3, déterminer une valeur approchée de f(\alpha) à 10-1 près.

5. Soit \mathcal{S} la partie du plan limitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, la droite d'équation x = 0 et la droite d'équation x = 1.
    a) Hachurer la partie \mathcal{S} sur l'annexe n°2.
    b) Soit F la fonction définie sur \mathbb{R} par
F(x) = \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{4}\right)\text{e}^{2x} + \text{e}^{x}.
Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.
    c) On note \mathcal{A} l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie \mathcal{S}. Calculer la valeur exacte de \mathcal{A} puis son arrondi à 10-2 près.
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