Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2009

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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.


5 points

exercice 1

Un sac contient cinq jetons : un bleu noté B_{1} deux rouges notés R_{1} et R_{2}, deux verts notés V_{1} et V_{2}.
Lorsqu'on tire un jeton de ce sac, chaque jeton contenu dans le sac a la même probabilité d'être tiré.
Dans tout l'exercice, on s'intéresse à l'expérience aléatoire suivante: on tire un jeton du sac, puis un deuxième jeton sans remettre le premier dans le sac.

1. a) Déterminer, à l'aide d'un tableau ou d'un arbre, les 20 résultats possibles de cette expérience.
    b) On considère les évènements :
    A : «obtenir deux jetons de couleurs différentes» ;
    B : «obtenir au moins un jeton rouge» ;
    C : A \cap B.
Déterminer la probabilité des évènements A, B et C.

2. On décide que le jeton bleu vaut 3 points, que les jetons rouges valent chacun 2 points et que les jetons verts valent chacun 1 point.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux jetons, associe la somme des points de ces jetons.
    a) Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
    b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
    c) Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.


5 points

exercice 2

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) (unité graphique : 0,5 cm). On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est \dfrac{\pi}{2}.

1. Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l'équation :
z^2 + 4z\sqrt{3} + 16 = 0.


2. On considère les points A, B, C, D du plan complexe d'affixes respectives :
z_{\text{A}} = 4, z_{\text{B}} = 4\left(\sqrt{3}+ 2\right)\text{i}, z_{\text{C}} = -2\sqrt{3} + 2\text{i}, z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.

    a) Donner sans justification le module et un argument des nombres z_{\text{A}} et z_{\text{B}}.
    b) Déterminer le module et un argument du nombre z_{\text{C}}.
    c) Placer les points A, B, C, D sur une figure.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Quelle est la nature du triangle ABC ?


10 points

probleme

Le plan \mathcal{P} est muni d'un repère orthogonal (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) (unités graphiques : 5 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée).

Partie A : Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = \left(\text{e}^x  - 3\right)^2.
On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans le plan \mathcal{P}.

1. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

2. a) Déterminer la limite de la fonction f en -\infty.
    b) En déduire que la courbe \mathcal{C} admet une asymptote \mathcal{D} dont on donnera une équation.
    c) Montrer que, pour tout nombre réel x, f(x) - 9 = \text{e}^x \left(\text{e}^x - 6\right).
    d) En déduire la position relative de la courbe \mathcal{C} et de la droite \mathcal{D}.

3. On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
    a) Montrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x -3\right).
    b) Déterminer le signe de la fonction f' sur \mathbb{R}. Établir le tableau de variations de la fonction f.

4. Tracer, dans le plan \mathcal{P}, la droite \mathcal{D} et la courbe \mathcal{C}.

Partie B : Calcul d'aire

1. Montrer que la fonction F définie sur \mathbb{R} par
F(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{2} - 6\text{e}^x + 9x
est une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.

2. Soit \mathcal{S} la partie du plan \mathcal{P} limitée par la droite \mathcal{D}, la courbe \mathcal{C}, la droite d'équation x = 0 et la droite d'équation x = \ln 2.
    a) Hachurer la partie \mathcal{S} sur le graphique réalisé à la question 4. de la partie A.
    b) Soit \mathcal{A} l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie \mathcal{S}.
Exprimer \mathcal{A} à l'aide d'une intégrale.
    c) Montrer que \mathcal{A} a pour valeur \dfrac{9}{2}.
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