Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2009
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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4 La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.
4 points
exercice 1
Soit l'équation différentielle (E) : , où désigne une fonction dérivable de la variable et sa dérivée.
1. Résoudre l'équation différentielle (H) :
2. Déterminer les deux nombres réels et tels que la fonction definie sur par, , soit solution de l'équation (E).
3. a) Le nombre désignant une constante réelle, on considère la fonction définie sur par : Vérifier que la fonction est une solution de l'équation (E).
b) Déterminer le réel pour que
4. Dans cette question, on prend .
a) Calculer la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle [0 ; 2]
b) Donner une valeur approchée de à 10-2 près.
5 points
exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct. L'unité graphique est égale à 4cm.
1. a) Résoudre dans , l'équation : .
b) On désigne par et les solutions, étant celle dont la partie imaginaire est négative.
Écrire et sous forme exponentielle.
2. Soit A le point du plan dont l'affixe est et B celui dont l'affixe est .
Placer les points A et B dans le pan complexe et démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
3. Soit E le point d'affixe et F le point d'affixe .
a) F est l'image de E par une transformation du plan.
Donner la nature de cette transformation et ses éléments caractéristiques.
b) Montrer que F est le milieu du segment [OB].
4. Soit D l'image de E par la translation de vecteur .
a) Placer les points D, E et F sur la figure.
b) Déterminer l'affixe de D.
c) Montrer que OD = DB.
d) Qu'en déduire pour la droite (AD) ? Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
11 points
probleme
Partie A
Soit la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par .
On note la fonction dérivée de la fonction .
1. Calculer pour dans l'intervalle ]0 ; +[. Étudier le signe de et donner le sens de variation de la fonction (l'étude des limites n'est pas demandée).
2. a) Montrer que l'équation a une solution unique dans l'intervalle [1 ; 5]. On note cette solution.
b) Déterminer la valeur décimale arrondie au centième de .
3. Étudier le signe de pour appartenant à ]0 ; +[.
Partie B
Soit la fonction définie sur ]0 ; +[ par On peut donc aussi écrire : ou encore
1. a) Déterminer la limite de en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
b) Déterminer la limite de en +.
2. a) Soit la fonction dérivée de . Calculer .
b) Montrer que et en déduire le signe de .
c) Dresser le tableau de variations de la fonction .
3. On désigne par la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
a) Soit A le point de d'abscisse 1.
Donner un équation de la droite , tangente en A à la courbe .
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de et de l'axe des ordonnées.
b) Tracer la droite et la courbe .
Partie C
1. Soit la fonction définie sur ]0 ; +[ par .
Montrer que la fonction est une primitive de la fonction .
2. a) Hachurer l'aire du domaine plan limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
b) Déterminer graphiquement une valeur approchée au cm2 de l'aire de ce domaine.
c) Calculer la valeur exacte en cm2 de l'aire de ce domaine.
1. Les solutions de (H) sont les fonctions où est une constante réelle.
2. Comme on sait que . Pour que soit solution de (E) il faut et il suffit que quelque soit dans .
Or en identifiant cette expression à on voit que est solution de (E) quand et c'est à dire et
3. a) On a et donc est bien une solution de (E)
3. b) donc pour
4. a) et b)
exercice 2
1. a) Le discriminant de l'équation est elle a donc deux racines complexes conjuguées : et
1. b). On calcule d'où De même
2. On sait et . Or .
On calcule .
On a bien OA = OB = AB : le triangle OAB est équilatéral.
3. a) F est l'image de E par la rotation de centre O et d'angle car On peut aussi dire que F est l'image de E par la translation de vecteur . Il y a encore de nombreuses autres réponses possibles.
3. b) L'affixe de est deux fois celle de donc et F est le milieu du segment [OB].
4. a) Voir la figure
4. b) L'affixe de est i donc l'affixe de D est
4. c) Comme OD et DB sont des longueurs ayant le même carré, elles sont égales.
4. d) OD = BD donc D est sur la médiatrice de [OB] de même OA=AB, d'après la question 2., donc A est sur la médiatrice de [OB].
La droite (AD) est médiatrice de [OB].
probleme
Partie A
1.. Comme il est immédiat que et que . La fonction est donc strictement croissante sur .
2. a) La fonction est dérivable et strictement croissante [1 ; 5] on a et l'équation a donc une solution unique sur cet intervalle.
2. b) À la calculette on obtient et on a donc
3. Comme la fonction est strictement croissante sur on a quand et quand
Partie B
1. a) On utilise la forme
1. b) On utilise la forme 2. a) et b) On utilise la forme . On a alors :
Comme on a et est du signe de étudié à la question A. 3.
2. c) On en déduit le tableau de variations de , avec
et
3. a) Une équation de est soit ou .
La dernière forme montre que coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; 4).
3. b)
Partie C
1. On calcule en utilisant les formules et :
est la dérivée de donc est une primitive de .
2. a)
2. b) Comme les valeurs prises par la fonction sont négatives sur l'intervalle l'aire du domaine, en unités graphiques, est
2. c) Comme une unité graphique vaut elle vaut . Ce que l'on peut vérifier approximativement sur le graphique en comptant les carreaux.
Publié par verdurin/verdurin
le
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