Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2009

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.

4 points

exercice 1

Soit l'équation différentielle (E) : $y' + y = 2x$ , où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable $x$ et $y'$ sa dérivée.

1. Résoudre l'équation différentielle (H) : $y' + y = 0$

2. Déterminer les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ definie sur $\mathbb{R}$ par, $g(x) = ax + b$ , soit solution de l'équation (E).

3. a) Le nombre $k$ désignant une constante réelle, on considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = k \text{e}^{-x} + 2x - 2$
Vérifier que la fonction $f$ est une solution de l'équation (E).
    b) Déterminer le réel $k$ pour que $f(0) = 0$

4. Dans cette question, on prend $k = 2$ .
    a) Calculer la valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2]
    b) Donner une valeur approchée de $m$ à 10^-2 près.

5 points

exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O~;~\vec{u}~,~\vec{v})$ direct. L'unité graphique est égale à 4cm.

1. a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ , l'équation : $\ z^2-2\sqrt{3} z + 4 = 0$ .
    b) On désigne par $z_1$ et $z_2$ les solutions, $z_1$ étant celle dont la partie imaginaire est négative.
Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.

2. Soit A le point du plan dont l'affixe est $z_1$ et B celui dont l'affixe est $z_2$ .
Placer les points A et B dans le pan complexe et démontrer que le triangle OAB est équilatéral.

3. Soit E le point d'affixe $z_3 = \text{e}^{-i\pi/3}$ et F le point d'affixe $z_4 = \text{e}^{i\pi/6}$ .
    a) F est l'image de E par une transformation du plan.
Donner la nature de cette transformation et ses éléments caractéristiques.
    b) Montrer que F est le milieu du segment [OB].

4. Soit D l'image de E par la translation de vecteur $2\vec{v}$ .
    a) Placer les points D, E et F sur la figure.
    b) Déterminer l'affixe de D.
    c) Montrer que OD = DB.
    d) Qu'en déduire pour la droite (AD) ? Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

11 points

probleme

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x)= x - 5 + 5 \ln x$ .
On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ .

1. Calculer $g'(x)$ pour $x$ dans l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [. Étudier le signe de $g'(x)$ et donner le sens de variation de la fonction $g$ (l'étude des limites n'est pas demandée).

2. a) Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique dans l'intervalle [1 ; 5]. On note $\alpha$ cette solution.
b) Déterminer la valeur décimale arrondie au centième de $\alpha$ .

3. Étudier le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à ]0 ; + $\infty$ [.

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{(x-5)\ln x}{x}$
On peut donc aussi écrire : $f(x) = \dfrac1x (x-5)\ln x$ ou encore $f(x) = \ln x -\dfrac{5 \ln x}{x}$

1. a) Déterminer la limite de $f$ en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
    b) Déterminer la limite de $f$ en + $\infty$ .

2. a) Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Calculer $f'(x)$ .
    b) Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ et en déduire le signe de $f'(x)$ .
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O~;~\vec{i},~\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.
    a) Soit A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 1.
Donner un équation de la droite $\mathcal{D}$ , tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$ .
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de l'axe des ordonnées.
    b) Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ .

Partie C

1. Soit $F$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $F(x)= x\ln x - x-\dfrac52 (\ln x)^2$ .
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ .

2. a) Hachurer l'aire du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$ .
b) Déterminer graphiquement une valeur approchée au cm² de l'aire de ce domaine.
c) Calculer la valeur exacte en cm² de l'aire de ce domaine.

Voir la correction

exercice 1

1. Les solutions de (H) sont les fonctions $x \mapsto k \text{e}^{-x}$ où $k$ est une constante réelle.

2. Comme $g(x) = ax + b$ on sait que $g'(x) = a$ . Pour que $g$ soit solution de (E) il faut et il suffit que $g'(x)+g(x)=2x$ quelque soit $x$ dans $\mathbb{R}$ .
Or $g'(x)+g(x)=a+ax+b=a x +(a+b)$ en identifiant cette expression à $2x=2x+0$ on voit que $g$ est solution de (E) quand $a=2$ et $a+b=0$
c'est à dire $a=2$ et $b=-2$

3. a) On a $f'(x)= -k \text{e}^{-x}+2$ et donc $f'(x)+f(x) = -k \text{e}^{-x}+2+ k \text{e}^{-x}+2x-2 = 2x$
$f$ est bien une solution de (E)

3. b) $f(0)=k\text{e}^{0}-2=k-2$ donc $f(0)=0$ pour $k=2$

4. a) et b) $m = \dfrac{1}{2-0} \displaystyle \int_0^2 f(x)\text{d}x = \dfrac12 \left[ -2 \text{e}^{-x} + x^2 - 2x \right]_0^2 = \dfrac12 (-2\text{e}^{-2} + 2) = 1 - \text{e}^{-2} \simeq 0,\!86$

exercice 2

1. a) Le discriminant de l'équation est $\Delta =(-2\sqrt3)^2 - 4 \times 1 \times 4 = -4$ elle a donc deux racines complexes conjuguées : $\dfrac{2\sqrt3-2 i}{2}$ et $\dfrac{2\sqrt3+2 i}{2}$

1. b) $z_2 = \dfrac{2\sqrt3+2 i}{2} = \sqrt3+i$ . On calcule $|z_2|^2=\sqrt{3}^2+1^2=4$ d'où $|z_2|=2.$
$z_2=2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+ \dfrac{1}{2}i\right)=2\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+ i \sin\dfrac{\pi}{6}\right)=2 e^{i\pi/6}$
De même $z_1=\bar{z_2}=2e^{-i\pi/6}$

2. On sait $OA=|z_1|\, ,\ OB=|z_2|$ et $AB=|z_2-z_1|$ . Or $|z_1|=|z_2|=2$ .
On calcule $|z_2-z_1|=|(\sqrt3+i)-(\sqrt3+i)|=|2 i|=2$ .
On a bien OA = OB = AB : le triangle OAB est équilatéral.

3. a) F est l'image de E par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ car $z_4=z_3\cdot \e^{i\pi/2}$
On peut aussi dire que F est l'image de E par la translation de vecteur $\overrightarrow{EF}$ . Il y a encore de nombreuses autres réponses possibles.

3. b) L'affixe de $\overrightarrow{OB}$ est deux fois celle de $\overrightarrow{OF}$ donc $\overrightarrow{OB} = 2 \overrightarrow{OF}$ et F est le milieu du segment [OB].

4. a) Voir la figure

4. b) L'affixe de $\vec{v}$ est i donc l'affixe de D est $e^{-i \pi/3}+2i=\dfrac{1}{2}+$2-\dfrac{\sqrt3}2$i$

4. c) $OD^2=\left(\dfrac12\right)^2+\left(2-\dfrac{\sqrt3}2\right)^2=\dfrac14+4-2\sqrt3+\dfrac34=5-2\sqrt3$
$DB^2=\left(\sqrt3-\dfrac12\right)^2+\left(1-2+\dfrac{\sqrt3}2\right)^2=3-\sqrt3+\dfrac14+1-\sqrt3+\dfrac34=5-2\sqrt3$
Comme OD et DB sont des longueurs ayant le même carré, elles sont égales.

4. d) OD = BD donc D est sur la médiatrice de [OB] de même OA=AB, d'après la question 2., donc A est sur la médiatrice de [OB].
La droite (AD) est médiatrice de [OB].

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Juin 2009 - terminale : image 1

probleme

Partie A

1. $g'(x)=1+\dfrac5{x}$ . Comme $x>0$ il est immédiat que $\dfrac5{x}>0$ et que $g'(x)>0$ . La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$ .

2. a) La fonction $g$ est dérivable et strictement croissante [1 ; 5] on a $g(1)=-4<0$ et $g(5)=5\ln5>0$ l'équation $g(x)=0$ a donc une solution unique sur cet intervalle.

2. b) À la calculette on obtient $g(1,\!87)\simeq -0,0003$ et $g(1,\!871)\simeq 0,003$ on a donc $\alpha \simeq 1,\!87$

3. Comme la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$ on a $g(x)<0=g(\alpha)$ quand $x<\alpha$ et $g(x)>0=g(\alpha)$ quand $x>\alpha$

Partie B

1. a) On utilise la forme $f(x)=\dfrac{1}{x}(x-5)\ln x$
$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty\ ;\ \lim_{x\to 0^+}(x-5)=-5\ ;\ \lim_{x\to 0^+}\ln x =-\infty \text{ donc } \\ \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=(+\infty)\times (-5)\times (-\infty)=+\infty$

1. b) On utilise la forme $f(x)=\ln x-5\dfrac{\ln x}{x}$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty \text{ et }\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0 \text{ (cours) donc }\lim_{+\infty} f=+\infty-0=+\infty$
2. a) et b) On utilise la forme $f(x)=\ln x-5\dfrac{\ln x}{x}$ . On a alors :
$f'(x)=\dfrac1x -5 \dfrac{(1/x) x-\ln x \times 1}{x^2}=\dfrac1x -5 \dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{x-5(1-\ln x)}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$
Comme $x\neq0$ on a $x^2>0$ et $f'(x)$ est du signe de $g(x)$ étudié à la question A. 3.

2. c) On en déduit le tableau de variations de $f$ , avec
$\alpha \simeq 1,87$ et $f(\alpha)\simeq -1,05$
$\begin{array}{|c|lcccr|} x&0& &\alpha & &+\infty\\ \hline f'(x)& &+&0&-& \\ \hline &+\infty & & & &+\infty\\ f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & f(\alpha)& & \end{array}$

3. a) Une équation de $\mathscr{D}$ est $y=f(1)+(x-1)f'(1)$ soit $y=0+(x-1).(-4)$ ou $y=-4x+4$ .
La dernière forme montre que $\mathscr{D}$ coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; 4).

3. b)

Partie C

1. On calcule $F'(x)$ en utilisant les formules $(uv)'=u'v+u v'$ et $(u^n)'=nu' u$ :
$\displaystyle F'(x)= x \dfrac1x + \ln x -1-\dfrac52 \cdot 2 \cdot\dfrac1x \ln x= 1-1+\ln x- 5\dfrac{\ln x}{x}=\ln x-\dfrac{5\ln x}{x}=f(x)$
$f$ est la dérivée de $F$ donc $F$ est une primitive de $f$ .

2. a)

2. b) Comme les valeurs prises par la fonction sont négatives sur l'intervalle $[1\,;\,e]$ l'aire du domaine, en unités graphiques, est
$- \displaystyle \int_1^\text{e}f(x)\text{d}x=-F(\text{e})+F(1)=-1-\left(\text{e}-\text{e}-\dfrac52\right)=\dfrac32$

2. c) Comme une unité graphique vaut $2\,\text{cm}\times2\,\text{cm}=4\,\text{cm}^2$ elle vaut $6\,\text{cm}^2$ . Ce que l'on peut vérifier approximativement sur le graphique en comptant les carreaux.

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Juin 2009 - terminale : image 2

Publié par verdurin/verdurin le 28-02-2010

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