5 points

exercice 1

Un sac contient cinq jetons : un bleu noté deux rouges notés et , deux verts notés et .
Lorsqu'on tire un jeton de ce sac, chaque jeton contenu dans le sac a la même probabilité d'être tiré.
Dans tout l'exercice, on s'intéresse à l'expérience aléatoire suivante: on tire un jeton du sac, puis un deuxième jeton sans remettre le premier dans le sac.

1. a) Déterminer, à l'aide d'un tableau ou d'un arbre, les 20 résultats possibles de cette expérience.
    b) On considère les évènements :
    A : «obtenir deux jetons de couleurs différentes» ;
    B : «obtenir au moins un jeton rouge» ;
    C : A B.
Déterminer la probabilité des évènements A, B et C.

2. On décide que le jeton bleu vaut 3 points, que les jetons rouges valent chacun 2 points et que les jetons verts valent chacun 1 point.
On note la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux jetons, associe la somme des points de ces jetons.
    a) Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire .
    b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
    c) Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire .


5 points

exercice 2

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 0,5 cm). On note le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : .

2. On considère les points A, B, C, D du plan complexe d'affixes respectives : , , , .
    a) Donner sans justification le module et un argument des nombres et .
    b) Déterminer le module et un argument du nombre .
    c) Placer les points A, B, C, D sur une figure.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Quelle est la nature du triangle ABC ?


10 points

probleme

Le plan est muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 5 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée).

Partie A : Étude d'une fonction

On considère la fonction définie sur par : On note la courbe représentative de la fonction dans le plan .

1. Déterminer la limite de la fonction en .

2. a) Déterminer la limite de la fonction en .
    b) En déduire que la courbe admet une asymptote dont on donnera une équation.
    c) Montrer que, pour tout nombre réel , .
    d) En déduire la position relative de la courbe et de la droite .

3. On note la fonction dérivée de la fonction sur .
    a) Montrer que, pour tout nombre réel , .
    b) Déterminer le signe de la fonction sur . Établir le tableau de variations de la fonction .

4. Tracer, dans le plan , la droite et la courbe .

Partie B : Calcul d'aire

1. Montrer que la fonction définie sur par est une primitive de la fonction sur .

2. Soit la partie du plan limitée par la droite , la courbe , la droite d'équation et la droite d'équation .
    a) Hachurer la partie sur le graphique réalisé à la question 4. de la partie A.
    b) Soit l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie .
Exprimer à l'aide d'une intégrale.
    c) Montrer que a pour valeur .